Theorem bday0s 27809

Description: Calculate the birthday of surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bday0s	⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∅

Proof of Theorem bday0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27805	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2	1	fveq2i 6838	. . 3 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ( bday ‘(∅ |s ∅))
3		0elpw 5302	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
4		nulssgt 27776	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
5		scutbday 27782	. . . 4 ⊢ (∅ <<s ∅ → ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . 3 ⊢ ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
7	2, 6	eqtri 2760	. 2 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
8		snelpwi 5393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑥} ∈ 𝒫 No )
9		nulsslt 27775	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → ∅ <<s {𝑥})
10		nulssgt 27776	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → {𝑥} <<s ∅)
11	9, 10	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
13	12	rabeqc 3412	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = No
14		bdaydm 27750	. . . . . 6 ⊢ dom bday = No
15	13, 14	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = dom bday
16	15	imaeq2i 6018	. . . 4 ⊢ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ( bday “ dom bday )
17		imadmrn 6030	. . . 4 ⊢ ( bday “ dom bday ) = ran bday
18		bdayrn 27751	. . . 4 ⊢ ran bday = On
19	16, 17, 18	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = On
20	19	inteqi 4907	. 2 ⊢ ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ∩ On
21		inton 6377	. 2 ⊢ ∩ On = ∅
22	7, 20, 21	3eqtri 2764	1 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4555  {csn 4581  ∩ cint 4903   class class class wbr 5099  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628  Oncon0 6318  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   No csur 27611   bday cbday 27613   <<s csslt 27757   |s cscut 27759   0_s c0s 27803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27614  df-slt 27615  df-bday 27616  df-sslt 27758  df-scut 27760  df-0s 27805

This theorem is referenced by:  bday0b  27811  bday1s  27812  cuteq0  27813  left0s  27875  right0s  27876  0elold  27892  addsproplem2  27952  negsproplem2  28011  negsproplem6  28015  mulsproplem2  28099  mulsproplem3  28100  mulsproplem4  28101  mulsproplem5  28102  mulsproplem6  28103  mulsproplem7  28104  mulsproplem8  28105  mulsproplem12  28109  mulsproplem13  28110  mulsproplem14  28111  n0sbday  28332  bdayn0sf1o  28349  bdaypw2n0sbndlem  28442  bdaypw2n0sbnd  28443  bdayfinbndlem2  28447