Theorem deccl 12721

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12707	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12523	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12515	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12536	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12719	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2830	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  9c9 12300  ℕ₀cn0 12499  ;cdc 12706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-dec 12707

This theorem is referenced by:  10nn0  12724  3declth  12738  3decltc  12739  decleh  12741  decmul1  12770  bpoly4  16073  fsumcube  16074  3dvds2dec  16350  dec2dvds  17081  dec5dvds2  17083  2exp8  17106  2exp11  17107  2exp16  17108  prmlem2  17137  37prm  17138  43prm  17139  83prm  17140  139prm  17141  163prm  17142  317prm  17143  631prm  17144  1259lem1  17148  1259lem2  17149  1259lem3  17150  1259lem4  17151  1259lem5  17152  1259prm  17153  2503lem1  17154  2503lem2  17155  2503lem3  17156  2503prm  17157  4001lem1  17158  4001lem2  17159  4001lem3  17160  4001lem4  17161  4001prm  17162  slotsbhcdif  17427  quart1cl  26814  quart1lem  26815  quart1  26816  log2ublem3  26908  log2ub  26909  log2le1  26910  birthday  26914  bpos1  27244  bpos  27254  1kp2ke3k  30373  9p10ne21  30397  dp3mul10  32818  dpmul1000  32819  dpadd  32831  dpmul  32833  dpmul4  32834  cos9thpiminplylem1  33762  hgt750lemd  34626  hgt750lem  34629  hgt750lem2  34630  hgt750leme  34636  tgoldbachgnn  34637  tgoldbachgt  34641  kur14lem9  35182  420gcd8e4  41965  12lcm5e60  41967  60lcm7e420  41969  3exp7  42012  3lexlogpow5ineq1  42013  3lexlogpow5ineq2  42014  3lexlogpow5ineq5  42019  aks4d1p1  42035  sqn5i  42282  decpmulnc  42284  decpmul  42285  sqdeccom12  42286  sq3deccom12  42287  235t711  42301  ex-decpmul  42302  sq45  42641  sum9cubes  42642  resqrtvalex  43616  imsqrtvalex  43617  inductionexd  44126  fmtno3  47513  fmtno4  47514  fmtno5lem1  47515  fmtno5lem2  47516  fmtno5lem3  47517  fmtno5lem4  47518  fmtno5  47519  257prm  47523  fmtno4prmfac  47534  fmtno4nprmfac193  47536  fmtno5faclem1  47541  fmtno5faclem2  47542  fmtno5faclem3  47543  fmtno5fac  47544  fmtno5nprm  47545  139prmALT  47558  31prm  47559  127prm  47561  m7prm  47562  m11nprm  47563  11t31e341  47694  2exp340mod341  47695  341fppr2  47696  nfermltl2rev  47705  evengpoap3  47761  bgoldbachlt  47775  tgoldbachlt  47778  ackval3012  48620  ackval41a  48622  ackval41  48623  ackval42  48624