Theorem itsclquadeu 46011

Description: Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a line and a circle. (Contributed by AV, 23-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itsclquadb.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclquadb.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itsclquadb.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))

Assertion

Ref	Expression
itsclquadeu	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌

Proof of Theorem itsclquadeu

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥↑2) = (𝑧↑2))
2	1	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑧↑2) + (𝑌↑2)))
3	2	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2)))
4		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑧))
5	4	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)))
6	5	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
7	3, 6	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
8	7	reu8 3663	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)))
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))))
10		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) → 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)))
11	10	eqcoms 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)))
12	11	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌))))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌))))
14		simp11l 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
17	15, 16	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℝ)
18	17	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℂ)
19	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	19, 20	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℝ)
23	22	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
24		simp12 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		simp3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
26	24, 25	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
27	26	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
28	27	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
29	18, 23, 28	addcan2d 11109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) ↔ (𝐴 · 𝑧) = (𝐴 · 𝑥)))
30	16	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
31		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
32	31	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
33	15	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
34		simp11r 1283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
35	34	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
36	30, 32, 33, 35	mulcand 11538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝑧) = (𝐴 · 𝑥) ↔ 𝑧 = 𝑥))
37		equcom 2022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑧)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑧))
39	29, 36, 38	3bitrd 304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) ↔ 𝑥 = 𝑧))
40	39	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) → 𝑥 = 𝑧))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) → 𝑥 = 𝑧))
42	13, 41	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝑥 = 𝑧))
43	42	an32s 648	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝑥 = 𝑧))
44	43	adantld 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))
45	44	ralrimiva 3107	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))
46	45	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)))
47	46	adantld 490	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)))
48	47	pm4.71d 561	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧))))
49	48	bicomd 222	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)) ↔ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
50	49	rexbidva 3224	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((((𝑧↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑧) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → 𝑥 = 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
51		itsclquadb.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
52		itsclquadb.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
53		itsclquadb.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
54	51, 52, 53	itsclquadb 46010	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
55	9, 50, 54	3bitrd 304	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  -cneg 11136  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02p  46019