MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deccl 11836
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
deccl.1 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
deccl 𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl
StepHypRef Expression
1 df-dec 11822 . 2 𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2 9nn0 11644 . . . 4 9 ∈ ℕ0
3 1nn0 11636 . . . 4 1 ∈ ℕ0
42, 3nn0addcli 11657 . . 3 (9 + 1) ∈ ℕ0
5 deccl.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
6 deccl.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
74, 5, 6numcl 11834 . 2 (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
81, 7eqeltri 2902 1 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2166  (class class class)co 6905  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257  9c9 11413  0cn0 11618  cdc 11821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-ltxr 10396  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-dec 11822
This theorem is referenced by:  10nn0  11839  3declth  11854  3decltc  11855  decleh  11857  decmul1  11886  bpoly4  15162  fsumcube  15163  3dvds2dec  15431  dec2dvds  16138  dec5dvds2  16140  2exp8  16162  2exp16  16163  prmlem2  16192  37prm  16193  43prm  16194  83prm  16195  139prm  16196  163prm  16197  317prm  16198  631prm  16199  1259lem1  16203  1259lem2  16204  1259lem3  16205  1259lem4  16206  1259lem5  16207  1259prm  16208  2503lem1  16209  2503lem2  16210  2503lem3  16211  2503prm  16212  4001lem1  16213  4001lem2  16214  4001lem3  16215  4001lem4  16216  4001prm  16217  slotsbhcdif  16433  cnfldfun  20118  tnglem  22814  quart1cl  24994  quart1lem  24995  quart1  24996  log2ublem3  25088  log2ub  25089  log2le1  25090  birthday  25094  bpos1  25421  bpos  25431  1kp2ke3k  27861  dp3mul10  30151  dpmul1000  30152  dpadd  30164  dpmul  30166  dpmul4  30167  hgt750lemd  31275  hgt750lem  31278  hgt750lem2  31279  hgt750leme  31285  tgoldbachgnn  31286  tgoldbachgt  31290  kur14lem9  31742  sqn5i  38060  decpmulnc  38062  decpmul  38063  sqdeccom12  38064  sq3deccom12  38065  235t711  38066  ex-decpmul  38067  inductionexd  39293  fmtno3  42293  fmtno4  42294  fmtno5lem1  42295  fmtno5lem2  42296  fmtno5lem3  42297  fmtno5lem4  42298  fmtno5  42299  257prm  42303  fmtno4prmfac  42314  fmtno4nprmfac193  42316  fmtno5faclem1  42321  fmtno5faclem2  42322  fmtno5faclem3  42323  fmtno5fac  42324  fmtno5nprm  42325  139prmALT  42341  31prm  42342  127prm  42345  m7prm  42346  2exp11  42347  m11nprm  42348  evengpoap3  42517  bgoldbachlt  42531  tgoldbachlt  42534
  Copyright terms: Public domain W3C validator