Theorem n0cut2 28601

Description: A cut form for the successor of a non-negative surreal integer. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0cut2	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 +s 1s ) = ({𝐴} |s ∅))

Proof of Theorem n0cut2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2n0s 28596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 +s 1s ) ∈ ℕ0s)
2		n0cut 28600	. . 3 ⊢ ((𝐴 +s 1s ) ∈ ℕ0s → (𝐴 +s 1s ) = ({((𝐴 +s 1s ) -s 1s )} |s ∅))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 +s 1s ) = ({((𝐴 +s 1s ) -s 1s )} |s ∅))
4		n0no 28589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ No )
5		1no 28076	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
6		pncans 28338	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → ((𝐴 +s 1s ) -s 1s ) = 𝐴)
7	4, 5, 6	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ((𝐴 +s 1s ) -s 1s ) = 𝐴)
8	7	sneqd 4596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → {((𝐴 +s 1s ) -s 1s )} = {𝐴})
9	8	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ({((𝐴 +s 1s ) -s 1s )} |s ∅) = ({𝐴} |s ∅))
10	3, 9	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 +s 1s ) = ({𝐴} |s ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  {csn 4584  (class class class)co 7414   No csur 27877   |s ccuts 28025   1_s c1s 28072   +_s cadds 28225   -_s csubs 28286  ℕ_0scn0s 28578

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-nadd 8655  df-no 27880  df-lts 27881  df-bday 27882  df-les 27982  df-slts 28024  df-cuts 28026  df-0s 28073  df-1s 28074  df-made 28093  df-old 28094  df-left 28096  df-right 28097  df-norec 28204  df-norec2 28215  df-adds 28226  df-negs 28287  df-subs 28288  df-n0s 28580

This theorem is used by:  n0bday  28618  bdayn0p1  28635  1p1e2s  28682