Theorem deccl 12773

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12759	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12577	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12569	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12590	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12771	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2840	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  9c9 12355  ℕ₀cn0 12553  ;cdc 12758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-dec 12759

This theorem is referenced by:  10nn0  12776  3declth  12790  3decltc  12791  decleh  12793  decmul1  12822  bpoly4  16107  fsumcube  16108  3dvds2dec  16381  dec2dvds  17110  dec5dvds2  17112  2exp8  17136  2exp11  17137  2exp16  17138  prmlem2  17167  37prm  17168  43prm  17169  83prm  17170  139prm  17171  163prm  17172  317prm  17173  631prm  17174  1259lem1  17178  1259lem2  17179  1259lem3  17180  1259lem4  17181  1259lem5  17182  1259prm  17183  2503lem1  17184  2503lem2  17185  2503lem3  17186  2503prm  17187  4001lem1  17188  4001lem2  17189  4001lem3  17190  4001lem4  17191  4001prm  17192  slotsbhcdif  17474  slotsbhcdifOLD  17475  cnfldfunALTOLDOLD  21416  tnglemOLD  24675  quart1cl  26915  quart1lem  26916  quart1  26917  log2ublem3  27009  log2ub  27010  log2le1  27011  birthday  27015  bpos1  27345  bpos  27355  1kp2ke3k  30478  9p10ne21  30502  dp3mul10  32862  dpmul1000  32863  dpadd  32875  dpmul  32877  dpmul4  32878  hgt750lemd  34625  hgt750lem  34628  hgt750lem2  34629  hgt750leme  34635  tgoldbachgnn  34636  tgoldbachgt  34640  kur14lem9  35182  420gcd8e4  41963  12lcm5e60  41965  60lcm7e420  41967  3exp7  42010  3lexlogpow5ineq1  42011  3lexlogpow5ineq2  42012  3lexlogpow5ineq5  42017  aks4d1p1  42033  sqn5i  42274  decpmulnc  42276  decpmul  42277  sqdeccom12  42278  sq3deccom12  42279  235t711  42293  ex-decpmul  42294  sq45  42626  sum9cubes  42627  resqrtvalex  43607  imsqrtvalex  43608  inductionexd  44117  fmtno3  47425  fmtno4  47426  fmtno5lem1  47427  fmtno5lem2  47428  fmtno5lem3  47429  fmtno5lem4  47430  fmtno5  47431  257prm  47435  fmtno4prmfac  47446  fmtno4nprmfac193  47448  fmtno5faclem1  47453  fmtno5faclem2  47454  fmtno5faclem3  47455  fmtno5fac  47456  fmtno5nprm  47457  139prmALT  47470  31prm  47471  127prm  47473  m7prm  47474  m11nprm  47475  11t31e341  47606  2exp340mod341  47607  341fppr2  47608  nfermltl2rev  47617  evengpoap3  47673  bgoldbachlt  47687  tgoldbachlt  47690  ackval3012  48426  ackval41a  48428  ackval41  48429  ackval42  48430  prstcocvalOLD  48739