Theorem fpprwppr 45079

Description: A Fermat pseudoprime to the base 𝑁 is a weak pseudoprime (see Wikipedia "Fermat pseudoprime", 29-May-2023, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_pseudoprime. (Contributed by AV, 31-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprwppr	⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))

Proof of Theorem fpprwppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpprbasnn 45069	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fpprel 45068	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3		nnz 12272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eluz4nn 12555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
7		zexpcl 13725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑋 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
9	8	zred 12355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℝ)
10	4	nnrpd 12699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℝ+)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
12	9, 11	modcld 13523	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) ∈ ℂ)
14		1cnd 10901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 1 ∈ ℂ)
15		nncn 11911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		nnne0 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ≠ 0)
19	13, 14, 16, 18	mulcand 11538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) = (𝑁 · 1) ↔ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))
20		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) = (𝑁 · 1) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋))
21	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ∈ ℤ)
22		modmulmodr 13585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋))
23	21, 9, 11, 22	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋))
24	23	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) ↔ ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋)))
25	8	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℂ)
26	16, 25	mulcomd 10927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
27		expm1t 13739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
28	27	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) = (𝑁↑𝑋))
29	15, 4, 28	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) = (𝑁↑𝑋))
30	26, 29	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) = (𝑁↑𝑋))
31	30	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋))
32	15	mulid1d 10923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
34	33	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · 1) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))
35	31, 34	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) ↔ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
36	35	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
37	24, 36	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
38	20, 37	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) = (𝑁 · 1) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
39	19, 38	sylbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
40	39	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑋 ∉ ℙ → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))))
41	40	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑋 ∉ ℙ → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))
42	41	3impd 1346	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
43	2, 42	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
44	1, 43	mpcom 38	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∉ wnel 3048  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   − cmin 11135  ℕcn 11903  4c4 11960  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659   mod cmo 13517  ↑cexp 13710  ℙcprime 16304   FPPr cfppr 45064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-dvds 15892  df-fppr 45065

This theorem is referenced by:  fpprwpprb  45080  fpprel2  45081  nfermltl2rev  45083