Theorem itsclquadeu 48757

Description: Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a line and a circle. (Contributed by AV, 23-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itsclquadb.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclquadb.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itsclquadb.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))

Assertion

Ref	Expression
itsclquadeu	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌

Proof of Theorem itsclquadeu

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥↑2) = (𝑧↑2))
2	1	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑧↑2) + (𝑌↑2)))
3	2	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2)))
4		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑧))
5	4	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)))
6	5	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
7	3, 6	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
8	7	reu8 3716	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)))
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))))
10		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) → 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)))
11	10	eqcoms 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)))
12	11	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌))))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌))))
14		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
17	15, 16	remulcld 11265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℂ)
19	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	19, 20	remulcld 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
24		simp12 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
26	24, 25	remulcld 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
29	18, 23, 28	addcan2d 11439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) ↔ (𝐴 · 𝑧) = (𝐴 · 𝑥)))
30	16	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
31		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
32	31	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
33	15	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
34		simp11r 1286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
36	30, 32, 33, 35	mulcand 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝑧) = (𝐴 · 𝑥) ↔ 𝑧 = 𝑥))
37		equcom 2017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑧)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑧))
39	29, 36, 38	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) ↔ 𝑥 = 𝑧))
40	39	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) → 𝑥 = 𝑧))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) → 𝑥 = 𝑧))
42	13, 41	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝑥 = 𝑧))
43	42	an32s 652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝑥 = 𝑧))
44	43	adantld 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))
45	44	ralrimiva 3132	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))
46	45	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)))
47	46	adantld 490	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)))
48	47	pm4.71d 561	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))))
49	48	bicomd 223	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)) ↔ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
50	49	rexbidva 3162	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
51		itsclquadb.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
52		itsclquadb.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
53		itsclquadb.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
54	51, 52, 53	itsclquadb 48756	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
55	9, 50, 54	3bitrd 305	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3357  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129   + caddc 11132   · cmul 11134   − cmin 11466  -cneg 11467  2c2 12295  ℝ⁺crp 13008  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02p  48765