MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bday0s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bday0s 27329
Description: Calculate the birthday of surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
bday0s ( bday ‘ 0s ) = ∅

Proof of Theorem bday0s
StepHypRef Expression
1 df-0s 27325 . . . 4 0s = (∅ |s ∅)
21fveq2i 6895 . . 3 ( bday ‘ 0s ) = ( bday ‘(∅ |s ∅))
3 0elpw 5355 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 No
4 nulssgt 27299 . . . 4 (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
5 scutbday 27305 . . . 4 (∅ <<s ∅ → ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ( bday “ {𝑥 No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}))
63, 4, 5mp2b 10 . . 3 ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ( bday “ {𝑥 No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
72, 6eqtri 2761 . 2 ( bday ‘ 0s ) = ( bday “ {𝑥 No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
8 snelpwi 5444 . . . . . . . 8 (𝑥 No → {𝑥} ∈ 𝒫 No )
9 nulsslt 27298 . . . . . . . . 9 ({𝑥} ∈ 𝒫 No → ∅ <<s {𝑥})
10 nulssgt 27299 . . . . . . . . 9 ({𝑥} ∈ 𝒫 No → {𝑥} <<s ∅)
119, 10jca 513 . . . . . . . 8 ({𝑥} ∈ 𝒫 No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
128, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
1312rabeqc 3445 . . . . . 6 {𝑥 No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = No
14 bdaydm 27276 . . . . . 6 dom bday = No
1513, 14eqtr4i 2764 . . . . 5 {𝑥 No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = dom bday
1615imaeq2i 6058 . . . 4 ( bday “ {𝑥 No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ( bday “ dom bday )
17 imadmrn 6070 . . . 4 ( bday “ dom bday ) = ran bday
18 bdayrn 27277 . . . 4 ran bday = On
1916, 17, 183eqtri 2765 . . 3 ( bday “ {𝑥 No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = On
2019inteqi 4955 . 2 ( bday “ {𝑥 No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = On
21 inton 6423 . 2 On = ∅
227, 20, 213eqtri 2765 1 ( bday ‘ 0s ) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433  c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629   cint 4951   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678  cima 5680  Oncon0 6365  cfv 6544  (class class class)co 7409   No csur 27143   bday cbday 27145   <<s csslt 27282   |s cscut 27284   0s c0s 27323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1o 8466  df-2o 8467  df-no 27146  df-slt 27147  df-bday 27148  df-sslt 27283  df-scut 27285  df-0s 27325
This theorem is referenced by:  bday0b  27331  bday1s  27332  cuteq0  27333  left0s  27387  right0s  27388  0elold  27402  addsproplem2  27454  negsproplem2  27503  negsproplem6  27507  mulsproplem2  27573  mulsproplem3  27574  mulsproplem4  27575  mulsproplem5  27576  mulsproplem6  27577  mulsproplem7  27578  mulsproplem8  27579  mulsproplem12  27583  mulsproplem13  27584  mulsproplem14  27585
  Copyright terms: Public domain W3C validator