Theorem coseq1 26410

Description: A complex number whose cosine is one is an integer multiple of 2π. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coseq1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))

Proof of Theorem coseq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12288	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		2ne0 12317	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
3		divcan2 11881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
4	1, 2, 3	mp3an23 1449	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5	4	fveq2d 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
6		halfcl 12438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
7		cos2tsin 16127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
9	5, 8	eqtr3d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
10	9	eqeq1d 2728	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1))
11	6	sincld 16078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
12	11	sqcld 14112	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
13		mulcl 11193	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
14	1, 12, 13	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
15		ax-1cn 11167	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		subsub23 11466	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1 ↔ (1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
17	15, 15, 16	mp3an13 1448	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ → ((1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1 ↔ (1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
18	14, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1 ↔ (1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
19		eqcom 2733	. . . . . 6 ⊢ ((1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = (1 − 1))
20		1m1e0 12285	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	eqeq2i 2739	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = (1 − 1) ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0)
22	19, 21	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0)
23	18, 22	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1 ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0))
24	10, 23	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0))
25		mul0or 11855	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0)))
26	1, 12, 25	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0)))
27	2	neii 2936	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 = 0
28		biorf 933	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 = 0 → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0)))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0))
30	26, 29	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0 ↔ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0))
31		sqeq0 14088	. . . 4 ⊢ ((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0 ↔ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
32	11, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0 ↔ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
33	24, 30, 32	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
34		sineq0 26409	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ))
35	6, 34	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ))
36	1, 2	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
37		picn 26345	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℂ
38		pire 26344	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
39		pipos 26346	. . . . . 6 ⊢ 0 < π
40	38, 39	gt0ne0ii 11751	. . . . 5 ⊢ π ≠ 0
41	37, 40	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
42		divdiv1 11926	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / π) = (𝐴 / (2 · π)))
43	36, 41, 42	mp3an23 1449	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / π) = (𝐴 / (2 · π)))
44	43	eleq1d 2812	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
45	33, 35, 44	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114   − cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  ℤcz 12559  ↑cexp 14030  sincsin 16011  cosccos 16012  πcpi 16014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747

This theorem is referenced by:  cos02pilt1  26411  taupilem1  36709  dirkertrigeqlem1  45367  dirkertrigeq  45370