MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numcl 12714
Description: Closure for a decimal integer (with units place). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numnncl.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
numnncl.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
numcl.2 ๐ต โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
numcl ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) โˆˆ โ„•0

Proof of Theorem numcl
StepHypRef Expression
1 numnncl.1 . . 3 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
2 numnncl.2 . . 3 ๐ด โˆˆ โ„•0
31, 2nn0mulcli 12534 . 2 (๐‘‡ ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0
4 numcl.2 . 2 ๐ต โˆˆ โ„•0
53, 4nn0addcli 12533 1 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) โˆˆ โ„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7414   + caddc 11135   ยท cmul 11137  โ„•0cn0 12496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-nn 12237  df-n0 12497
This theorem is referenced by:  deccl  12716  numma2c  12747  numadd  12748  numaddc  12749  nummul1c  12750  nummul2c  12751  gcdi  17035  decpmul  41856  sqdeccom12  41857
  Copyright terms: Public domain W3C validator