MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsuc 12107
Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
declt.a 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b 𝐵 ∈ ℕ0
decsuc.c (𝐵 + 1) = 𝐶
decsuc.n 𝑁 = 𝐴𝐵
Assertion
Ref Expression
decsuc (𝑁 + 1) = 𝐴𝐶

Proof of Theorem decsuc
StepHypRef Expression
1 10nn0 12094 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 declt.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
3 declt.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 decsuc.c . . 3 (𝐵 + 1) = 𝐶
5 decsuc.n . . . 4 𝑁 = 𝐴𝐵
6 dfdec10 12079 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
75, 6eqtri 2844 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
81, 2, 3, 4, 7numsuc 12090 . 2 (𝑁 + 1) = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
9 dfdec10 12079 . 2 𝐴𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
108, 9eqtr4i 2847 1 (𝑁 + 1) = 𝐴𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7130  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519  0cn0 11875  cdc 12076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-ltxr 10657  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-dec 12077
This theorem is referenced by:  6p5lem  12146  dec2dvds  16376  13prm  16428  19prm  16430  37prm  16433  43prm  16434  139prm  16436  163prm  16437  317prm  16438  1259lem1  16443  1259lem3  16445  1259lem4  16446  1259lem5  16447  2503lem1  16449  2503lem2  16450  2503lem3  16451  2503prm  16452  4001lem1  16453  4001lem2  16454  4001lem3  16455  4001lem4  16456  4001prm  16457  log2ublem3  25513  log2ub  25514  birthday  25519  ex-exp  28214  dpmul4  30577  hgt750lem2  31931  420gcd8e4  39173  3lexlogpow5ineq1  39220  fmtno2  43890  fmtno3  43891  fmtno4  43892  fmtno5lem1  43893  fmtno5lem2  43894  fmtno5lem3  43895  fmtno5lem4  43896  fmtno5  43897  257prm  43901  fmtno4prmfac  43912  fmtno4nprmfac193  43914  fmtno5fac  43922  139prmALT  43936  m7prm  43940  m11nprm  43942  2exp340mod341  44074  8exp8mod9  44077  ackval41  44920
  Copyright terms: Public domain W3C validator