MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoval 24583
Description: Value of the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Revised by AV, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmofval.3 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmofval.4 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
nmoval ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) = inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝐿   𝑀,π‘Ÿ,π‘₯   𝑆,π‘Ÿ,π‘₯   𝑇,π‘Ÿ,π‘₯   𝐹,π‘Ÿ,π‘₯   𝑉,π‘Ÿ,π‘₯   𝑁,π‘Ÿ,π‘₯

Proof of Theorem nmoval
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . . 5 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmofval.2 . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3 nmofval.3 . . . . 5 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
4 nmofval.4 . . . . 5 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
51, 2, 3, 4nmofval 24582 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝑁 = (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < )))
65fveq1d 6886 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜πΉ) = ((𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))β€˜πΉ))
7 fveq1 6883 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
87fveq2d 6888 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
98breq1d 5151 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))))
109ralbidv 3171 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))))
1110rabbidv 3434 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ {π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))} = {π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))})
1211infeq1d 9471 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ) = inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))
13 eqid 2726 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))
14 xrltso 13123 . . . . 5 < Or ℝ*
1514infex 9487 . . . 4 inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ) ∈ V
1612, 13, 15fvmpt 6991 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))β€˜πΉ) = inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))
176, 16sylan9eq 2786 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) = inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))
18173impa 1107 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) = inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  infcinf 9435  0cc0 11109   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11246  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250  [,)cico 13329  Basecbs 17151   GrpHom cghm 19136  normcnm 24436  NrmGrpcngp 24437   normOp cnmo 24573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-ico 13333  df-nmo 24576
This theorem is referenced by:  nmogelb  24584  nmolb  24585
  Copyright terms: Public domain W3C validator