Theorem mpl0 21786

Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpl0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpl0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mpl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
mpl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
mpl0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mpl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mpl0	⊢ (𝜑 → 0 = (𝐷 × {𝑂}))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mpl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpl0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		mpl0.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		mpl0.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		mpl0.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplsubg 21782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8	3, 2, 4	mplval2 21776	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	8, 9	subg0 19050	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘𝑃))
11	7, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘𝑃))
12		mpl0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
13		mpl0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
14	2, 5, 6, 12, 13, 9	psr0 21740	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐷 × {𝑂}))
15	11, 14	eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝐷 × {𝑂}))
16	1, 15	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝐷 × {𝑂}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  {csn 4629   × cxp 5675  ^◡ccnv 5676   “ cima 5680  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8824  Fincfn 8943  ℕcn 12218  ℕ₀cn0 12478  Basecbs 17150  0_gc0g 17391  Grpcgrp 18857  SubGrpcsubg 19038   mPwSer cmps 21678   mPoly cmpl 21680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-fz 13491  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-subg 19041  df-psr 21683  df-mpl 21685

This theorem is referenced by:  mplcoe1  21813  evlslem2  21863  mhp0cl  21910  coe1z  22007  mdegldg  25818  mdeg0  25822  ply1nzb  25874  selvvvval  41461  evlselv  41463  prjcrv0  41679