Theorem mplcrng 21237

Description: The polynomial ring is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mplgrp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mplcrng	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ CRing)

Proof of Theorem mplcrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
4	1, 2, 3	psrcrng 21193	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ CRing)
5		mplgrp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		crngring 19806	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	7	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
9	1, 5, 6, 2, 8	mplsubrg 21222	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
10	5, 1, 6	mplval2 21213	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
11	10	subrgcrng 20039	. 2 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ CRing ∧ (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑃 ∈ CRing)
12	4, 9, 11	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  Basecbs 16923  Ringcrg 19794  CRingccrg 19795  SubRingcsubrg 20031   mPwSer cmps 21118   mPoly cmpl 21120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-of 7528  df-ofr 7529  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-supp 7970  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-map 8609  df-pm 8610  df-ixp 8678  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-fsupp 9117  df-oi 9257  df-card 9708  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-seq 13733  df-hash 14056  df-struct 16859  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-sca 16989  df-vsca 16990  df-tset 16992  df-0g 17163  df-gsum 17164  df-mre 17306  df-mrc 17307  df-acs 17309  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-mhm 18441  df-submnd 18442  df-grp 18591  df-minusg 18592  df-mulg 18712  df-subg 18763  df-ghm 18843  df-cntz 18934  df-cmn 19399  df-abl 19400  df-mgp 19732  df-ur 19749  df-ring 19796  df-cring 19797  df-subrg 20033  df-psr 21123  df-mpl 21125

This theorem is referenced by:  mplcoe2  21253  mplbas2  21254  evlsgsummul  21313  selvval2lem1  40233  selvval2lemn  40236  selvcl  40239