Theorem deccl 12600

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12586	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12402	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12394	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12415	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12598	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2827	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008  9c9 12184  ℕ₀cn0 12378  ;cdc 12585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-dec 12586

This theorem is referenced by:  10nn0  12603  3declth  12617  3decltc  12618  decleh  12620  decmul1  12649  bpoly4  15963  fsumcube  15964  3dvds2dec  16241  dec2dvds  16972  dec5dvds2  16974  2exp8  16997  2exp11  16998  2exp16  16999  prmlem2  17028  37prm  17029  43prm  17030  83prm  17031  139prm  17032  163prm  17033  317prm  17034  631prm  17035  1259lem1  17039  1259lem2  17040  1259lem3  17041  1259lem4  17042  1259lem5  17043  1259prm  17044  2503lem1  17045  2503lem2  17046  2503lem3  17047  2503prm  17048  4001lem1  17049  4001lem2  17050  4001lem3  17051  4001lem4  17052  4001prm  17053  slotsbhcdif  17316  quart1cl  26789  quart1lem  26790  quart1  26791  log2ublem3  26883  log2ub  26884  log2le1  26885  birthday  26889  bpos1  27219  bpos  27229  1kp2ke3k  30421  9p10ne21  30445  dp3mul10  32873  dpmul1000  32874  dpadd  32886  dpmul  32888  dpmul4  32889  cos9thpiminplylem1  33790  hgt750lemd  34656  hgt750lem  34659  hgt750lem2  34660  hgt750leme  34666  tgoldbachgnn  34667  tgoldbachgt  34671  kur14lem9  35246  420gcd8e4  42038  12lcm5e60  42040  60lcm7e420  42042  3exp7  42085  3lexlogpow5ineq1  42086  3lexlogpow5ineq2  42087  3lexlogpow5ineq5  42092  aks4d1p1  42108  sqn5i  42317  decpmulnc  42319  decpmul  42320  sqdeccom12  42321  sq3deccom12  42322  235t711  42337  ex-decpmul  42338  sq45  42703  sum9cubes  42704  resqrtvalex  43677  imsqrtvalex  43678  inductionexd  44187  fmtno3  47581  fmtno4  47582  fmtno5lem1  47583  fmtno5lem2  47584  fmtno5lem3  47585  fmtno5lem4  47586  fmtno5  47587  257prm  47591  fmtno4prmfac  47602  fmtno4nprmfac193  47604  fmtno5faclem1  47609  fmtno5faclem2  47610  fmtno5faclem3  47611  fmtno5fac  47612  fmtno5nprm  47613  139prmALT  47626  31prm  47627  127prm  47629  m7prm  47630  m11nprm  47631  11t31e341  47762  2exp340mod341  47763  341fppr2  47764  nfermltl2rev  47773  evengpoap3  47829  bgoldbachlt  47843  tgoldbachlt  47846  ackval3012  48723  ackval41a  48725  ackval41  48726  ackval42  48727