Theorem deccl 12622

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12608	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12425	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12417	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12438	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12620	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2832	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  9c9 12207  ℕ₀cn0 12401  ;cdc 12607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-dec 12608

This theorem is referenced by:  10nn0  12625  3declth  12639  3decltc  12640  decleh  12642  decmul1  12671  bpoly4  15982  fsumcube  15983  3dvds2dec  16260  dec2dvds  16991  dec5dvds2  16993  2exp8  17016  2exp11  17017  2exp16  17018  prmlem2  17047  37prm  17048  43prm  17049  83prm  17050  139prm  17051  163prm  17052  317prm  17053  631prm  17054  1259lem1  17058  1259lem2  17059  1259lem3  17060  1259lem4  17061  1259lem5  17062  1259prm  17063  2503lem1  17064  2503lem2  17065  2503lem3  17066  2503prm  17067  4001lem1  17068  4001lem2  17069  4001lem3  17070  4001lem4  17071  4001prm  17072  slotsbhcdif  17335  quart1cl  26820  quart1lem  26821  quart1  26822  log2ublem3  26914  log2ub  26915  log2le1  26916  birthday  26920  bpos1  27250  bpos  27260  1kp2ke3k  30521  9p10ne21  30545  dp3mul10  32979  dpmul1000  32980  dpadd  32992  dpmul  32994  dpmul4  32995  cos9thpiminplylem1  33939  hgt750lemd  34805  hgt750lem  34808  hgt750lem2  34809  hgt750leme  34815  tgoldbachgnn  34816  tgoldbachgt  34820  kur14lem9  35408  420gcd8e4  42256  12lcm5e60  42258  60lcm7e420  42260  3exp7  42303  3lexlogpow5ineq1  42304  3lexlogpow5ineq2  42305  3lexlogpow5ineq5  42310  aks4d1p1  42326  sqn5i  42536  decpmulnc  42538  decpmul  42539  sqdeccom12  42540  sq3deccom12  42541  235t711  42556  ex-decpmul  42557  sq45  42910  sum9cubes  42911  resqrtvalex  43882  imsqrtvalex  43883  inductionexd  44392  fmtno3  47793  fmtno4  47794  fmtno5lem1  47795  fmtno5lem2  47796  fmtno5lem3  47797  fmtno5lem4  47798  fmtno5  47799  257prm  47803  fmtno4prmfac  47814  fmtno4nprmfac193  47816  fmtno5faclem1  47821  fmtno5faclem2  47822  fmtno5faclem3  47823  fmtno5fac  47824  fmtno5nprm  47825  139prmALT  47838  31prm  47839  127prm  47841  m7prm  47842  m11nprm  47843  11t31e341  47974  2exp340mod341  47975  341fppr2  47976  nfermltl2rev  47985  evengpoap3  48041  bgoldbachlt  48055  tgoldbachlt  48058  ackval3012  48934  ackval41a  48936  ackval41  48937  ackval42  48938