Theorem nmolb 24759

Description: Any upper bound on the values of a linear operator translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmolb	⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁

Proof of Theorem nmolb

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13514	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2		nmofval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3		nmofval.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
4		nmofval.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
5		nmofval.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
6	2, 3, 4, 5	nmoval 24757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) = inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < ))
7		ssrab2 4103	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))} ⊆ (0[,)+∞)
8		icossxr 13492	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
9	7, 8	sstri 4018	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))} ⊆ ℝ*
10		infxrcl 13395	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))} ⊆ ℝ* → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	9, 10	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12	6, 11	eqeltrd 2844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
13	12	xrleidd 13214	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ≤ (𝑁‘𝐹))
14	2, 3, 4, 5	nmogelb 24758	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝑁‘𝐹) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝑟)))
15	12, 14	mpdan 686	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝑟)))
16	13, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝑟))
17		oveq1 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
18	17	breq2d 5178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
19	18	ralbidv 3184	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
20		breq2 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝑟 ↔ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
21	19, 20	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝑟) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)))
22	21	rspccv 3632	. . . 4 ⊢ (∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝑟) → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)))
23	16, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)))
24	1, 23	biimtrrid 243	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)))
25	24	3impib 1116	1 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  infcinf 9510  ℝcr 11183  0cc0 11184   · cmul 11189  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,)cico 13409  Basecbs 17258   GrpHom cghm 19252  normcnm 24610  NrmGrpcngp 24611   normOp cnmo 24747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-ico 13413  df-nmo 24750

This theorem is referenced by:  nmolb2d  24760  nmoleub  24773