Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | zmulcl 12357 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ) |
2 | 1 | 3adant2 1130 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ) |
3 | | zmulcl 12357 |
. . . 4
⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ) |
4 | 3 | 3adant1 1129 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ) |
5 | | simpl 483 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ) |
6 | | congr 16357 |
. . 3
⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))) |
7 | 2, 4, 5, 6 | syl2an3an 1421 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))) |
8 | | simpl 483 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈
ℤ) |
9 | | nnz 12330 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℤ) |
10 | | nnne0 11995 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0) |
11 | 9, 10 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) |
12 | 11 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) |
13 | | eqidd 2739 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁)) |
14 | 8, 12, 13 | 3jca 1127 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁))) |
15 | 14 | ex 413 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁)))) |
16 | 15 | 3ad2ant3 1134 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁)))) |
17 | 16 | com12 32 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁)))) |
18 | 17 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁)))) |
19 | 18 | impcom 408 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁))) |
20 | | divgcdcoprmex 16359 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁)) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ ℤ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) |
21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ ℤ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) |
22 | 21 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ ℤ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) |
23 | | oveq2 7276 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) → (𝑘 · 𝑁) = (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠))) |
24 | 23 | 3ad2ant2 1133 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → (𝑘 · 𝑁) = (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠))) |
25 | 24 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → (𝑘 · 𝑁) = (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠))) |
26 | | oveq2 7276 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) |
27 | | oveq2 7276 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) |
28 | 26, 27 | oveq12d 7286 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)))) |
29 | 28 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)))) |
30 | 29 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)))) |
31 | 25, 30 | eqeq12d 2754 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) ↔ (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))))) |
32 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ) |
33 | 32 | zcnd 12415 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ) |
34 | 33 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ) |
35 | | simp3 1137 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈
ℤ) |
36 | 35 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℤ) |
37 | 9 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ) |
38 | 37 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ) |
39 | 36, 38 | gcdcld 16203 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈
ℕ0) |
40 | 39 | nn0cnd 12283 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ) |
41 | 40 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ) |
42 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑠 ∈
ℤ) |
43 | 42 | zcnd 12415 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑠 ∈
ℂ) |
44 | 43 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑠 ∈ ℂ) |
45 | 34, 41, 44 | mul12d 11172 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠))) |
46 | | simp1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈
ℤ) |
47 | 46 | zcnd 12415 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈
ℂ) |
48 | 47 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
49 | 48 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
50 | 35 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ) |
51 | 5 | nnzd 12413 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ) |
52 | 51 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ) |
53 | 52 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ) |
54 | 50, 53 | gcdcld 16203 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈
ℕ0) |
55 | 54 | nn0cnd 12283 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ) |
56 | 55 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ) |
57 | | simpl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑟 ∈
ℤ) |
58 | 57 | zcnd 12415 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑟 ∈
ℂ) |
59 | 58 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑟 ∈ ℂ) |
60 | 49, 56, 59 | mul12d 11172 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟))) |
61 | | simp2 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈
ℤ) |
62 | 61 | zcnd 12415 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈
ℂ) |
63 | 62 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℂ) |
64 | 63 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
65 | 36, 52 | gcdcld 16203 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈
ℕ0) |
66 | 65 | nn0cnd 12283 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ) |
67 | 66 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ) |
68 | 64, 67, 59 | mul12d 11172 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟))) |
69 | 60, 68 | oveq12d 7286 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) = (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟)))) |
70 | 45, 69 | eqeq12d 2754 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) ↔ ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)) = (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟))))) |
71 | 46 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ) |
72 | 71 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ) |
73 | 57 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑟 ∈ ℤ) |
74 | 72, 73 | zmulcld 12420 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℤ) |
75 | 74 | zcnd 12415 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℂ) |
76 | 61 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ) |
77 | 76 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ) |
78 | 77, 73 | zmulcld 12420 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑟) ∈ ℤ) |
79 | 78 | zcnd 12415 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑟) ∈ ℂ) |
80 | 67, 75, 79 | subdid 11419 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) · ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))) = (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟)))) |
