Theorem deccl 12700

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12686	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12502	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12494	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12515	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12698	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2857	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075  9c9 12276  ℕ₀cn0 12478  ;cdc 12685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-dec 12686

This theorem is referenced by:  11nn0  12701  12nn0  12702  16nn0  12703  25nn0  12704  10nn0  12707  3declth  12722  3decltc  12723  decleh  12725  decmul1  12754  bpoly4  16072  fsumcube  16073  3dvds2dec  16350  dec2dvds  17082  dec5dvds2  17084  2exp8  17107  2exp11  17108  2exp16  17109  prmlem2  17139  37prm  17140  43prm  17141  83prm  17142  139prm  17143  163prm  17144  317prm  17145  631prm  17146  1259lem1  17150  1259lem2  17151  1259lem3  17152  1259lem4  17153  1259lem5  17154  1259prm  17155  2503lem1  17156  2503lem2  17157  2503lem3  17158  2503prm  17159  4001lem1  17160  4001lem2  17161  4001lem3  17162  4001lem4  17163  4001prm  17164  slotsbhcdif  17427  quart1lem  26897  quart1  26898  log2ublem3  26990  log2ub  26991  log2le1  26992  birthday  26996  bpos1  27324  bpos  27334  1kp2ke3k  30594  9p10ne21  30618  dp3mul10  33036  dpmul1000  33037  dpadd  33049  dpmul  33051  dpmul4  33052  cos9thpiminplylem1  34040  hgt750lemd  34906  hgt750lem  34909  hgt750lem2  34910  hgt750leme  34916  tgoldbachgnn  34917  tgoldbachgt  34921  kur14lem9  35528  420gcd8e4  42587  12lcm5e60  42589  60lcm7e420  42591  3exp7  42634  3lexlogpow5ineq1  42635  3lexlogpow5ineq2  42636  3lexlogpow5ineq5  42641  aks4d1p1  42657  sqn5i  42858  decpmulnc  42860  decpmul  42861  sqdeccom12  42862  sq3deccom12  42863  235t711  42878  ex-decpmul  42879  sq45  43217  sum9cubes  43218  resqrtvalex  44185  imsqrtvalex  44186  inductionexd  44695  sin5tlem4  47434  goldratmolem2  47444  fmtno3  48124  fmtno4  48125  fmtno5lem1  48126  fmtno5lem2  48127  fmtno5lem3  48128  fmtno5lem4  48129  fmtno5  48130  257prm  48134  fmtno4prmfac  48145  fmtno4nprmfac193  48147  fmtno5faclem1  48152  fmtno5faclem2  48153  fmtno5faclem3  48154  fmtno5fac  48155  fmtno5nprm  48156  139prmALT  48169  31prm  48170  127prm  48172  m7prm  48173  m11nprm  48174  11t31e341  48318  2exp340mod341  48319  341fppr2  48320  nfermltl2rev  48329  evengpoap3  48385  bgoldbachlt  48399  tgoldbachlt  48402  ackval3012  49278  ackval41a  49280  ackval41  49281  ackval42  49282