Theorem deccl 12717

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12703	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12519	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12511	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12532	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12715	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2861	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  9c9 12293  ℕ₀cn0 12495  ;cdc 12702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-dec 12703

This theorem is referenced by:  11nn0  12718  12nn0  12719  16nn0  12720  25nn0  12721  10nn0  12724  3declth  12739  3decltc  12740  decleh  12742  decmul1  12771  bpoly4  16103  fsumcube  16104  3dvds2dec  16381  dec2dvds  17113  dec5dvds2  17115  2exp8  17138  2exp11  17139  2exp16  17140  prmlem2  17170  37prm  17171  43prm  17172  83prm  17173  139prm  17174  163prm  17175  317prm  17176  631prm  17177  1259lem1  17181  1259lem2  17182  1259lem3  17183  1259lem4  17184  1259lem5  17185  1259prm  17186  2503lem1  17187  2503lem2  17188  2503lem3  17189  2503prm  17190  4001lem1  17191  4001lem2  17192  4001lem3  17193  4001lem4  17194  4001prm  17195  slotsbhcdif  17458  quart1lem  26978  quart1  26979  log2ublem3  27071  log2ub  27072  log2le1  27073  birthday  27077  bpos1  27405  bpos  27415  1kp2ke3k  30706  9p10ne21  30730  dp3mul10  33130  dpmul1000  33131  dpadd  33143  dpmul  33145  dpmul4  33146  cos9thpiminplylem1  34089  hgt750lemd  34952  hgt750lem  34955  hgt750lem2  34956  hgt750leme  34962  tgoldbachgnn  34963  tgoldbachgt  34967  kur14lem9  35577  420gcd8e4  42635  12lcm5e60  42637  60lcm7e420  42639  3exp7  42682  3lexlogpow5ineq1  42683  3lexlogpow5ineq2  42684  3lexlogpow5ineq5  42689  aks4d1p1  42705  sqn5i  42906  decpmulnc  42908  decpmul  42909  sqdeccom12  42910  sq3deccom12  42911  235t711  42926  ex-decpmul  42927  sq45  43265  sum9cubes  43266  resqrtvalex  44233  imsqrtvalex  44234  inductionexd  44743  sin5tlem4  47468  goldratmolem2  47478  fmtno3  48158  fmtno4  48159  fmtno5lem1  48160  fmtno5lem2  48161  fmtno5lem3  48162  fmtno5lem4  48163  fmtno5  48164  257prm  48168  fmtno4prmfac  48179  fmtno4nprmfac193  48181  fmtno5faclem1  48186  fmtno5faclem2  48187  fmtno5faclem3  48188  fmtno5fac  48189  fmtno5nprm  48190  139prmALT  48203  31prm  48204  127prm  48206  m7prm  48207  m11nprm  48208  11t31e341  48352  2exp340mod341  48353  341fppr2  48354  nfermltl2rev  48363  evengpoap3  48419  bgoldbachlt  48433  tgoldbachlt  48436  ackval3012  49323  ackval41a  49325  ackval41  49326  ackval42  49327