Theorem deccl 12755

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12741	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12556	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12548	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12569	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12753	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2858	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133  9c9 12330  ℕ₀cn0 12532  ;cdc 12740

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-dec 12741

This theorem is used by:  11nn0  12756  12nn0  12757  16nn0  12758  25nn0  12759  10nn0  12762  3declth  12777  3decltc  12778  decleh  12780  decmul1  12809  bpoly4  16151  fsumcube  16152  3dvds2dec  16429  dec2dvds  17161  dec5dvds2  17163  2exp8  17186  2exp11  17187  2exp16  17188  prmlem2  17218  37prm  17219  43prm  17220  83prm  17221  139prm  17222  163prm  17223  317prm  17224  631prm  17225  1259lem1  17229  1259lem2  17230  1259lem3  17231  1259lem4  17232  1259lem5  17233  1259prm  17234  2503lem1  17235  2503lem2  17236  2503lem3  17237  2503prm  17238  4001lem1  17239  4001lem2  17240  4001lem3  17241  4001lem4  17242  4001prm  17243  slotsbhcdif  17506  quart1lem  27100  quart1  27101  log2ublem3  27193  log2ub  27194  log2le1  27195  birthday  27199  bpos1  27527  bpos  27537  1kp2ke3k  30934  9p10ne21  30958  dp3mul10  33351  dpmul1000  33352  dpadd  33364  dpmul  33366  dpmul4  33367  cos9thpiminplylem1  34300  hgt750lemd  35164  hgt750lem  35167  hgt750lem2  35168  hgt750leme  35174  tgoldbachgnn  35175  tgoldbachgt  35179  kur14lem9  35801  420gcd8e4  42880  12lcm5e60  42882  60lcm7e420  42884  3exp7  42927  3lexlogpow5ineq1  42928  3lexlogpow5ineq2  42929  3lexlogpow5ineq5  42934  aks4d1p1  42950  sqn5i  43168  decpmulnc  43170  decpmul  43171  sqdeccom12  43172  sq3deccom12  43173  235t711  43188  ex-decpmul  43189  sq45  43525  sum9cubes  43526  resqrtvalex  44493  imsqrtvalex  44494  inductionexd  45003  fmtno3  48462  fmtno4  48463  fmtno5lem1  48464  fmtno5lem2  48465  fmtno5lem3  48466  fmtno5lem4  48467  fmtno5  48468  257prm  48472  fmtno4prmfac  48483  fmtno4nprmfac193  48485  fmtno5faclem1  48490  fmtno5faclem2  48491  fmtno5faclem3  48492  fmtno5fac  48493  fmtno5nprm  48494  139prmALT  48507  31prm  48508  127prm  48510  m7prm  48511  m11nprm  48512  11t31e341  48656  2exp340mod341  48657  341fppr2  48658  nfermltl2rev  48667  evengpoap3  48723  bgoldbachlt  48737  tgoldbachlt  48740  ackval3012  49630  ackval41a  49632  ackval41  49633  ackval42  49634