Theorem n0on 28406

Description: A surreal natural is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0on	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

Proof of Theorem n0on

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0no 28393	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ No )
2		1no 27880	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		subscl 28132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → (𝐴 -s 1s ) ∈ No )
4	1, 2, 3	sylancl 595	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 -s 1s ) ∈ No )
5		ovex 7425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 -s 1s ) ∈ V
6	5	snelpw 5411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 -s 1s ) ∈ No ↔ {(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No )
7	4, 6	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → {(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No )
8		n0cut 28404	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅))
9		oveq1 7399	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 -s 1s )} → (𝑥 |s ∅) = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅))
10	9	eqeq2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 -s 1s )} → (𝐴 = (𝑥 |s ∅) ↔ 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅)))
11	10	rspcev 3581	. . 3 ⊢ (({(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No ∧ 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
12	7, 8, 11	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
13		elons2 28328	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
14	12, 13	sylibr 236	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4581  (class class class)co 7392   No csur 27681   |s ccuts 27829   1_s c1s 27876   -_s csubs 28090  On_scons 28321  ℕ_0scn0s 28382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-nadd 8631  df-no 27684  df-lts 27685  df-bday 27686  df-les 27786  df-slts 27828  df-cuts 27830  df-0s 27877  df-1s 27878  df-made 27897  df-old 27898  df-left 27900  df-right 27901  df-norec 28008  df-norec2 28019  df-adds 28030  df-negs 28091  df-subs 28092  df-ons 28322  df-n0s 28384

This theorem is referenced by:  eln0s2  28427  onltn0s  28428  n0cutlt  28429  bdayn0p1  28439  bdayn0sf1o  28440  zcuts0  28478  bdaypw2bnd  28535  bdayfinbndlem1  28537  z12bdaylem2  28541