Theorem n0on 28609

Description: A surreal natural is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0on	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

Proof of Theorem n0on

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0no 28596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ No )
2		1no 28083	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		subscl 28335	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → (𝐴 -s 1s ) ∈ No )
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 -s 1s ) ∈ No )
5		ovex 7450	. . . . 5 ⊢ (𝐴 -s 1s ) ∈ V
6	5	snelpw 5424	. . . 4 ⊢ ((𝐴 -s 1s ) ∈ No ↔ {(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No )
7	4, 6	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → {(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No )
8		n0cut 28607	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅))
9		oveq1 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 -s 1s )} → (𝑥 |s ∅) = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅))
10	9	eqeq2d 2773	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 -s 1s )} → (𝐴 = (𝑥 |s ∅) ↔ 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅)))
11	10	rspcev 3579	. . 3 ⊢ (({(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No ∧ 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
12	7, 8, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
13		elons2 28531	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
14	12, 13	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  (class class class)co 7417   No csur 27884   |s ccuts 28032   1_s c1s 28079   -_s csubs 28293  On_scons 28524  ℕ_0scn0s 28585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-nadd 8658  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-les 27989  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-0s 28080  df-1s 28081  df-made 28100  df-old 28101  df-left 28103  df-right 28104  df-norec 28211  df-norec2 28222  df-adds 28233  df-negs 28294  df-subs 28295  df-ons 28525  df-n0s 28587

This theorem is used by:  eln0s2  28630  onltn0s  28631  n0cutlt  28632  bdayn0p1  28642  bdayn0sf1o  28643  zcuts0  28681  bdaypw2bnd  28738  bdayfinbndlem1  28740  z12bdaylem2  28744