Theorem deccl 12659

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12645	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12461	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12453	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12474	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12657	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2832	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  9c9 12243  ℕ₀cn0 12437  ;cdc 12644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-dec 12645

This theorem is referenced by:  10nn0  12662  3declth  12676  3decltc  12677  decleh  12679  decmul1  12708  bpoly4  16024  fsumcube  16025  3dvds2dec  16302  dec2dvds  17034  dec5dvds2  17036  2exp8  17059  2exp11  17060  2exp16  17061  prmlem2  17090  37prm  17091  43prm  17092  83prm  17093  139prm  17094  163prm  17095  317prm  17096  631prm  17097  1259lem1  17101  1259lem2  17102  1259lem3  17103  1259lem4  17104  1259lem5  17105  1259prm  17106  2503lem1  17107  2503lem2  17108  2503lem3  17109  2503prm  17110  4001lem1  17111  4001lem2  17112  4001lem3  17113  4001lem4  17114  4001prm  17115  slotsbhcdif  17378  quart1cl  26818  quart1lem  26819  quart1  26820  log2ublem3  26912  log2ub  26913  log2le1  26914  birthday  26918  bpos1  27246  bpos  27256  1kp2ke3k  30516  9p10ne21  30540  dp3mul10  32957  dpmul1000  32958  dpadd  32970  dpmul  32972  dpmul4  32973  cos9thpiminplylem1  33926  hgt750lemd  34792  hgt750lem  34795  hgt750lem2  34796  hgt750leme  34802  tgoldbachgnn  34803  tgoldbachgt  34807  kur14lem9  35396  420gcd8e4  42445  12lcm5e60  42447  60lcm7e420  42449  3exp7  42492  3lexlogpow5ineq1  42493  3lexlogpow5ineq2  42494  3lexlogpow5ineq5  42499  aks4d1p1  42515  sqn5i  42717  decpmulnc  42719  decpmul  42720  sqdeccom12  42721  sq3deccom12  42722  235t711  42737  ex-decpmul  42738  sq45  43104  sum9cubes  43105  resqrtvalex  44072  imsqrtvalex  44073  inductionexd  44582  sin5tlem4  47324  sin5tlem5  47325  goldratmolem2  47334  fmtno3  48014  fmtno4  48015  fmtno5lem1  48016  fmtno5lem2  48017  fmtno5lem3  48018  fmtno5lem4  48019  fmtno5  48020  257prm  48024  fmtno4prmfac  48035  fmtno4nprmfac193  48037  fmtno5faclem1  48042  fmtno5faclem2  48043  fmtno5faclem3  48044  fmtno5fac  48045  fmtno5nprm  48046  139prmALT  48059  31prm  48060  127prm  48062  m7prm  48063  m11nprm  48064  11t31e341  48208  2exp340mod341  48209  341fppr2  48210  nfermltl2rev  48219  evengpoap3  48275  bgoldbachlt  48289  tgoldbachlt  48292  ackval3012  49168  ackval41a  49170  ackval41  49171  ackval42  49172