Theorem deccl 12664

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12650	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12466	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12458	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12479	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12662	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2824	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  9c9 12248  ℕ₀cn0 12442  ;cdc 12649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-dec 12650

This theorem is referenced by:  10nn0  12667  3declth  12681  3decltc  12682  decleh  12684  decmul1  12713  bpoly4  16025  fsumcube  16026  3dvds2dec  16303  dec2dvds  17034  dec5dvds2  17036  2exp8  17059  2exp11  17060  2exp16  17061  prmlem2  17090  37prm  17091  43prm  17092  83prm  17093  139prm  17094  163prm  17095  317prm  17096  631prm  17097  1259lem1  17101  1259lem2  17102  1259lem3  17103  1259lem4  17104  1259lem5  17105  1259prm  17106  2503lem1  17107  2503lem2  17108  2503lem3  17109  2503prm  17110  4001lem1  17111  4001lem2  17112  4001lem3  17113  4001lem4  17114  4001prm  17115  slotsbhcdif  17378  quart1cl  26764  quart1lem  26765  quart1  26766  log2ublem3  26858  log2ub  26859  log2le1  26860  birthday  26864  bpos1  27194  bpos  27204  1kp2ke3k  30375  9p10ne21  30399  dp3mul10  32818  dpmul1000  32819  dpadd  32831  dpmul  32833  dpmul4  32834  cos9thpiminplylem1  33772  hgt750lemd  34639  hgt750lem  34642  hgt750lem2  34643  hgt750leme  34649  tgoldbachgnn  34650  tgoldbachgt  34654  kur14lem9  35201  420gcd8e4  41994  12lcm5e60  41996  60lcm7e420  41998  3exp7  42041  3lexlogpow5ineq1  42042  3lexlogpow5ineq2  42043  3lexlogpow5ineq5  42048  aks4d1p1  42064  sqn5i  42273  decpmulnc  42275  decpmul  42276  sqdeccom12  42277  sq3deccom12  42278  235t711  42293  ex-decpmul  42294  sq45  42659  sum9cubes  42660  resqrtvalex  43634  imsqrtvalex  43635  inductionexd  44144  fmtno3  47552  fmtno4  47553  fmtno5lem1  47554  fmtno5lem2  47555  fmtno5lem3  47556  fmtno5lem4  47557  fmtno5  47558  257prm  47562  fmtno4prmfac  47573  fmtno4nprmfac193  47575  fmtno5faclem1  47580  fmtno5faclem2  47581  fmtno5faclem3  47582  fmtno5fac  47583  fmtno5nprm  47584  139prmALT  47597  31prm  47598  127prm  47600  m7prm  47601  m11nprm  47602  11t31e341  47733  2exp340mod341  47734  341fppr2  47735  nfermltl2rev  47744  evengpoap3  47800  bgoldbachlt  47814  tgoldbachlt  47817  ackval3012  48681  ackval41a  48683  ackval41  48684  ackval42  48685