Theorem deccl 12671

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12657	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12473	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12465	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12486	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12669	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2825	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  9c9 12255  ℕ₀cn0 12449  ;cdc 12656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-dec 12657

This theorem is referenced by:  10nn0  12674  3declth  12688  3decltc  12689  decleh  12691  decmul1  12720  bpoly4  16032  fsumcube  16033  3dvds2dec  16310  dec2dvds  17041  dec5dvds2  17043  2exp8  17066  2exp11  17067  2exp16  17068  prmlem2  17097  37prm  17098  43prm  17099  83prm  17100  139prm  17101  163prm  17102  317prm  17103  631prm  17104  1259lem1  17108  1259lem2  17109  1259lem3  17110  1259lem4  17111  1259lem5  17112  1259prm  17113  2503lem1  17114  2503lem2  17115  2503lem3  17116  2503prm  17117  4001lem1  17118  4001lem2  17119  4001lem3  17120  4001lem4  17121  4001prm  17122  slotsbhcdif  17385  quart1cl  26771  quart1lem  26772  quart1  26773  log2ublem3  26865  log2ub  26866  log2le1  26867  birthday  26871  bpos1  27201  bpos  27211  1kp2ke3k  30382  9p10ne21  30406  dp3mul10  32825  dpmul1000  32826  dpadd  32838  dpmul  32840  dpmul4  32841  cos9thpiminplylem1  33779  hgt750lemd  34646  hgt750lem  34649  hgt750lem2  34650  hgt750leme  34656  tgoldbachgnn  34657  tgoldbachgt  34661  kur14lem9  35208  420gcd8e4  42001  12lcm5e60  42003  60lcm7e420  42005  3exp7  42048  3lexlogpow5ineq1  42049  3lexlogpow5ineq2  42050  3lexlogpow5ineq5  42055  aks4d1p1  42071  sqn5i  42280  decpmulnc  42282  decpmul  42283  sqdeccom12  42284  sq3deccom12  42285  235t711  42300  ex-decpmul  42301  sq45  42666  sum9cubes  42667  resqrtvalex  43641  imsqrtvalex  43642  inductionexd  44151  fmtno3  47556  fmtno4  47557  fmtno5lem1  47558  fmtno5lem2  47559  fmtno5lem3  47560  fmtno5lem4  47561  fmtno5  47562  257prm  47566  fmtno4prmfac  47577  fmtno4nprmfac193  47579  fmtno5faclem1  47584  fmtno5faclem2  47585  fmtno5faclem3  47586  fmtno5fac  47587  fmtno5nprm  47588  139prmALT  47601  31prm  47602  127prm  47604  m7prm  47605  m11nprm  47606  11t31e341  47737  2exp340mod341  47738  341fppr2  47739  nfermltl2rev  47748  evengpoap3  47804  bgoldbachlt  47818  tgoldbachlt  47821  ackval3012  48685  ackval41a  48687  ackval41  48688  ackval42  48689