Theorem mplcrng 22333

Description: The polynomial ring is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mplgrp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mplcrng	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ CRing)

Proof of Theorem mplcrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
4	1, 2, 3	psrcrng 22284	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ CRing)
5		mplgrp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		crngring 20477	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
9	1, 5, 6, 2, 8	mplsubrg 22317	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
10	5, 1, 6	mplval2 22308	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
11	10	subrgcrng 20832	. 2 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ CRing ∧ (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑃 ∈ CRing)
12	4, 9, 11	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ CRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  Ringcrg 20464  CRingccrg 20465  SubRingcsubrg 20826   mPwSer cmps 22217   mPoly cmpl 22219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-hash 14478  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-prds 17623  df-pws 17625  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-psr 22222  df-mpl 22224

This theorem is used by:  mplcrngd  22336  mplcoe2  22355  mplbas2  22356  evlsgsummul  22411  selvcllem1  22448  selvcllemh  22451