MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numsuc 12749
Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numnncl.1 𝑇 ∈ ℕ0
numnncl.2 𝐴 ∈ ℕ0
numcl.2 𝐵 ∈ ℕ0
numsuc.4 (𝐵 + 1) = 𝐶
numsuc.5 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
Assertion
Ref Expression
numsuc (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Proof of Theorem numsuc
StepHypRef Expression
1 numsuc.5 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
21oveq1i 7442 . 2 (𝑁 + 1) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) + 1)
3 numnncl.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
4 numnncl.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
53, 4nn0mulcli 12566 . . . 4 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0
65nn0cni 12540 . . 3 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
7 numcl.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℕ0
87nn0cni 12540 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
9 ax-1cn 11214 . . 3 1 ∈ ℂ
106, 8, 9addassi 11272 . 2 (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝐵 + 1))
11 numsuc.4 . . 3 (𝐵 + 1) = 𝐶
1211oveq2i 7443 . 2 ((𝑇 · 𝐴) + (𝐵 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)
132, 10, 123eqtri 2768 1 (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2107  (class class class)co 7432  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  0cn0 12528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-nn 12268  df-n0 12529
This theorem is referenced by:  decsuc  12766  numsucc  12775  decbin3  12877
  Copyright terms: Public domain W3C validator