Theorem mpl0 21284

Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpl0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpl0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mpl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
mpl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
mpl0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mpl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mpl0	⊢ (𝜑 → 0 = (𝐷 × {𝑂}))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mpl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpl0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		mpl0.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		mpl0.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		mpl0.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplsubg 21280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8	3, 2, 4	mplval2 21274	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	8, 9	subg0 18830	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘𝑃))
11	7, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘𝑃))
12		mpl0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
13		mpl0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
14	2, 5, 6, 12, 13, 9	psr0 21240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐷 × {𝑂}))
15	11, 14	eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝐷 × {𝑂}))
16	1, 15	eqtrid 2789	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝐷 × {𝑂}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3404  {csn 4571   × cxp 5605  ^◡ccnv 5606   “ cima 5610  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315   ↑_m cmap 8663  Fincfn 8781  ℕcn 12046  ℕ₀cn0 12306  Basecbs 16982  0_gc0g 17220  Grpcgrp 18646  SubGrpcsubg 18818   mPwSer cmps 21179   mPoly cmpl 21181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-of 7573  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-supp 8025  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-er 8546  df-map 8665  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-fsupp 9199  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-9 12116  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-fz 13313  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-tset 17051  df-0g 17222  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-grp 18649  df-minusg 18650  df-subg 18821  df-psr 21184  df-mpl 21186

This theorem is referenced by:  mplcoe1  21310  evlslem2  21361  mhp0cl  21408  coe1z  21506  mdegldg  25303  mdeg0  25307  ply1nzb  25359  mhphf  40488  prjcrv0  40673