81 | 80 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟))) = ((𝐶 gcd 𝑁) · ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)))) |
82 | 81 | eqeq2d 2749 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)) = (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟))) ↔ ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))))) |
83 | 32 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ) |
84 | 42 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑠 ∈ ℤ) |
85 | 83, 84 | zmulcld 12420 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℤ) |
86 | 85 | zcnd 12415 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ) |
87 | | simpl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈
ℤ) |
88 | 87, 57 | anim12i 613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈
ℤ)) |
89 | | zmulcl 12357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℤ) |
90 | 88, 89 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℤ) |
91 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈
ℤ) |
92 | 91, 57 | anim12i 613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈
ℤ)) |
93 | | zmulcl 12357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝑟) ∈ ℤ) |
94 | 92, 93 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑟) ∈ ℤ) |
95 | 90, 94 | zsubcld 12419 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℤ) |
96 | 95 | zcnd 12415 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ) |
97 | 96 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ)) |
98 | 97 | 3adant3 1131 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ)) |
99 | 98 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ)) |
100 | 99 | imp 407 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ) |
101 | 10 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ≠ 0) |
102 | 101 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ≠ 0) |
103 | | gcd2n0cl 16204 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ) |
104 | 36, 52, 102, 103 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ) |
105 | | nnne0 11995 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0) |
106 | 104, 105 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0) |
107 | 106 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0) |
108 | 86, 100, 67, 107 | mulcand 11596 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))) ↔ (𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)))) |
109 | 70, 82, 108 | 3bitrd 305 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) ↔ (𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)))) |
110 | 109 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) ↔ (𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)))) |
111 | | zcn 12312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈
ℂ) |
112 | | zcn 12312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈
ℂ) |
113 | 111, 112 | anim12i 613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈
ℂ)) |
114 | 113 | 3adant3 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈
ℂ)) |
115 | 114 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) |
116 | 115, 58 | anim12i 613 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ)) |
117 | | df-3an 1088 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑟 ∈
ℂ)) |
118 | 116, 117 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ)) |
119 | | subdir 11397 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))) |
120 | 118, 119 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))) |
121 | 120 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟)) |
122 | 121 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟)) |
123 | 122 | eqeq2d 2749 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ↔ (𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟))) |
124 | 5 | nncnd 11977 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ) |
125 | 124 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℂ) |
126 | 125 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ) |
127 | 84 | zcnd 12415 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑠 ∈ ℂ) |
128 | 66, 106 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)) |
129 | 128 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)) |
130 | | divmul2 11625 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 ↔ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠))) |
131 | 126, 127,
129, 130 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 ↔ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠))) |
132 | | simpll 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) |
133 | 73 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → 𝑟 ∈ ℤ) |
134 | 5 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ) |
135 | 134, 36 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) |
136 | | divgcdnnr 16211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ) |
137 | 135, 136 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ) |
138 | 137 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ) |
139 | 138 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ) |
140 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑠 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝑠 ∈ ℕ ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)) |
141 | 140 | eqcoms 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → (𝑠 ∈ ℕ ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)) |
142 | 141 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (𝑠 ∈ ℕ ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)) |
143 | 139, 142 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → 𝑠 ∈ ℕ) |
144 | 133, 143 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) |
145 | 132, 144 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) |
146 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) |
147 | 145, 146 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠)) |
148 | | nnz 12330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈
ℤ) |
149 | 148 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈
ℤ) |
150 | 149 | anim2i 617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈
ℤ)) |
151 | 150 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈
ℤ)) |
152 | | dvdsmul2 15976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠)) |
153 | 151, 152 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → 𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠)) |
154 | | breq2 5078 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠) ↔ 𝑠 ∥ ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟))) |
155 | | zsubcl 12350 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) |
156 | 155 | zcnd 12415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
157 | 156 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
158 | | zcn 12312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑟 ∈ ℤ → 𝑟 ∈
ℂ) |
159 | 158 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑟 ∈
ℂ) |
160 | 159 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → 𝑟 ∈
ℂ) |
161 | 160 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → 𝑟 ∈
