Theorem itsclquadeu 46123

Description: Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a line and a circle. (Contributed by AV, 23-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itsclquadb.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclquadb.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itsclquadb.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))

Assertion

Ref	Expression
itsclquadeu	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌

Proof of Theorem itsclquadeu

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥↑2) = (𝑧↑2))
2	1	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑧↑2) + (𝑌↑2)))
3	2	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2)))
4		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑧))
5	4	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)))
6	5	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
7	3, 6	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
8	7	reu8 3668	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)))
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))))
10		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) → 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)))
11	10	eqcoms 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)))
12	11	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌))))
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌))))
14		simp11l 1283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
17	15, 16	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℂ)
19	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	19, 20	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℝ)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
24		simp12 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
26	24, 25	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
27	26	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
29	18, 23, 28	addcan2d 11179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) ↔ (𝐴 · 𝑧) = (𝐴 · 𝑥)))
30	16	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
31		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
32	31	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
33	15	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
34		simp11r 1284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
35	34	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
36	30, 32, 33, 35	mulcand 11608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝑧) = (𝐴 · 𝑥) ↔ 𝑧 = 𝑥))
37		equcom 2021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑧)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑧))
39	29, 36, 38	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) ↔ 𝑥 = 𝑧))
40	39	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) → 𝑥 = 𝑧))
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) → 𝑥 = 𝑧))
42	13, 41	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝑥 = 𝑧))
43	42	an32s 649	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝑥 = 𝑧))
44	43	adantld 491	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))
45	44	ralrimiva 3103	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))
46	45	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)))
47	46	adantld 491	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)))
48	47	pm4.71d 562	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))))
49	48	bicomd 222	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)) ↔ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
50	49	rexbidva 3225	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
51		itsclquadb.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
52		itsclquadb.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
53		itsclquadb.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
54	51, 52, 53	itsclquadb 46122	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
55	9, 50, 54	3bitrd 305	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206  2c2 12028  ℝ⁺crp 12730  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02p  46131