Theorem deccl 12634

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12620	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12437	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12429	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12450	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12632	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2833	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  9c9 12219  ℕ₀cn0 12413  ;cdc 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-dec 12620

This theorem is referenced by:  10nn0  12637  3declth  12651  3decltc  12652  decleh  12654  decmul1  12683  bpoly4  15994  fsumcube  15995  3dvds2dec  16272  dec2dvds  17003  dec5dvds2  17005  2exp8  17028  2exp11  17029  2exp16  17030  prmlem2  17059  37prm  17060  43prm  17061  83prm  17062  139prm  17063  163prm  17064  317prm  17065  631prm  17066  1259lem1  17070  1259lem2  17071  1259lem3  17072  1259lem4  17073  1259lem5  17074  1259prm  17075  2503lem1  17076  2503lem2  17077  2503lem3  17078  2503prm  17079  4001lem1  17080  4001lem2  17081  4001lem3  17082  4001lem4  17083  4001prm  17084  slotsbhcdif  17347  quart1cl  26832  quart1lem  26833  quart1  26834  log2ublem3  26926  log2ub  26927  log2le1  26928  birthday  26932  bpos1  27262  bpos  27272  1kp2ke3k  30533  9p10ne21  30557  dp3mul10  32989  dpmul1000  32990  dpadd  33002  dpmul  33004  dpmul4  33005  cos9thpiminplylem1  33959  hgt750lemd  34825  hgt750lem  34828  hgt750lem2  34829  hgt750leme  34835  tgoldbachgnn  34836  tgoldbachgt  34840  kur14lem9  35427  420gcd8e4  42370  12lcm5e60  42372  60lcm7e420  42374  3exp7  42417  3lexlogpow5ineq1  42418  3lexlogpow5ineq2  42419  3lexlogpow5ineq5  42424  aks4d1p1  42440  sqn5i  42649  decpmulnc  42651  decpmul  42652  sqdeccom12  42653  sq3deccom12  42654  235t711  42669  ex-decpmul  42670  sq45  43023  sum9cubes  43024  resqrtvalex  43995  imsqrtvalex  43996  inductionexd  44505  fmtno3  47905  fmtno4  47906  fmtno5lem1  47907  fmtno5lem2  47908  fmtno5lem3  47909  fmtno5lem4  47910  fmtno5  47911  257prm  47915  fmtno4prmfac  47926  fmtno4nprmfac193  47928  fmtno5faclem1  47933  fmtno5faclem2  47934  fmtno5faclem3  47935  fmtno5fac  47936  fmtno5nprm  47937  139prmALT  47950  31prm  47951  127prm  47953  m7prm  47954  m11nprm  47955  11t31e341  48086  2exp340mod341  48087  341fppr2  48088  nfermltl2rev  48097  evengpoap3  48153  bgoldbachlt  48167  tgoldbachlt  48170  ackval3012  49046  ackval41a  49048  ackval41  49049  ackval42  49050