MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infrenegsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrenegsup 12230
Description: The infimum of a set of reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. The antecedent ensures that 𝐴 is nonempty and has a lower bound. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infrenegsup ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infrenegsup
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infrecl 12229 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21recnd 11274 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
32negnegd 11594 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → --inf(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
4 negeq 11484 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → -𝑤 = -𝑧)
54cbvmptv 5262 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧)
65mptpreima 6244 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}
7 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)
87negiso 12227 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤))
98simpri 484 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)
109imaeq1i 6061 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴)
116, 10eqtr3i 2755 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴)
1211supeq1i 9472 . . . . 5 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = sup(((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴), ℝ, < )
138simpli 482 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)
14 isocnv 7337 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)
16 isoeq1 7324 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)))
179, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ))
1815, 17mpbi 229 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ))
20 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21 infm3 12206 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
22 vex 3465 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
23 vex 3465 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
2422, 23brcnv 5885 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥)
2524notbii 319 . . . . . . . . . 10 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥)
2625ralbii 3082 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥)
2723, 22brcnv 5885 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 < 𝑥𝑥 < 𝑦)
28 vex 3465 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
2923, 28brcnv 5885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦)
3029rexbii 3083 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)
3127, 30imbi12i 349 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
3231ralbii 3082 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
3326, 32anbi12i 626 . . . . . . . 8 ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3433rexbii 3083 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3521, 34sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
36 gtso 11327 . . . . . . 7 < Or ℝ
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → < Or ℝ)
3819, 20, 35, 37supiso 9500 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → sup(((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴), ℝ, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )))
3912, 38eqtrid 2777 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )))
40 df-inf 9468 . . . . . . . 8 inf(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < )
4140eqcomi 2734 . . . . . . 7 sup(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < )
4241fveq2i 6899 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘inf(𝐴, ℝ, < ))
43 negeq 11484 . . . . . . 7 (𝑤 = inf(𝐴, ℝ, < ) → -𝑤 = -inf(𝐴, ℝ, < ))
44 negex 11490 . . . . . . 7 -inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ V
4543, 7, 44fvmpt 7004 . . . . . 6 (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘inf(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
4642, 45eqtrid 2777 . . . . 5 (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
471, 46syl 17 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
4839, 47eqtr2d 2766 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -inf(𝐴, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
4948negeqd 11486 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → --inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
503, 49eqtr3d 2767 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  wss 3944  c0 4322   class class class wbr 5149  cmpt 5232   Or wor 5589  ccnv 5677  cima 5681  cfv 6549   Isom wiso 6550  supcsup 9465  infcinf 9466  cr 11139   < clt 11280  cle 11281  -cneg 11477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479
This theorem is referenced by:  supminf  12952  mbfinf  25638  infnsuprnmpt  44761  supminfxr  44981
  Copyright terms: Public domain W3C validator