MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infrenegsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrenegsup 12251
Description: The infimum of a set of reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. The antecedent ensures that 𝐴 is nonempty and has a lower bound. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infrenegsup ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infrenegsup
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infrecl 12250 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21recnd 11289 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
32negnegd 11611 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → --inf(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
4 negeq 11500 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → -𝑤 = -𝑧)
54cbvmptv 5255 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧)
65mptpreima 6258 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}
7 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)
87negiso 12248 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤))
98simpri 485 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)
109imaeq1i 6075 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴)
116, 10eqtr3i 2767 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴)
1211supeq1i 9487 . . . . 5 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = sup(((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴), ℝ, < )
138simpli 483 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)
14 isocnv 7350 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)
16 isoeq1 7337 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)))
179, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ))
1815, 17mpbi 230 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ))
20 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21 infm3 12227 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
22 vex 3484 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
23 vex 3484 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
2422, 23brcnv 5893 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥)
2524notbii 320 . . . . . . . . . 10 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥)
2625ralbii 3093 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥)
2723, 22brcnv 5893 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 < 𝑥𝑥 < 𝑦)
28 vex 3484 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
2923, 28brcnv 5893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦)
3029rexbii 3094 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)
3127, 30imbi12i 350 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
3231ralbii 3093 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
3326, 32anbi12i 628 . . . . . . . 8 ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3433rexbii 3094 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3521, 34sylibr 234 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
36 gtso 11342 . . . . . . 7 < Or ℝ
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → < Or ℝ)
3819, 20, 35, 37supiso 9515 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → sup(((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴), ℝ, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )))
3912, 38eqtrid 2789 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )))
40 df-inf 9483 . . . . . . . 8 inf(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < )
4140eqcomi 2746 . . . . . . 7 sup(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < )
4241fveq2i 6909 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘inf(𝐴, ℝ, < ))
43 negeq 11500 . . . . . . 7 (𝑤 = inf(𝐴, ℝ, < ) → -𝑤 = -inf(𝐴, ℝ, < ))
44 negex 11506 . . . . . . 7 -inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ V
4543, 7, 44fvmpt 7016 . . . . . 6 (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘inf(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
4642, 45eqtrid 2789 . . . . 5 (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
471, 46syl 17 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
4839, 47eqtr2d 2778 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -inf(𝐴, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
4948negeqd 11502 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → --inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
503, 49eqtr3d 2779 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Or wor 5591  ccnv 5684  cima 5688  cfv 6561   Isom wiso 6562  supcsup 9480  infcinf 9481  cr 11154   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495
This theorem is referenced by:  supminf  12977  mbfinf  25700  infnsuprnmpt  45257  supminfxr  45475
  Copyright terms: Public domain W3C validator