Theorem deccl 12112

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12098	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 11920	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 11912	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 11933	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12110	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2909	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7155  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  9c9 11698  ℕ₀cn0 11896  ;cdc 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-dec 12098

This theorem is referenced by:  10nn0  12115  3declth  12129  3decltc  12130  decleh  12132  decmul1  12161  bpoly4  15412  fsumcube  15413  3dvds2dec  15681  dec2dvds  16398  dec5dvds2  16400  2exp8  16422  2exp16  16423  prmlem2  16452  37prm  16453  43prm  16454  83prm  16455  139prm  16456  163prm  16457  317prm  16458  631prm  16459  1259lem1  16463  1259lem2  16464  1259lem3  16465  1259lem4  16466  1259lem5  16467  1259prm  16468  2503lem1  16469  2503lem2  16470  2503lem3  16471  2503prm  16472  4001lem1  16473  4001lem2  16474  4001lem3  16475  4001lem4  16476  4001prm  16477  slotsbhcdif  16692  cnfldfun  20556  tnglem  23248  quart1cl  25431  quart1lem  25432  quart1  25433  log2ublem3  25525  log2ub  25526  log2le1  25527  birthday  25531  bpos1  25858  bpos  25868  1kp2ke3k  28224  9p10ne21  28248  dp3mul10  30574  dpmul1000  30575  dpadd  30587  dpmul  30589  dpmul4  30590  hgt750lemd  31919  hgt750lem  31922  hgt750lem2  31923  hgt750leme  31929  tgoldbachgnn  31930  tgoldbachgt  31934  kur14lem9  32461  sqn5i  39169  decpmulnc  39171  decpmul  39172  sqdeccom12  39173  sq3deccom12  39174  235t711  39175  ex-decpmul  39176  inductionexd  40503  fmtno3  43712  fmtno4  43713  fmtno5lem1  43714  fmtno5lem2  43715  fmtno5lem3  43716  fmtno5lem4  43717  fmtno5  43718  257prm  43722  fmtno4prmfac  43733  fmtno4nprmfac193  43735  fmtno5faclem1  43740  fmtno5faclem2  43741  fmtno5faclem3  43742  fmtno5fac  43743  fmtno5nprm  43744  139prmALT  43758  31prm  43759  127prm  43762  m7prm  43763  2exp11  43764  m11nprm  43765  11t31e341  43896  2exp340mod341  43897  341fppr2  43898  nfermltl2rev  43907  evengpoap3  43963  bgoldbachlt  43977  tgoldbachlt  43980