MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsuc 12581
Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
declt.a ๐ด โˆˆ โ„•0
declt.b ๐ต โˆˆ โ„•0
decsuc.c (๐ต + 1) = ๐ถ
decsuc.n ๐‘ = ๐ด๐ต
Assertion
Ref Expression
decsuc (๐‘ + 1) = ๐ด๐ถ

Proof of Theorem decsuc
StepHypRef Expression
1 10nn0 12568 . . 3 10 โˆˆ โ„•0
2 declt.a . . 3 ๐ด โˆˆ โ„•0
3 declt.b . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•0
4 decsuc.c . . 3 (๐ต + 1) = ๐ถ
5 decsuc.n . . . 4 ๐‘ = ๐ด๐ต
6 dfdec10 12553 . . . 4 ๐ด๐ต = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
75, 6eqtri 2765 . . 3 ๐‘ = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
81, 2, 3, 4, 7numsuc 12564 . 2 (๐‘ + 1) = ((10 ยท ๐ด) + ๐ถ)
9 dfdec10 12553 . 2 ๐ด๐ถ = ((10 ยท ๐ด) + ๐ถ)
108, 9eqtr4i 2768 1 (๐‘ + 1) = ๐ด๐ถ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7349  0cc0 10984  1c1 10985   + caddc 10987   ยท cmul 10989  โ„•0cn0 12346  cdc 12550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7352  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-ltxr 11127  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-dec 12551
This theorem is referenced by:  6p5lem  12620  dec2dvds  16869  13prm  16922  19prm  16924  37prm  16927  43prm  16928  139prm  16930  163prm  16931  317prm  16932  1259lem1  16937  1259lem3  16939  1259lem4  16940  1259lem5  16941  2503lem1  16943  2503lem2  16944  2503lem3  16945  2503prm  16946  4001lem1  16947  4001lem2  16948  4001lem3  16949  4001lem4  16950  4001prm  16951  log2ublem3  26220  log2ub  26221  birthday  26226  ex-exp  29192  dpmul4  31564  hgt750lem2  33038  420gcd8e4  40358  3lexlogpow5ineq1  40406  aks4d1p1  40428  fmtno2  45491  fmtno3  45492  fmtno4  45493  fmtno5lem1  45494  fmtno5lem2  45495  fmtno5lem3  45496  fmtno5lem4  45497  fmtno5  45498  257prm  45502  fmtno4prmfac  45513  fmtno4nprmfac193  45515  fmtno5fac  45523  139prmALT  45537  m7prm  45541  m11nprm  45542  2exp340mod341  45674  8exp8mod9  45677  ackval41  46530
  Copyright terms: Public domain W3C validator