Theorem bday0s 27760

Description: Calculate the birthday of surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bday0s	⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∅

Proof of Theorem bday0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27756	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2	1	fveq2i 6829	. . 3 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ( bday ‘(∅ |s ∅))
3		0elpw 5298	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
4		nulssgt 27727	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
5		scutbday 27733	. . . 4 ⊢ (∅ <<s ∅ → ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . 3 ⊢ ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
7	2, 6	eqtri 2752	. 2 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
8		snelpwi 5390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑥} ∈ 𝒫 No )
9		nulsslt 27726	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → ∅ <<s {𝑥})
10		nulssgt 27727	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → {𝑥} <<s ∅)
11	9, 10	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
13	12	rabeqc 3409	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = No
14		bdaydm 27702	. . . . . 6 ⊢ dom bday = No
15	13, 14	eqtr4i 2755	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = dom bday
16	15	imaeq2i 6013	. . . 4 ⊢ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ( bday “ dom bday )
17		imadmrn 6025	. . . 4 ⊢ ( bday “ dom bday ) = ran bday
18		bdayrn 27703	. . . 4 ⊢ ran bday = On
19	16, 17, 18	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = On
20	19	inteqi 4903	. 2 ⊢ ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ∩ On
21		inton 6370	. 2 ⊢ ∩ On = ∅
22	7, 20, 21	3eqtri 2756	1 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3396  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4553  {csn 4579  ∩ cint 4899   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  ran crn 5624   “ cima 5626  Oncon0 6311  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   No csur 27567   bday cbday 27569   <<s csslt 27709   |s cscut 27711   0_s c0s 27754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sslt 27710  df-scut 27712  df-0s 27756

This theorem is referenced by:  bday0b  27762  bday1s  27763  cuteq0  27764  left0s  27825  right0s  27826  0elold  27842  addsproplem2  27900  negsproplem2  27958  negsproplem6  27962  mulsproplem2  28043  mulsproplem3  28044  mulsproplem4  28045  mulsproplem5  28046  mulsproplem6  28047  mulsproplem7  28048  mulsproplem8  28049  mulsproplem12  28053  mulsproplem13  28054  mulsproplem14  28055  n0sbday  28267  bdayn0sf1o  28282