MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoval 24645
Description: Value of the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Revised by AV, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmofval.3 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmofval.4 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
nmoval ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) = inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝐿   𝑀,π‘Ÿ,π‘₯   𝑆,π‘Ÿ,π‘₯   𝑇,π‘Ÿ,π‘₯   𝐹,π‘Ÿ,π‘₯   𝑉,π‘Ÿ,π‘₯   𝑁,π‘Ÿ,π‘₯

Proof of Theorem nmoval
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . . 5 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmofval.2 . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3 nmofval.3 . . . . 5 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
4 nmofval.4 . . . . 5 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
51, 2, 3, 4nmofval 24644 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝑁 = (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < )))
65fveq1d 6899 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜πΉ) = ((𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))β€˜πΉ))
7 fveq1 6896 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
87fveq2d 6901 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
98breq1d 5158 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))))
109ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))))
1110rabbidv 3437 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ {π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))} = {π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))})
1211infeq1d 9501 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ) = inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))
13 eqid 2728 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))
14 xrltso 13153 . . . . 5 < Or ℝ*
1514infex 9517 . . . 4 inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ) ∈ V
1612, 13, 15fvmpt 7005 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))β€˜πΉ) = inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))
176, 16sylan9eq 2788 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) = inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))
18173impa 1108 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) = inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  {crab 3429   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  infcinf 9465  0cc0 11139   Β· cmul 11144  +∞cpnf 11276  β„*cxr 11278   < clt 11279   ≀ cle 11280  [,)cico 13359  Basecbs 17180   GrpHom cghm 19167  normcnm 24498  NrmGrpcngp 24499   normOp cnmo 24635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-ico 13363  df-nmo 24638
This theorem is referenced by:  nmogelb  24646  nmolb  24647
  Copyright terms: Public domain W3C validator