Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fpprwppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpprwppr 46706
Description: A Fermat pseudoprime to the base ๐‘ is a weak pseudoprime (see Wikipedia "Fermat pseudoprime", 29-May-2023, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_pseudoprime. (Contributed by AV, 31-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
fpprwppr (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))

Proof of Theorem fpprwppr
StepHypRef Expression
1 fpprbasnn 46696 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 fpprel 46695 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
3 nnz 12584 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 eluz4nn 12875 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
5 nnm1nn0 12518 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
7 zexpcl 14047 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
83, 6, 7syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
98zred 12671 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
104nnrpd 13019 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
1110adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
129, 11modcld 13845 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) โˆˆ โ„)
1312recnd 11247 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
14 1cnd 11214 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
15 nncn 12225 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
17 nnne0 12251 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
1817adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
1913, 14, 16, 18mulcand 11852 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) = (๐‘ ยท 1) โ†” ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1))
20 oveq1 7419 . . . . . . . 8 ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) = (๐‘ ยท 1) โ†’ ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹))
213adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
22 modmulmodr 13907 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) mod ๐‘‹))
2321, 9, 11, 22syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) mod ๐‘‹))
2423eqeq1d 2733 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹) โ†” ((๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹)))
258zcnd 12672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
2616, 25mulcomd 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘))
27 expm1t 14061 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘))
2827eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) = (๐‘โ†‘๐‘‹))
2915, 4, 28syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) = (๐‘โ†‘๐‘‹))
3026, 29eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) = (๐‘โ†‘๐‘‹))
3130oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) mod ๐‘‹) = ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹))
3215mulridd 11236 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
3433oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))
3531, 34eqeq12d 2747 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (((๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹) โ†” ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
3635biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (((๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
3724, 36sylbid 239 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
3820, 37syl5 34 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) = (๐‘ ยท 1) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
3919, 38sylbird 260 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
4039a1d 25 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))))
4140ex 412 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))))
42413impd 1347 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
432, 42sylbid 239 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
441, 43mpcom 38 1 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   โˆ‰ wnel 3045  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   ยท cmul 11119   โˆ’ cmin 11449  โ„•cn 12217  4c4 12274  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  โ„+crp 12979   mod cmo 13839  โ†‘cexp 14032  โ„™cprime 16613   FPPr cfppr 46691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-dvds 16203  df-fppr 46692
This theorem is referenced by:  fpprwpprb  46707  fpprel2  46708  nfermltl2rev  46710
  Copyright terms: Public domain W3C validator