Theorem mpl0 22030

Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpl0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpl0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mpl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
mpl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
mpl0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mpl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mpl0	⊢ (𝜑 → 0 = (𝐷 × {𝑂}))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mpl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpl0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
2		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		mpl0.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		mpl0.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		mpl0.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplsubg 22026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8	3, 2, 4	mplval2 22020	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
9		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	8, 9	subg0 19150	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘𝑃))
11	7, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘𝑃))
12		mpl0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
13		mpl0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
14	2, 5, 6, 12, 13, 9	psr0 21982	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐷 × {𝑂}))
15	11, 14	eqtr3d 2793	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝐷 × {𝑂}))
16	1, 15	eqtrid 2803	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝐷 × {𝑂}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  {crab 3408  {csn 4576   × cxp 5638  ^◡ccnv 5639   “ cima 5643  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   ↑_m cmap 8796  Fincfn 8916  ℕcn 12200  ℕ₀cn0 12471  Basecbs 17221  0_gc0g 17444  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138   mPwSer cmps 21929   mPoly cmpl 21931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-map 8798  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-sup 9378  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-fz 13503  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-hom 17286  df-cco 17287  df-0g 17446  df-prds 17452  df-pws 17454  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-psr 21934  df-mpl 21936

This theorem is referenced by:  mplcoe1  22063  evlslem2  22105  selvvvval  22168  mhp0cl  22184  coe1z  22299  mdegldg  26099  mdeg0  26103  ply1nzb  26156  mplasclco  33767  selvply1rhm0  33777  mplvrpmmhm  33797  mplgsum  33804  esplyfval2  33816  esplyfval3  33823  evlselv  43119  prjcrv0  43163