Theorem decsuc 12724

Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decsuc.c	⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
decsuc.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵

Assertion

Ref	Expression
decsuc	⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12710	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decsuc.c	. . 3 ⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
5		decsuc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdec10 12691	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2785	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 7	numsuc 12702	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
9		dfdec10 12691	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
10	8, 9	eqtr4i 2788	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  ℕ₀cn0 12481  ;cdc 12688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-dec 12689

This theorem is referenced by:  6p5lem  12763  dec2dvds  17099  13prm  17152  19prm  17154  37prm  17157  43prm  17158  139prm  17160  163prm  17161  317prm  17162  1259lem1  17167  1259lem3  17169  1259lem4  17170  1259lem5  17171  2503lem1  17173  2503lem2  17174  2503lem3  17175  2503prm  17176  4001lem1  17177  4001lem2  17178  4001lem3  17179  4001lem4  17180  4001prm  17181  log2ublem3  27013  log2ub  27014  birthday  27019  ex-exp  30652  dpmul4  33091  cos9thpiminplylem1  34079  hgt750lem2  34946  420gcd8e4  42623  3lexlogpow5ineq1  42671  aks4d1p1  42693  fmtno2  48159  fmtno3  48160  fmtno4  48161  fmtno5lem1  48162  fmtno5lem2  48163  fmtno5lem3  48164  fmtno5lem4  48165  fmtno5  48166  257prm  48170  fmtno4prmfac  48181  fmtno4nprmfac193  48183  fmtno5fac  48191  139prmALT  48205  m7prm  48209  m11nprm  48210  2exp340mod341  48355  8exp8mod9  48358  ackval41  49317