Theorem deccl 12101

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12087	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 11909	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 11901	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 11922	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12099	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2886	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  9c9 11687  ℕ₀cn0 11885  ;cdc 12086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-dec 12087

This theorem is referenced by:  10nn0  12104  3declth  12118  3decltc  12119  decleh  12121  decmul1  12150  bpoly4  15405  fsumcube  15406  3dvds2dec  15674  dec2dvds  16389  dec5dvds2  16391  2exp8  16415  2exp16  16416  prmlem2  16445  37prm  16446  43prm  16447  83prm  16448  139prm  16449  163prm  16450  317prm  16451  631prm  16452  1259lem1  16456  1259lem2  16457  1259lem3  16458  1259lem4  16459  1259lem5  16460  1259prm  16461  2503lem1  16462  2503lem2  16463  2503lem3  16464  2503prm  16465  4001lem1  16466  4001lem2  16467  4001lem3  16468  4001lem4  16469  4001prm  16470  slotsbhcdif  16685  cnfldfun  20103  tnglem  23246  quart1cl  25440  quart1lem  25441  quart1  25442  log2ublem3  25534  log2ub  25535  log2le1  25536  birthday  25540  bpos1  25867  bpos  25877  1kp2ke3k  28231  9p10ne21  28255  dp3mul10  30600  dpmul1000  30601  dpadd  30613  dpmul  30615  dpmul4  30616  hgt750lemd  32029  hgt750lem  32032  hgt750lem2  32033  hgt750leme  32039  tgoldbachgnn  32040  tgoldbachgt  32044  kur14lem9  32574  420gcd8e4  39294  12lcm5e60  39296  60lcm7e420  39298  3lexlogpow5ineq1  39341  sqn5i  39479  decpmulnc  39481  decpmul  39482  sqdeccom12  39483  sq3deccom12  39484  235t711  39485  ex-decpmul  39486  resqrtvalex  40345  imsqrtvalex  40346  inductionexd  40858  fmtno3  44068  fmtno4  44069  fmtno5lem1  44070  fmtno5lem2  44071  fmtno5lem3  44072  fmtno5lem4  44073  fmtno5  44074  257prm  44078  fmtno4prmfac  44089  fmtno4nprmfac193  44091  fmtno5faclem1  44096  fmtno5faclem2  44097  fmtno5faclem3  44098  fmtno5fac  44099  fmtno5nprm  44100  139prmALT  44113  31prm  44114  127prm  44116  m7prm  44117  2exp11  44118  m11nprm  44119  11t31e341  44250  2exp340mod341  44251  341fppr2  44252  nfermltl2rev  44261  evengpoap3  44317  bgoldbachlt  44331  tgoldbachlt  44334  ackval3012  45106  ackval41a  45108  ackval41  45109  ackval42  45110