Theorem nmoval 24928

Description: Value of the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Revised by AV, 26-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoval	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) = inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝐿   𝑀,𝑟,𝑥   𝑆,𝑟,𝑥   𝑇,𝑟,𝑥   𝐹,𝑟,𝑥   𝑉,𝑟,𝑥   𝑁,𝑟,𝑥

Proof of Theorem nmoval

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2		nmofval.2	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		nmofval.3	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
4		nmofval.4	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	nmofval 24927	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < )))
6	5	fveq1d 6888	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘𝐹) = ((𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < ))‘𝐹))
7		fveq1 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
8	7	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑀‘(𝑓‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘𝑥)))
9	8	breq1d 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))))
10	9	ralbidv 3190	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))))
11	10	rabbidv 3425	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))} = {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))})
12	11	infeq1d 9446	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < ) = inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < ))
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < ))
14		xrltso 13187	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
15	14	infex 9463	. . . 4 ⊢ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ V
16	12, 13, 15	fvmpt 6994	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ((𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < ))‘𝐹) = inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < ))
17	6, 16	sylan9eq 2820	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) = inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < ))
18	17	3impa 1127	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) = inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  infcinf 9409  0cc0 11120   · cmul 11125  +∞cpnf 11260  ℝ^*cxr 11262   < clt 11263   ≤ cle 11264  [,)cico 13395  Basecbs 17296   GrpHom cghm 19332  normcnm 24789  NrmGrpcngp 24790   normOp cnmo 24918

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-sup 9410  df-inf 9411  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-ico 13399  df-nmo 24921

This theorem is used by:  nmogelb  24929  nmolb  24930