MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmolb 22997
Description: Any upper bound on the values of a linear operator translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmolb (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁

Proof of Theorem nmolb
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrege0 12681 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2 nmofval.1 . . . . . . . 8 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3 nmofval.2 . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑆)
4 nmofval.3 . . . . . . . 8 𝐿 = (norm‘𝑆)
5 nmofval.4 . . . . . . . 8 𝑀 = (norm‘𝑇)
62, 3, 4, 5nmoval 22995 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) = inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}, ℝ*, < ))
7 ssrab2 3972 . . . . . . . . 9 {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))} ⊆ (0[,)+∞)
8 icossxr 12660 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
97, 8sstri 3893 . . . . . . . 8 {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))} ⊆ ℝ*
10 infxrcl 12565 . . . . . . . 8 ({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))} ⊆ ℝ* → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
126, 11eqeltrd 2881 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
1312xrleidd 12384 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ≤ (𝑁𝐹))
142, 3, 4, 5nmogelb 22996 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝑁𝐹) ≤ (𝑁𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝑟)))
1512, 14mpdan 683 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) ≤ (𝑁𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝑟)))
1613, 15mpbid 233 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝑟))
17 oveq1 7014 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 · (𝐿𝑥)) = (𝐴 · (𝐿𝑥)))
1817breq2d 4968 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
1918ralbidv 3162 . . . . . 6 (𝑟 = 𝐴 → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
20 breq2 4960 . . . . . 6 (𝑟 = 𝐴 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝑟 ↔ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
2119, 20imbi12d 346 . . . . 5 (𝑟 = 𝐴 → ((∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝑟) ↔ (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)))
2221rspccv 3551 . . . 4 (∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝑟) → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)))
2316, 22syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)))
241, 23syl5bir 244 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)))
25243impib 1107 1 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wral 3103  {crab 3107  wss 3854   class class class wbr 4956  cfv 6217  (class class class)co 7007  infcinf 8741  cr 10371  0cc0 10372   · cmul 10377  +∞cpnf 10507  *cxr 10509   < clt 10510  cle 10511  [,)cico 12579  Basecbs 16300   GrpHom cghm 18084  normcnm 22857  NrmGrpcngp 22858   normOp cnmo 22985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-po 5354  df-so 5355  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-sup 8742  df-inf 8743  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-ico 12583  df-nmo 22988
This theorem is referenced by:  nmolb2d  22998  nmoleub  23011
  Copyright terms: Public domain W3C validator