Theorem decsuc 12128

Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decsuc.c	⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
decsuc.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵

Assertion

Ref	Expression
decsuc	⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12115	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decsuc.c	. . 3 ⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
5		decsuc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdec10 12100	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2844	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 7	numsuc 12111	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
9		dfdec10 12100	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
10	8, 9	eqtr4i 2847	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  ℕ₀cn0 11896  ;cdc 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-dec 12098

This theorem is referenced by:  6p5lem  12167  dec2dvds  16398  13prm  16448  19prm  16450  37prm  16453  43prm  16454  139prm  16456  163prm  16457  317prm  16458  1259lem1  16463  1259lem3  16465  1259lem4  16466  1259lem5  16467  2503lem1  16469  2503lem2  16470  2503lem3  16471  2503prm  16472  4001lem1  16473  4001lem2  16474  4001lem3  16475  4001lem4  16476  4001prm  16477  log2ublem3  25525  log2ub  25526  birthday  25531  ex-exp  28228  dpmul4  30590  hgt750lem2  31923  fmtno2  43711  fmtno3  43712  fmtno4  43713  fmtno5lem1  43714  fmtno5lem2  43715  fmtno5lem3  43716  fmtno5lem4  43717  fmtno5  43718  257prm  43722  fmtno4prmfac  43733  fmtno4nprmfac193  43735  fmtno5fac  43743  139prmALT  43758  m7prm  43763  m11nprm  43765  2exp340mod341  43897  8exp8mod9  43900