Theorem n0on 28752

Description: A surreal natural is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0on	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

Proof of Theorem n0on

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0no 28739	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ No)
2		1no 28226	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		subscl 28478	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ No) → (𝐴 −s 1s ) ∈ No)
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 −s 1s ) ∈ No)
5		ovex 7476	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −s 1s ) ∈ V
6	5	snelpw 5417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −s 1s ) ∈ No ↔ {(𝐴 −s 1s )} ∈ 𝒫 No)
7	4, 6	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → {(𝐴 −s 1s )} ∈ 𝒫 No)
8		n0cut 28750	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({(𝐴 −s 1s )} |s ∅))
9		oveq1 7450	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 −s 1s )} → (𝑥 |s ∅) = ({(𝐴 −s 1s )} |s ∅))
10	9	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 −s 1s )} → (𝐴 = (𝑥 |s ∅) ↔ 𝐴 = ({(𝐴 −s 1s )} |s ∅)))
11	10	rspcev 3580	. . 3 ⊢ (({(𝐴 −s 1s )} ∈ 𝒫 No ∧ 𝐴 = ({(𝐴 −s 1s )} |s ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑥 |s ∅))
12	7, 8, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑥 |s ∅))
13		elons2 28674	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑥 |s ∅))
14	12, 13	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  (class class class)co 7443  Nocsur 28027   |s ccuts 28175   1_s c1s 28222   −_s csubs 28436  On_scons 28667  ℕ_0scn0s 28728

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-nadd 8703  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-les 28132  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223  df-1s 28224  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247  df-norec 28354  df-norec2 28365  df-adds 28376  df-negs 28437  df-subs 28438  df-ons 28668  df-n0s 28730

This theorem is used by:  eln0s2  28773  onltn0s  28774  n0cutlt  28775  bdayn0p1  28785  bdayn0sf1o  28786  zcuts0  28824  bdaypw2bnd  28881  bdayfinbndlem1  28883  z12bdaylem2  28887