Theorem decsuc 12766

Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decsuc.c	⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
decsuc.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵

Assertion

Ref	Expression
decsuc	⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12753	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decsuc.c	. . 3 ⊢ (𝐵 + 1) = 𝐶
5		decsuc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdec10 12738	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2764	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 7	numsuc 12749	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
9		dfdec10 12738	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
10	8, 9	eqtr4i 2767	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  ℕ₀cn0 12528  ;cdc 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-dec 12736

This theorem is referenced by:  6p5lem  12805  dec2dvds  17102  13prm  17154  19prm  17156  37prm  17159  43prm  17160  139prm  17162  163prm  17163  317prm  17164  1259lem1  17169  1259lem3  17171  1259lem4  17172  1259lem5  17173  2503lem1  17175  2503lem2  17176  2503lem3  17177  2503prm  17178  4001lem1  17179  4001lem2  17180  4001lem3  17181  4001lem4  17182  4001prm  17183  log2ublem3  26992  log2ub  26993  birthday  26998  ex-exp  30470  dpmul4  32897  hgt750lem2  34668  420gcd8e4  42008  3lexlogpow5ineq1  42056  aks4d1p1  42078  fmtno2  47542  fmtno3  47543  fmtno4  47544  fmtno5lem1  47545  fmtno5lem2  47546  fmtno5lem3  47547  fmtno5lem4  47548  fmtno5  47549  257prm  47553  fmtno4prmfac  47564  fmtno4nprmfac193  47566  fmtno5fac  47574  139prmALT  47588  m7prm  47592  m11nprm  47593  2exp340mod341  47725  8exp8mod9  47728  ackval41  48621