ℂ) |
162 | 157, 161 | mulcomd 10984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) →
((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) = (𝑟 · (𝐴 − 𝐵))) |
163 | 162 | breq2d 5086 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∥ ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) ↔ 𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)))) |
164 | 148 | anim2i 617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈
ℤ)) |
165 | | gcdcom 16208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → (𝑟 gcd 𝑠) = (𝑠 gcd 𝑟)) |
166 | 164, 165 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑟 gcd 𝑠) = (𝑠 gcd 𝑟)) |
167 | 166 | eqeq1d 2740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 ↔ (𝑠 gcd 𝑟) = 1)) |
168 | 167 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 ↔ (𝑠 gcd 𝑟) = 1)) |
169 | 168 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) →
((𝑟 gcd 𝑠) = 1 ↔ (𝑠 gcd 𝑟) = 1)) |
170 | 164 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈
ℤ)) |
171 | 170 | ancomd 462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈
ℤ)) |
172 | 155, 171 | anim12i 613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) →
((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈
ℤ))) |
173 | 172 | ancomd 462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) →
((𝑠 ∈ ℤ ∧
𝑟 ∈ ℤ) ∧
(𝐴 − 𝐵) ∈
ℤ)) |
174 | | df-3an 1088 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) ↔ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)) |
175 | 173, 174 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)) |
176 | | coprmdvds 16346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) ∧ (𝑠 gcd 𝑟) = 1) → 𝑠 ∥ (𝐴 − 𝐵))) |
177 | 175, 176 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) →
((𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) ∧ (𝑠 gcd 𝑟) = 1) → 𝑠 ∥ (𝐴 − 𝐵))) |
178 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈
ℕ) |
179 | 178 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → 𝑠 ∈
ℕ) |
180 | 179 | anim2i 617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) →
((𝐴 ∈ ℤ ∧
𝐵 ∈ ℤ) ∧
𝑠 ∈
ℕ)) |
181 | 180 | ancomd 462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ))) |
182 | | 3anass 1094 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ))) |
183 | 181, 182 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ)) |
184 | | moddvds 15962 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠) ↔ 𝑠 ∥ (𝐴 − 𝐵))) |
185 | 183, 184 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) →
((𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠) ↔ 𝑠 ∥ (𝐴 − 𝐵))) |
186 | 177, 185 | sylibrd 258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) →
((𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) ∧ (𝑠 gcd 𝑟) = 1) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))) |
187 | 186 | expcomd 417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) →
((𝑠 gcd 𝑟) = 1 → (𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))) |
188 | 169, 187 | sylbid 239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) →
((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))) |
189 | 188 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))) |
190 | 163, 189 | sylbid 239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∥ ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))) |
191 | 190 | com3l 89 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑠 ∥ ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))) |
192 | 154, 191 | syl6bi 252 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))) |
193 | 192 | com14 96 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))) |
194 | 153, 193 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) →
((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))) |
195 | 194 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))) |
196 | 195 | 3adant3 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))) |
197 | 196 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))) |
198 | 197 | impl 456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))) |
199 | 198 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))) |
200 | 199 | imp 407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))) |
201 | | eqtr2 2762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑀 ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → 𝑀 = 𝑠) |
202 | | oveq2 7276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑀 = 𝑠 → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑠)) |
203 | | oveq2 7276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑀 = 𝑠 → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑠)) |
204 | 202, 203 | eqeq12d 2754 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑀 = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))) |
205 | 201, 204 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑀 ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))) |
206 | 205 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑀 → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))) |
207 | 206 | eqcoms 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))) |
208 | 207 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))) |
209 | 208 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))) |
210 | 209 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))) |
211 | 210 | imp 407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))) |
212 | 211 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))) |
213 | 200, 212 | sylibrd 258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))) |
214 | 213 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))) |
215 | 147, 214 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))) |
216 | 215 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))) |
217 | 131, 216 | sylbird 259 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))) |
218 | 217 | com3l 89 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))) |
219 | 218 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) → (𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))))) |
220 | 219 | 3imp 1110 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))) |
221 | 220 | impcom 408 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))) |
222 | 123, 221 | sylbid 239 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))) |
223 | 110, 222 | sylbid 239 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))) |
224 | 31, 223 | sylbid 239 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))) |
225 | 224 | ex 413 |
. . . . 5
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))) |
226 | 225 | rexlimdvva 3221 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ ℤ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))) |
227 | 22, 226 | mpd 15 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))) |
228 | 227 | rexlimdva 3211 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))) |
229 | 7, 228 | sylbid 239 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))) |