Theorem deccl 12727

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12713	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12529	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12521	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12542	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12725	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2859	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  9c9 12303  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-dec 12713

This theorem is referenced by:  11nn0  12728  12nn0  12729  16nn0  12730  25nn0  12731  10nn0  12734  3declth  12749  3decltc  12750  decleh  12752  decmul1  12781  bpoly4  16114  fsumcube  16115  3dvds2dec  16392  dec2dvds  17124  dec5dvds2  17126  2exp8  17149  2exp11  17150  2exp16  17151  prmlem2  17181  37prm  17182  43prm  17183  83prm  17184  139prm  17185  163prm  17186  317prm  17187  631prm  17188  1259lem1  17192  1259lem2  17193  1259lem3  17194  1259lem4  17195  1259lem5  17196  1259prm  17197  2503lem1  17198  2503lem2  17199  2503lem3  17200  2503prm  17201  4001lem1  17202  4001lem2  17203  4001lem3  17204  4001lem4  17205  4001prm  17206  slotsbhcdif  17469  quart1lem  26998  quart1  26999  log2ublem3  27091  log2ub  27092  log2le1  27093  birthday  27097  bpos1  27425  bpos  27435  1kp2ke3k  30775  9p10ne21  30799  dp3mul10  33195  dpmul1000  33196  dpadd  33208  dpmul  33210  dpmul4  33211  cos9thpiminplylem1  34150  hgt750lemd  35013  hgt750lem  35016  hgt750lem2  35017  hgt750leme  35023  tgoldbachgnn  35024  tgoldbachgt  35028  kur14lem9  35684  420gcd8e4  42751  12lcm5e60  42753  60lcm7e420  42755  3exp7  42798  3lexlogpow5ineq1  42799  3lexlogpow5ineq2  42800  3lexlogpow5ineq5  42805  aks4d1p1  42821  sqn5i  43024  decpmulnc  43026  decpmul  43027  sqdeccom12  43028  sq3deccom12  43029  235t711  43044  ex-decpmul  43045  sq45  43383  sum9cubes  43384  resqrtvalex  44351  imsqrtvalex  44352  inductionexd  44861  sin5tlem4  47590  goldratmolem2  47600  fmtno3  48280  fmtno4  48281  fmtno5lem1  48282  fmtno5lem2  48283  fmtno5lem3  48284  fmtno5lem4  48285  fmtno5  48286  257prm  48290  fmtno4prmfac  48301  fmtno4nprmfac193  48303  fmtno5faclem1  48308  fmtno5faclem2  48309  fmtno5faclem3  48310  fmtno5fac  48311  fmtno5nprm  48312  139prmALT  48325  31prm  48326  127prm  48328  m7prm  48329  m11nprm  48330  11t31e341  48474  2exp340mod341  48475  341fppr2  48476  nfermltl2rev  48485  evengpoap3  48541  bgoldbachlt  48555  tgoldbachlt  48558  ackval3012  49449  ackval41a  49451  ackval41  49452  ackval42  49453