MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infrenegsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrenegsup 12196
Description: The infimum of a set of reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. The antecedent ensures that 𝐴 is nonempty and has a lower bound. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infrenegsup ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infrenegsup
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infrecl 12195 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21recnd 11241 . . 3 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ β„‚)
32negnegd 11561 . 2 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ --inf(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
4 negeq 11451 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑧 β†’ -𝑀 = -𝑧)
54cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧)
65mptpreima 6237 . . . . . . 7 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}
7 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)
87negiso 12193 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom < , β—‘ < (ℝ, ℝ) ∧ β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀))
98simpri 486 . . . . . . . 8 β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)
109imaeq1i 6056 . . . . . . 7 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴)
116, 10eqtr3i 2762 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴)
1211supeq1i 9441 . . . . 5 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴), ℝ, < )
138simpli 484 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom < , β—‘ < (ℝ, ℝ)
14 isocnv 7326 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom < , β—‘ < (ℝ, ℝ) β†’ β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ)
16 isoeq1 7313 . . . . . . . . 9 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β†’ (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ)))
179, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ))
1815, 17mpbi 229 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ)
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ))
20 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
21 infm3 12172 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
22 vex 3478 . . . . . . . . . . . 12 π‘₯ ∈ V
23 vex 3478 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
2422, 23brcnv 5882 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯β—‘ < 𝑦 ↔ 𝑦 < π‘₯)
2524notbii 319 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 < π‘₯)
2625ralbii 3093 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯)
2723, 22brcnv 5882 . . . . . . . . . . 11 (𝑦◑ < π‘₯ ↔ π‘₯ < 𝑦)
28 vex 3478 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
2923, 28brcnv 5882 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦◑ < 𝑧 ↔ 𝑧 < 𝑦)
3029rexbii 3094 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
3127, 30imbi12i 350 . . . . . . . . . 10 ((𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧) ↔ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
3231ralbii 3093 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
3326, 32anbi12i 627 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3433rexbii 3094 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3521, 34sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧)))
36 gtso 11294 . . . . . . 7 β—‘ < Or ℝ
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ β—‘ < Or ℝ)
3819, 20, 35, 37supiso 9469 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ sup(((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴), ℝ, < ) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )))
3912, 38eqtrid 2784 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )))
40 df-inf 9437 . . . . . . . 8 inf(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )
4140eqcomi 2741 . . . . . . 7 sup(𝐴, ℝ, β—‘ < ) = inf(𝐴, ℝ, < )
4241fveq2i 6894 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜inf(𝐴, ℝ, < ))
43 negeq 11451 . . . . . . 7 (𝑀 = inf(𝐴, ℝ, < ) β†’ -𝑀 = -inf(𝐴, ℝ, < ))
44 negex 11457 . . . . . . 7 -inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ V
4543, 7, 44fvmpt 6998 . . . . . 6 (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜inf(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
4642, 45eqtrid 2784 . . . . 5 (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
471, 46syl 17 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
4839, 47eqtr2d 2773 . . 3 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ -inf(𝐴, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
4948negeqd 11453 . 2 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ --inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
503, 49eqtr3d 2774 1 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Or wor 5587  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  supcsup 9434  infcinf 9435  β„cr 11108   < clt 11247   ≀ cle 11248  -cneg 11444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446
This theorem is referenced by:  supminf  12918  mbfinf  25181  infnsuprnmpt  43944  supminfxr  44164
  Copyright terms: Public domain W3C validator