Theorem mpl0 21122

Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpl0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpl0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mpl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
mpl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
mpl0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mpl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mpl0	⊢ (𝜑 → 0 = (𝐷 × {𝑂}))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mpl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpl0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		mpl0.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		mpl0.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		mpl0.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplsubg 21118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8	3, 2, 4	mplval2 21112	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	8, 9	subg0 18676	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘𝑃))
11	7, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘𝑃))
12		mpl0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
13		mpl0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
14	2, 5, 6, 12, 13, 9	psr0 21078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐷 × {𝑂}))
15	11, 14	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝐷 × {𝑂}))
16	1, 15	eqtrid 2790	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝐷 × {𝑂}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  {csn 4558   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  SubGrpcsubg 18664   mPwSer cmps 21017   mPoly cmpl 21019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-psr 21022  df-mpl 21024

This theorem is referenced by:  mplcoe1  21148  evlslem2  21199  mhp0cl  21246  coe1z  21344  mdegldg  25136  mdeg0  25140  ply1nzb  25192  mhphf  40208