itsclquadeu - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem itsclquadeu 47763

Description: Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a line and a circle. (Contributed by AV, 23-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itsclquadb.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclquadb.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itsclquadb.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))

**Assertion**
Ref	Expression
itsclquadeu	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝑄 𝑥,𝑅 𝑥,𝑇 𝑥,𝑈 𝑥,𝑌

Proof of Theorem itsclquadeu Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥↑2) = (𝑧↑2))
2	1	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑧↑2) + (𝑌↑2)))
3	2	eqeq1d 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2)))
4		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑧))
5	4	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)))
6	5	eqeq1d 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
7	3, 6	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
8	7	reu8 3726	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)))
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))))
10		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) → 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)))
11	10	eqcoms 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)))
12	11	eqeq2d 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌))))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌))))
14		simp11l 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
17	15, 16	remulcld 11260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℂ)
19	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	19, 20	remulcld 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
24		simp12 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		simp3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
26	24, 25	remulcld 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
27	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
29	18, 23, 28	addcan2d 11434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) ↔ (𝐴 · 𝑧) = (𝐴 · 𝑥)))
30	16	recnd 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
31		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
32	31	recnd 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
33	15	recnd 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
34		simp11r 1283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
35	34	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
36	30, 32, 33, 35	mulcand 11863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝑧) = (𝐴 · 𝑥) ↔ 𝑧 = 𝑥))
37		equcom 2014	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑧)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑧))
39	29, 36, 38	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) ↔ 𝑥 = 𝑧))
40	39	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) → 𝑥 = 𝑧))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) → 𝑥 = 𝑧))
42	13, 41	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝑥 = 𝑧))
43	42	an32s 651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝑥 = 𝑧))
44	43	adantld 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))
45	44	ralrimiva 3141	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))
46	45	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)))
47	46	adantld 490	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)))
48	47	pm4.71d 561	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))))
49	48	bicomd 222	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)) ↔ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
50	49	rexbidva 3171	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
51		itsclquadb.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
52		itsclquadb.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
53		itsclquadb.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
54	51, 52, 53	itsclquadb 47762	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
55	9, 50, 54	3bitrd 305	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1085 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ≠ wne 2935 ∀wral 3056 ∃wrex 3065 ∃!wreu 3369 (class class class)co 7414 ℝcr 11123 0cc0 11124 + caddc 11127 · cmul 11129 − cmin 11460 -cneg 11461 2c2 12283 ℝ⁺crp 12992 ↑cexp 14044

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7863 df-2nd 7986 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-er 8716 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-div 11888 df-nn 12229 df-2 12291 df-n0 12489 df-z 12575 df-uz 12839 df-rp 12993 df-seq 13985 df-exp 14045

This theorem is referenced by: itscnhlinecirc02p 47771

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