Theorem numsuc 12722

Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numnncl.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numnncl.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numsuc.4	⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
numsuc.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
numsuc	⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Proof of Theorem numsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsuc.5	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq1i 7430	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) + 1)
3		numnncl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
4		numnncl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	3, 4	nn0mulcli 12541	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12515	. . 3 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
7		numcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12515	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
9		ax-1cn 11197	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	6, 8, 9	addassi 11255	. 2 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝐵 + 1))
11		numsuc.4	. . 3 ⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
12	11	oveq2i 7431	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + (𝐵 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)
13	2, 10, 12	3eqtri 2760	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144  ℕ₀cn0 12503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-nn 12244  df-n0 12504

This theorem is referenced by:  decsuc  12739  numsucc  12748  decbin3  12850