Theorem n0on 28332

Description: A surreal natural is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0on	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

Proof of Theorem n0on

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0no 28319	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ No )
2		1no 27806	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		subscl 28058	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → (𝐴 -s 1s ) ∈ No )
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 -s 1s ) ∈ No )
5		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ (𝐴 -s 1s ) ∈ V
6	5	snelpw 5393	. . . 4 ⊢ ((𝐴 -s 1s ) ∈ No ↔ {(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No )
7	4, 6	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → {(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No )
8		n0cut 28330	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅))
9		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 -s 1s )} → (𝑥 |s ∅) = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅))
10	9	eqeq2d 2747	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 -s 1s )} → (𝐴 = (𝑥 |s ∅) ↔ 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅)))
11	10	rspcev 3576	. . 3 ⊢ (({(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No ∧ 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
12	7, 8, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
13		elons2 28254	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4580  (class class class)co 7358   No csur 27607   |s ccuts 27755   1_s c1s 27802   -_s csubs 28016  On_scons 28247  ℕ_0scn0s 28308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-nadd 8594  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-les 27713  df-slts 27754  df-cuts 27756  df-0s 27803  df-1s 27804  df-made 27823  df-old 27824  df-left 27826  df-right 27827  df-norec 27934  df-norec2 27945  df-adds 27956  df-negs 28017  df-subs 28018  df-ons 28248  df-n0s 28310

This theorem is referenced by:  eln0s2  28353  onltn0s  28354  n0cutlt  28355  bdayn0p1  28365  bdayn0sf1o  28366  zcuts0  28404  bdaypw2bnd  28461  bdayfinbndlem1  28463  z12bdaylem2  28467