Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fpprwppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpprwppr 46021
Description: A Fermat pseudoprime to the base ๐‘ is a weak pseudoprime (see Wikipedia "Fermat pseudoprime", 29-May-2023, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_pseudoprime. (Contributed by AV, 31-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
fpprwppr (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))

Proof of Theorem fpprwppr
StepHypRef Expression
1 fpprbasnn 46011 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 fpprel 46010 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
3 nnz 12528 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 eluz4nn 12819 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
5 nnm1nn0 12462 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
7 zexpcl 13991 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
83, 6, 7syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
98zred 12615 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
104nnrpd 12963 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
1110adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
129, 11modcld 13789 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) โˆˆ โ„)
1312recnd 11191 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
14 1cnd 11158 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
15 nncn 12169 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1615adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
17 nnne0 12195 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
1817adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
1913, 14, 16, 18mulcand 11796 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) = (๐‘ ยท 1) โ†” ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1))
20 oveq1 7368 . . . . . . . 8 ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) = (๐‘ ยท 1) โ†’ ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹))
213adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
22 modmulmodr 13851 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) mod ๐‘‹))
2321, 9, 11, 22syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) mod ๐‘‹))
2423eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹) โ†” ((๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹)))
258zcnd 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
2616, 25mulcomd 11184 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘))
27 expm1t 14005 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘))
2827eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) = (๐‘โ†‘๐‘‹))
2915, 4, 28syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) = (๐‘โ†‘๐‘‹))
3026, 29eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) = (๐‘โ†‘๐‘‹))
3130oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) mod ๐‘‹) = ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹))
3215mulid1d 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
3332adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
3433oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))
3531, 34eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (((๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹) โ†” ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
3635biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (((๐‘ ยท (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1))) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
3724, 36sylbid 239 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) mod ๐‘‹) = ((๐‘ ยท 1) mod ๐‘‹) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
3820, 37syl5 34 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹)) = (๐‘ ยท 1) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
3919, 38sylbird 260 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
4039a1d 25 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ (๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))))
4140ex 414 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))))
42413impd 1349 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
432, 42sylbid 239 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
441, 43mpcom 38 1 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โˆ‰ wnel 3046  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  โ„•cn 12161  4c4 12218  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  โ„คโ‰ฅcuz 12771  โ„+crp 12923   mod cmo 13783  โ†‘cexp 13976  โ„™cprime 16555   FPPr cfppr 46006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-dvds 16145  df-fppr 46007
This theorem is referenced by:  fpprwpprb  46022  fpprel2  46023  nfermltl2rev  46025
  Copyright terms: Public domain W3C validator