Theorem fpprwppr 48215

Description: A Fermat pseudoprime to the base 𝑁 is a weak pseudoprime (see Wikipedia "Fermat pseudoprime", 29-May-2023, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_pseudoprime. (Contributed by AV, 31-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprwppr	⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))

Proof of Theorem fpprwppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpprbasnn 48205	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fpprel 48204	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3		nnz 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eluz4nn 12840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
7		zexpcl 14038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑋 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
9	8	zred 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℝ)
10	4	nnrpd 12984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℝ+)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
12	9, 11	modcld 13834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) ∈ ℂ)
14		1cnd 11139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 1 ∈ ℂ)
15		nncn 12182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		nnne0 12211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ≠ 0)
19	13, 14, 16, 18	mulcand 11783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) = (𝑁 · 1) ↔ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))
20		oveq1 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) = (𝑁 · 1) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋))
21	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ∈ ℤ)
22		modmulmodr 13899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋))
23	21, 9, 11, 22	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋))
24	23	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) ↔ ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋)))
25	8	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℂ)
26	16, 25	mulcomd 11166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
27		expm1t 14052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
28	27	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) = (𝑁↑𝑋))
29	15, 4, 28	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) = (𝑁↑𝑋))
30	26, 29	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) = (𝑁↑𝑋))
31	30	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋))
32	15	mulridd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
34	33	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · 1) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))
35	31, 34	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) ↔ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
36	35	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · (𝑁↑(𝑋 − 1))) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
37	24, 36	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) mod 𝑋) = ((𝑁 · 1) mod 𝑋) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
38	20, 37	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋)) = (𝑁 · 1) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
39	19, 38	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
40	39	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑋 ∉ ℙ → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))))
41	40	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑋 ∉ ℙ → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))
42	41	3impd 1350	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
43	2, 42	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
44	1, 43	mpcom 38	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   − cmin 11377  ℕcn 12174  4c4 12238  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942   mod cmo 13828  ↑cexp 14023  ℙcprime 16640   FPPr cfppr 48200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-dvds 16222  df-fppr 48201

This theorem is referenced by:  fpprwpprb  48216  fpprel2  48217  nfermltl2rev  48219