Theorem fpprwppr 47720

Description: A Fermat pseudoprime to the base 𝑁 is a weak pseudoprime (see Wikipedia "Fermat pseudoprime", 29-May-2023, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_pseudoprime. (Contributed by AV, 31-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprwppr	⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))

Proof of Theorem fpprwppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpprbasnn 47710	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fpprel 47709	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3		nnz 12614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eluz4nn 12907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
7		zexpcl 14099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑋 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
9	8	zred 12702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℝ)
10	4	nnrpd 13054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℝ+)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
12	9, 11	modcld 13897	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) ∈ ℂ)
14		1cnd 11235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 1 ∈ ℂ)
15		nncn 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		nnne0 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ≠ 0)
19	13, 14, 16, 18	mulcand 11875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) = (𝑁 · 1) ↔ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))
20		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) = (𝑁 · 1) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋))
21	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ∈ ℤ)
22		modmulmodr 13960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋))
23	21, 9, 11, 22	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋))
24	23	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) ↔ ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋)))
25	8	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℂ)
26	16, 25	mulcomd 11261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
27		expm1t 14113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
28	27	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) = (𝑁↑𝑋))
29	15, 4, 28	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) = (𝑁↑𝑋))
30	26, 29	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) = (𝑁↑𝑋))
31	30	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋))
32	15	mulridd 11257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
34	33	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · 1) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))
35	31, 34	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) ↔ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
36	35	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
37	24, 36	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
38	20, 37	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) = (𝑁 · 1) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
39	19, 38	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
40	39	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑋 ∉ ℙ → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))))
41	40	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑋 ∉ ℙ → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))
42	41	3impd 1349	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
43	2, 42	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
44	1, 43	mpcom 38	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ∉ wnel 3037  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139   − cmin 11471  ℕcn 12245  4c4 12302  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013   mod cmo 13891  ↑cexp 14084  ℙcprime 16695   FPPr cfppr 47705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-dvds 16278  df-fppr 47706

This theorem is referenced by:  fpprwpprb  47721  fpprel2  47722  nfermltl2rev  47724