MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infrenegsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrenegsup 12146
Description: The infimum of a set of reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. The antecedent ensures that 𝐴 is nonempty and has a lower bound. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infrenegsup ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infrenegsup
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infrecl 12145 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21recnd 11191 . . 3 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ β„‚)
32negnegd 11511 . 2 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ --inf(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
4 negeq 11401 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑧 β†’ -𝑀 = -𝑧)
54cbvmptv 5222 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧)
65mptpreima 6194 . . . . . . 7 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}
7 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)
87negiso 12143 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom < , β—‘ < (ℝ, ℝ) ∧ β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀))
98simpri 487 . . . . . . . 8 β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)
109imaeq1i 6014 . . . . . . 7 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴)
116, 10eqtr3i 2763 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴)
1211supeq1i 9391 . . . . 5 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴), ℝ, < )
138simpli 485 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom < , β—‘ < (ℝ, ℝ)
14 isocnv 7279 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom < , β—‘ < (ℝ, ℝ) β†’ β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ)
16 isoeq1 7266 . . . . . . . . 9 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β†’ (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ)))
179, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ))
1815, 17mpbi 229 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ)
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ))
20 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
21 infm3 12122 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
22 vex 3451 . . . . . . . . . . . 12 π‘₯ ∈ V
23 vex 3451 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
2422, 23brcnv 5842 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯β—‘ < 𝑦 ↔ 𝑦 < π‘₯)
2524notbii 320 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 < π‘₯)
2625ralbii 3093 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯)
2723, 22brcnv 5842 . . . . . . . . . . 11 (𝑦◑ < π‘₯ ↔ π‘₯ < 𝑦)
28 vex 3451 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
2923, 28brcnv 5842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦◑ < 𝑧 ↔ 𝑧 < 𝑦)
3029rexbii 3094 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
3127, 30imbi12i 351 . . . . . . . . . 10 ((𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧) ↔ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
3231ralbii 3093 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
3326, 32anbi12i 628 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3433rexbii 3094 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3521, 34sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧)))
36 gtso 11244 . . . . . . 7 β—‘ < Or ℝ
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ β—‘ < Or ℝ)
3819, 20, 35, 37supiso 9419 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ sup(((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴), ℝ, < ) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )))
3912, 38eqtrid 2785 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )))
40 df-inf 9387 . . . . . . . 8 inf(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )
4140eqcomi 2742 . . . . . . 7 sup(𝐴, ℝ, β—‘ < ) = inf(𝐴, ℝ, < )
4241fveq2i 6849 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜inf(𝐴, ℝ, < ))
43 negeq 11401 . . . . . . 7 (𝑀 = inf(𝐴, ℝ, < ) β†’ -𝑀 = -inf(𝐴, ℝ, < ))
44 negex 11407 . . . . . . 7 -inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ V
4543, 7, 44fvmpt 6952 . . . . . 6 (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜inf(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
4642, 45eqtrid 2785 . . . . 5 (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
471, 46syl 17 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
4839, 47eqtr2d 2774 . . 3 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ -inf(𝐴, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
4948negeqd 11403 . 2 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ --inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
503, 49eqtr3d 2775 1 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Or wor 5548  β—‘ccnv 5636   β€œ cima 5640  β€˜cfv 6500   Isom wiso 6501  supcsup 9384  infcinf 9385  β„cr 11058   < clt 11197   ≀ cle 11198  -cneg 11394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396
This theorem is referenced by:  supminf  12868  mbfinf  25052  infnsuprnmpt  43569  supminfxr  43789
  Copyright terms: Public domain W3C validator