MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infrenegsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrenegsup 12201
Description: The infimum of a set of reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. The antecedent ensures that 𝐴 is nonempty and has a lower bound. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infrenegsup ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infrenegsup
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infrecl 12200 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21recnd 11246 . . 3 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ β„‚)
32negnegd 11566 . 2 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ --inf(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
4 negeq 11456 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑧 β†’ -𝑀 = -𝑧)
54cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧)
65mptpreima 6236 . . . . . . 7 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}
7 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)
87negiso 12198 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom < , β—‘ < (ℝ, ℝ) ∧ β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀))
98simpri 484 . . . . . . . 8 β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)
109imaeq1i 6055 . . . . . . 7 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴)
116, 10eqtr3i 2760 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴)
1211supeq1i 9444 . . . . 5 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴), ℝ, < )
138simpli 482 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom < , β—‘ < (ℝ, ℝ)
14 isocnv 7329 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom < , β—‘ < (ℝ, ℝ) β†’ β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ)
16 isoeq1 7316 . . . . . . . . 9 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β†’ (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ)))
179, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ))
1815, 17mpbi 229 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ)
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ))
20 simp1 1134 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
21 infm3 12177 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
22 vex 3476 . . . . . . . . . . . 12 π‘₯ ∈ V
23 vex 3476 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
2422, 23brcnv 5881 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯β—‘ < 𝑦 ↔ 𝑦 < π‘₯)
2524notbii 319 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 < π‘₯)
2625ralbii 3091 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯)
2723, 22brcnv 5881 . . . . . . . . . . 11 (𝑦◑ < π‘₯ ↔ π‘₯ < 𝑦)
28 vex 3476 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
2923, 28brcnv 5881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦◑ < 𝑧 ↔ 𝑧 < 𝑦)
3029rexbii 3092 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
3127, 30imbi12i 349 . . . . . . . . . 10 ((𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧) ↔ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
3231ralbii 3091 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
3326, 32anbi12i 625 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3433rexbii 3092 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3521, 34sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧)))
36 gtso 11299 . . . . . . 7 β—‘ < Or ℝ
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ β—‘ < Or ℝ)
3819, 20, 35, 37supiso 9472 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ sup(((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴), ℝ, < ) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )))
3912, 38eqtrid 2782 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )))
40 df-inf 9440 . . . . . . . 8 inf(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )
4140eqcomi 2739 . . . . . . 7 sup(𝐴, ℝ, β—‘ < ) = inf(𝐴, ℝ, < )
4241fveq2i 6893 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜inf(𝐴, ℝ, < ))
43 negeq 11456 . . . . . . 7 (𝑀 = inf(𝐴, ℝ, < ) β†’ -𝑀 = -inf(𝐴, ℝ, < ))
44 negex 11462 . . . . . . 7 -inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ V
4543, 7, 44fvmpt 6997 . . . . . 6 (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜inf(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
4642, 45eqtrid 2782 . . . . 5 (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
471, 46syl 17 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
4839, 47eqtr2d 2771 . . 3 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ -inf(𝐴, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
4948negeqd 11458 . 2 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ --inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
503, 49eqtr3d 2772 1 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Or wor 5586  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6542   Isom wiso 6543  supcsup 9437  infcinf 9438  β„cr 11111   < clt 11252   ≀ cle 11253  -cneg 11449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451
This theorem is referenced by:  supminf  12923  mbfinf  25414  infnsuprnmpt  44252  supminfxr  44472
  Copyright terms: Public domain W3C validator