Theorem deccl 12829

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12815	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12630	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12622	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12643	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12827	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2857	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205  9c9 12404  ℕ₀cn0 12606  ;cdc 12814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-dec 12815

This theorem is used by:  11nn0  12830  12nn0  12831  16nn0  12832  25nn0  12833  10nn0  12836  3declth  12851  3decltc  12852  decleh  12854  decmul1  12883  bpoly4  16225  fsumcube  16226  3dvds2dec  16503  dec2dvds  17241  dec5dvds2  17243  2exp8  17266  2exp11  17267  2exp16  17268  prmlem2  17298  37prm  17299  43prm  17300  83prm  17301  139prm  17302  163prm  17303  317prm  17304  631prm  17305  1259lem1  17309  1259lem2  17310  1259lem3  17311  1259lem4  17312  1259lem5  17313  1259prm  17314  2503lem1  17315  2503lem2  17316  2503lem3  17317  2503prm  17318  4001lem1  17319  4001lem2  17320  4001lem3  17321  4001lem4  17322  4001prm  17323  slotsbhcdif  17586  quart1lem  27183  quart1  27184  log2ublem3  27276  log2ub  27277  log2le1  27278  birthday  27282  bpos1  27610  bpos  27620  1kp2ke3k  31047  9p10ne21  31071  dp3mul10  33464  dpmul1000  33465  dpadd  33477  dpmul  33479  dpmul4  33480  cos9thpiminplylem1  34414  hgt750lemd  35277  hgt750lem  35280  hgt750lem2  35281  hgt750leme  35287  tgoldbachgnn  35288  tgoldbachgt  35292  kur14lem9  35979  420gcd8e4  43056  12lcm5e60  43058  60lcm7e420  43060  3exp7  43103  3lexlogpow5ineq1  43104  3lexlogpow5ineq2  43105  3lexlogpow5ineq5  43110  aks4d1p1  43126  sqn5i  43342  decpmulnc  43344  decpmul  43345  sqdeccom12  43346  sq3deccom12  43347  235t711  43362  ex-decpmul  43363  sq45  43682  sum9cubes  43683  resqrtvalex  44644  imsqrtvalex  44645  inductionexd  45154  fmtno3  48635  fmtno4  48636  fmtno5lem1  48637  fmtno5lem2  48638  fmtno5lem3  48639  fmtno5lem4  48640  fmtno5  48641  257prm  48645  fmtno4prmfac  48656  fmtno4nprmfac193  48658  fmtno5faclem1  48663  fmtno5faclem2  48664  fmtno5faclem3  48665  fmtno5fac  48666  fmtno5nprm  48667  139prmALT  48680  31prm  48681  127prm  48683  m7prm  48684  m11nprm  48685  11t31e341  48829  2exp340mod341  48830  341fppr2  48831  nfermltl2rev  48840  evengpoap3  48896  bgoldbachlt  48910  tgoldbachlt  48913  ackval3012  49803  ackval41a  49805  ackval41  49806  ackval42  49807