Theorem decsuc 12712

Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decsuc.c	⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
decsuc.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵

Assertion

Ref	Expression
decsuc	⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12699	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decsuc.c	. . 3 ⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
5		decsuc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdec10 12684	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 7	numsuc 12695	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
9		dfdec10 12684	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
10	8, 9	eqtr4i 2763	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  ℕ₀cn0 12476  ;cdc 12681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-dec 12682

This theorem is referenced by:  6p5lem  12751  dec2dvds  17000  13prm  17053  19prm  17055  37prm  17058  43prm  17059  139prm  17061  163prm  17062  317prm  17063  1259lem1  17068  1259lem3  17070  1259lem4  17071  1259lem5  17072  2503lem1  17074  2503lem2  17075  2503lem3  17076  2503prm  17077  4001lem1  17078  4001lem2  17079  4001lem3  17080  4001lem4  17081  4001prm  17082  log2ublem3  26677  log2ub  26678  birthday  26683  ex-exp  29958  dpmul4  32335  hgt750lem2  33950  420gcd8e4  41177  3lexlogpow5ineq1  41225  aks4d1p1  41247  fmtno2  46517  fmtno3  46518  fmtno4  46519  fmtno5lem1  46520  fmtno5lem2  46521  fmtno5lem3  46522  fmtno5lem4  46523  fmtno5  46524  257prm  46528  fmtno4prmfac  46539  fmtno4nprmfac193  46541  fmtno5fac  46549  139prmALT  46563  m7prm  46567  m11nprm  46568  2exp340mod341  46700  8exp8mod9  46703  ackval41  47469