Theorem decsuc 12622

Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decsuc.c	⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
decsuc.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵

Assertion

Ref	Expression
decsuc	⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12609	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decsuc.c	. . 3 ⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
5		decsuc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdec10 12594	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 7	numsuc 12605	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
9		dfdec10 12594	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
10	8, 9	eqtr4i 2755	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  ℕ₀cn0 12384  ;cdc 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-dec 12592

This theorem is referenced by:  6p5lem  12661  dec2dvds  16975  13prm  17027  19prm  17029  37prm  17032  43prm  17033  139prm  17035  163prm  17036  317prm  17037  1259lem1  17042  1259lem3  17044  1259lem4  17045  1259lem5  17046  2503lem1  17048  2503lem2  17049  2503lem3  17050  2503prm  17051  4001lem1  17052  4001lem2  17053  4001lem3  17054  4001lem4  17055  4001prm  17056  log2ublem3  26856  log2ub  26857  birthday  26862  ex-exp  30394  dpmul4  32854  cos9thpiminplylem1  33749  hgt750lem2  34620  420gcd8e4  41983  3lexlogpow5ineq1  42031  aks4d1p1  42053  fmtno2  47538  fmtno3  47539  fmtno4  47540  fmtno5lem1  47541  fmtno5lem2  47542  fmtno5lem3  47543  fmtno5lem4  47544  fmtno5  47545  257prm  47549  fmtno4prmfac  47560  fmtno4nprmfac193  47562  fmtno5fac  47570  139prmALT  47584  m7prm  47588  m11nprm  47589  2exp340mod341  47721  8exp8mod9  47724  ackval41  48684