Theorem mplmulr 22194

Description: Value of multiplication in a polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplplusg.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplplusg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplmulr.n	⊢ · = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
mplmulr	⊢ · = (.r‘𝑆)

Proof of Theorem mplmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmulr.n	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑌)
2		fvex 6901	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) ∈ V
3		mplplusg.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		mplplusg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
6	3, 4, 5	mplval2 22182	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆 ↾s (Base‘𝑌))
7		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
8	6, 7	ressmulr 17385	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑌) ∈ V → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑌))
9	2, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑌)
10	1, 9	eqtr4i 2792	1 ⊢ · = (.r‘𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336   mPwSer cmps 22091   mPoly cmpl 22093

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-mulr 17349  df-psr 22096  df-mpl 22098

This theorem is used by:  mplmul  22197  ply1mulr  22422  ply1ass23l  22423  ply1opprmul  22435  coe1mul  22468  mplmonprod  33975