Theorem n0on 28727

Description: A surreal natural is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0on	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

Proof of Theorem n0on

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0no 28714	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ No)
2		1no 28201	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		subscl 28453	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ No) → (𝐴 −s 1s ) ∈ No)
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 −s 1s ) ∈ No)
5		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −s 1s ) ∈ V
6	5	snelpw 5412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −s 1s ) ∈ No ↔ {(𝐴 −s 1s )} ∈ 𝒫 No)
7	4, 6	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → {(𝐴 −s 1s )} ∈ 𝒫 No)
8		n0cut 28725	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({(𝐴 −s 1s )} |s ∅))
9		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 −s 1s )} → (𝑥 |s ∅) = ({(𝐴 −s 1s )} |s ∅))
10	9	eqeq2d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 −s 1s )} → (𝐴 = (𝑥 |s ∅) ↔ 𝐴 = ({(𝐴 −s 1s )} |s ∅)))
11	10	rspcev 3576	. . 3 ⊢ (({(𝐴 −s 1s )} ∈ 𝒫 No ∧ 𝐴 = ({(𝐴 −s 1s )} |s ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑥 |s ∅))
12	7, 8, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑥 |s ∅))
13		elons2 28649	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑥 |s ∅))
14	12, 13	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  (class class class)co 7420  Nocsur 28002   |s ccuts 28150   1_s c1s 28197   −_s csubs 28411  On_scons 28642  ℕ_0scn0s 28703

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-nadd 8678  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-les 28107  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-0s 28198  df-1s 28199  df-made 28218  df-old 28219  df-left 28221  df-right 28222  df-norec 28329  df-norec2 28340  df-adds 28351  df-negs 28412  df-subs 28413  df-ons 28643  df-n0s 28705

This theorem is used by:  eln0s2  28748  onltn0s  28749  n0cutlt  28750  bdayn0p1  28760  bdayn0sf1o  28761  zcuts0  28799  bdaypw2bnd  28856  bdayfinbndlem1  28858  z12bdaylem2  28862