Theorem fpprwppr 48227

Description: A Fermat pseudoprime to the base 𝑁 is a weak pseudoprime (see Wikipedia "Fermat pseudoprime", 29-May-2023, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_pseudoprime. (Contributed by AV, 31-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprwppr	⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))

Proof of Theorem fpprwppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpprbasnn 48217	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fpprel 48216	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3		nnz 12536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eluz4nn 12831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
7		zexpcl 14029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑋 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
9	8	zred 12624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℝ)
10	4	nnrpd 12975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℝ+)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
12	9, 11	modcld 13825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) ∈ ℂ)
14		1cnd 11130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 1 ∈ ℂ)
15		nncn 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		nnne0 12202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ≠ 0)
19	13, 14, 16, 18	mulcand 11774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) = (𝑁 · 1) ↔ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))
20		oveq1 7367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) = (𝑁 · 1) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋))
21	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ∈ ℤ)
22		modmulmodr 13890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋))
23	21, 9, 11, 22	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋))
24	23	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) ↔ ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋)))
25	8	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℂ)
26	16, 25	mulcomd 11157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
27		expm1t 14043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
28	27	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) = (𝑁↑𝑋))
29	15, 4, 28	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) = (𝑁↑𝑋))
30	26, 29	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) = (𝑁↑𝑋))
31	30	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋))
32	15	mulridd 11153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
34	33	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · 1) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))
35	31, 34	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) ↔ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
36	35	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
37	24, 36	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
38	20, 37	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) = (𝑁 · 1) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
39	19, 38	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
40	39	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑋 ∉ ℙ → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))))
41	40	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑋 ∉ ℙ → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))
42	41	3impd 1350	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
43	2, 42	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
44	1, 43	mpcom 38	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∉ wnel 3037  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   − cmin 11368  ℕcn 12165  4c4 12229  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933   mod cmo 13819  ↑cexp 14014  ℙcprime 16631   FPPr cfppr 48212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-dvds 16213  df-fppr 48213

This theorem is referenced by:  fpprwpprb  48228  fpprel2  48229  nfermltl2rev  48231