MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsuc 12648
Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
declt.a 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b 𝐵 ∈ ℕ0
decsuc.c (𝐵 + 1) = 𝐶
decsuc.n 𝑁 = 𝐴𝐵
Assertion
Ref Expression
decsuc (𝑁 + 1) = 𝐴𝐶

Proof of Theorem decsuc
StepHypRef Expression
1 10nn0 12635 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 declt.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
3 declt.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 decsuc.c . . 3 (𝐵 + 1) = 𝐶
5 decsuc.n . . . 4 𝑁 = 𝐴𝐵
6 dfdec10 12620 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
75, 6eqtri 2764 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
81, 2, 3, 4, 7numsuc 12631 . 2 (𝑁 + 1) = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
9 dfdec10 12620 . 2 𝐴𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
108, 9eqtr4i 2767 1 (𝑁 + 1) = 𝐴𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7356  0cc0 11050  1c1 11051   + caddc 11053   · cmul 11055  0cn0 12412  cdc 12617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-ltxr 11193  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-dec 12618
This theorem is referenced by:  6p5lem  12687  dec2dvds  16934  13prm  16987  19prm  16989  37prm  16992  43prm  16993  139prm  16995  163prm  16996  317prm  16997  1259lem1  17002  1259lem3  17004  1259lem4  17005  1259lem5  17006  2503lem1  17008  2503lem2  17009  2503lem3  17010  2503prm  17011  4001lem1  17012  4001lem2  17013  4001lem3  17014  4001lem4  17015  4001prm  17016  log2ublem3  26296  log2ub  26297  birthday  26302  ex-exp  29341  dpmul4  31714  hgt750lem2  33205  420gcd8e4  40453  3lexlogpow5ineq1  40501  aks4d1p1  40523  fmtno2  45713  fmtno3  45714  fmtno4  45715  fmtno5lem1  45716  fmtno5lem2  45717  fmtno5lem3  45718  fmtno5lem4  45719  fmtno5  45720  257prm  45724  fmtno4prmfac  45735  fmtno4nprmfac193  45737  fmtno5fac  45745  139prmALT  45759  m7prm  45763  m11nprm  45764  2exp340mod341  45896  8exp8mod9  45899  ackval41  46752
  Copyright terms: Public domain W3C validator