MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplcrng 19941
Description: The polynomial ring is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mplgrp.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mplcrng ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ CRing)

Proof of Theorem mplcrng
StepHypRef Expression
1 eqid 2772 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 simpl 475 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → 𝐼𝑉)
3 simpr 477 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
41, 2, 3psrcrng 19901 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ CRing)
5 mplgrp.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6 eqid 2772 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7 crngring 19025 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
87adantl 474 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
91, 5, 6, 2, 8mplsubrg 19928 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
105, 1, 6mplval2 19919 . . 3 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
1110subrgcrng 19256 . 2 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ CRing ∧ (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑃 ∈ CRing)
124, 9, 11syl2anc 576 1 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16333  Ringcrg 19014  CRingccrg 19015  SubRingcsubrg 19248   mPwSer cmps 19839   mPoly cmpl 19841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-ofr 7222  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-supp 7628  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-2o 7900  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-pm 8203  df-ixp 8254  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-fsupp 8623  df-oi 8763  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-7 11502  df-8 11503  df-9 11504  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-seq 13179  df-hash 13500  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-tset 16434  df-0g 16565  df-gsum 16566  df-mre 16709  df-mrc 16710  df-acs 16712  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-mhm 17797  df-submnd 17798  df-grp 17888  df-minusg 17889  df-mulg 18006  df-subg 18054  df-ghm 18121  df-cntz 18212  df-cmn 18662  df-abl 18663  df-mgp 18957  df-ur 18969  df-ring 19016  df-cring 19017  df-subrg 19250  df-psr 19844  df-mpl 19846
This theorem is referenced by:  mplcoe2  19957  mplbas2  19958
  Copyright terms: Public domain W3C validator