Theorem infrenegsup 12215

Description: The infimum of a set of reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. The antecedent ensures that 𝐴 is nonempty and has a lower bound. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infrenegsup	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infrenegsup

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infrecl 12214	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11254	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
3	2	negnegd 11577	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → --inf(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
4		negeq 11466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → -𝑤 = -𝑧)
5	4	cbvmptv 5217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧)
6	5	mptpreima 6241	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}
7		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)
8	7	negiso 12212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ∧ ◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤))
9	8	simpri 491	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)
10	9	imaeq1i 6061	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴)
11	6, 10	eqtr3i 2790	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴)
12	11	supeq1i 9414	. . . . 5 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴), ℝ, < )
13	8	simpli 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ)
14		isocnv 7337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) → ◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ)
16		isoeq1 7324	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) → (◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ)))
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ))
18	15, 17	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ)
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ))
20		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21		infm3 12191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
22		vex 3461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
23		vex 3461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
24	22, 23	brcnv 5870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥◡ < 𝑦 ↔ 𝑦 < 𝑥)
25	24	notbii 323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥◡ < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥)
26	25	ralbii 3113	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥)
27	23, 22	brcnv 5870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦◡ < 𝑥 ↔ 𝑥 < 𝑦)
28		vex 3461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
29	23, 28	brcnv 5870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦◡ < 𝑧 ↔ 𝑧 < 𝑦)
30	29	rexbii 3114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
31	27, 30	imbi12i 353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
32	31	ralbii 3113	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
33	26, 32	anbi12i 640	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
34	33	rexbii 3114	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
35	21, 34	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)))
36		gtso 11308	. . . . . . 7 ⊢ ◡ < Or ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ◡ < Or ℝ)
38	19, 20, 35, 37	supiso 9443	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴), ℝ, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, ◡ < )))
39	12, 38	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, ◡ < )))
40		df-inf 9410	. . . . . . . 8 ⊢ inf(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, ◡ < )
41	40	eqcomi 2774	. . . . . . 7 ⊢ sup(𝐴, ℝ, ◡ < ) = inf(𝐴, ℝ, < )
42	41	fveq2i 6888	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, ◡ < )) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘inf(𝐴, ℝ, < ))
43		negeq 11466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = inf(𝐴, ℝ, < ) → -𝑤 = -inf(𝐴, ℝ, < ))
44		negex 11472	. . . . . . 7 ⊢ -inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ V
45	43, 7, 44	fvmpt 6993	. . . . . 6 ⊢ (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘inf(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
46	42, 45	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, ◡ < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
47	1, 46	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, ◡ < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
48	39, 47	eqtr2d 2801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → -inf(𝐴, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
49	48	negeqd 11468	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → --inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
50	3, 49	eqtr3d 2802	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   Or wor 5570  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ‘cfv 6540   Isom wiso 6541  supcsup 9407  infcinf 9408  ℝcr 11116   < clt 11260   ≤ cle 11261  -cneg 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461

This theorem is used by:  supminf  12977  mbfinf  25877  infnsuprnmpt  46025  supminfxr  46238