Theorem bday0s 27765

Description: Calculate the birthday of surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bday0s	⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∅

Proof of Theorem bday0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27761	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2	1	fveq2i 6820	. . 3 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ( bday ‘(∅ |s ∅))
3		0elpw 5292	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
4		nulssgt 27732	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
5		scutbday 27738	. . . 4 ⊢ (∅ <<s ∅ → ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . 3 ⊢ ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
7	2, 6	eqtri 2753	. 2 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
8		snelpwi 5383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑥} ∈ 𝒫 No )
9		nulsslt 27731	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → ∅ <<s {𝑥})
10		nulssgt 27732	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → {𝑥} <<s ∅)
11	9, 10	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
13	12	rabeqc 3405	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = No
14		bdaydm 27706	. . . . . 6 ⊢ dom bday = No
15	13, 14	eqtr4i 2756	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = dom bday
16	15	imaeq2i 6004	. . . 4 ⊢ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ( bday “ dom bday )
17		imadmrn 6016	. . . 4 ⊢ ( bday “ dom bday ) = ran bday
18		bdayrn 27707	. . . 4 ⊢ ran bday = On
19	16, 17, 18	3eqtri 2757	. . 3 ⊢ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = On
20	19	inteqi 4899	. 2 ⊢ ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ∩ On
21		inton 6361	. 2 ⊢ ∩ On = ∅
22	7, 20, 21	3eqtri 2757	1 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {crab 3393  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4548  {csn 4574  ∩ cint 4895   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ran crn 5615   “ cima 5617  Oncon0 6302  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   No csur 27571   bday cbday 27573   <<s csslt 27713   |s cscut 27715   0_s c0s 27759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6305  df-on 6306  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1o 8380  df-2o 8381  df-no 27574  df-slt 27575  df-bday 27576  df-sslt 27714  df-scut 27716  df-0s 27761

This theorem is referenced by:  bday0b  27767  bday1s  27768  cuteq0  27769  left0s  27831  right0s  27832  0elold  27848  addsproplem2  27906  negsproplem2  27964  negsproplem6  27968  mulsproplem2  28049  mulsproplem3  28050  mulsproplem4  28051  mulsproplem5  28052  mulsproplem6  28053  mulsproplem7  28054  mulsproplem8  28055  mulsproplem12  28059  mulsproplem13  28060  mulsproplem14  28061  n0sbday  28273  bdayn0sf1o  28288