MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deccl 12091
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
deccl.1 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
deccl 𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl
StepHypRef Expression
1 df-dec 12077 . 2 𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2 9nn0 11899 . . . 4 9 ∈ ℕ0
3 1nn0 11891 . . . 4 1 ∈ ℕ0
42, 3nn0addcli 11912 . . 3 (9 + 1) ∈ ℕ0
5 deccl.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
6 deccl.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
74, 5, 6numcl 12089 . 2 (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
81, 7eqeltri 2908 1 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2115  (class class class)co 7130  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519  9c9 11677  0cn0 11875  cdc 12076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-ltxr 10657  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-dec 12077
This theorem is referenced by:  10nn0  12094  3declth  12108  3decltc  12109  decleh  12111  decmul1  12140  bpoly4  15392  fsumcube  15393  3dvds2dec  15661  dec2dvds  16376  dec5dvds2  16378  2exp8  16402  2exp16  16403  prmlem2  16432  37prm  16433  43prm  16434  83prm  16435  139prm  16436  163prm  16437  317prm  16438  631prm  16439  1259lem1  16443  1259lem2  16444  1259lem3  16445  1259lem4  16446  1259lem5  16447  1259prm  16448  2503lem1  16449  2503lem2  16450  2503lem3  16451  2503prm  16452  4001lem1  16453  4001lem2  16454  4001lem3  16455  4001lem4  16456  4001prm  16457  slotsbhcdif  16672  cnfldfun  20533  tnglem  23225  quart1cl  25419  quart1lem  25420  quart1  25421  log2ublem3  25513  log2ub  25514  log2le1  25515  birthday  25519  bpos1  25846  bpos  25856  1kp2ke3k  28210  9p10ne21  28234  dp3mul10  30561  dpmul1000  30562  dpadd  30574  dpmul  30576  dpmul4  30577  hgt750lemd  31927  hgt750lem  31930  hgt750lem2  31931  hgt750leme  31937  tgoldbachgnn  31938  tgoldbachgt  31942  kur14lem9  32469  420gcd8e4  39173  12lcm5e60  39175  60lcm7e420  39177  3lexlogpow5ineq1  39220  sqn5i  39309  decpmulnc  39311  decpmul  39312  sqdeccom12  39313  sq3deccom12  39314  235t711  39315  ex-decpmul  39316  resqrtvalex  40156  imsqrtvalex  40157  inductionexd  40672  fmtno3  43891  fmtno4  43892  fmtno5lem1  43893  fmtno5lem2  43894  fmtno5lem3  43895  fmtno5lem4  43896  fmtno5  43897  257prm  43901  fmtno4prmfac  43912  fmtno4nprmfac193  43914  fmtno5faclem1  43919  fmtno5faclem2  43920  fmtno5faclem3  43921  fmtno5fac  43922  fmtno5nprm  43923  139prmALT  43936  31prm  43937  127prm  43939  m7prm  43940  2exp11  43941  m11nprm  43942  11t31e341  44073  2exp340mod341  44074  341fppr2  44075  nfermltl2rev  44084  evengpoap3  44140  bgoldbachlt  44154  tgoldbachlt  44157  ackval3012  44917  ackval41a  44919  ackval41  44920  ackval42  44921
  Copyright terms: Public domain W3C validator