MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deccl 11755
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
deccl.1 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
deccl 𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl
StepHypRef Expression
1 df-dec 11741 . 2 𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2 9nn0 11564 . . . 4 9 ∈ ℕ0
3 1nn0 11556 . . . 4 1 ∈ ℕ0
42, 3nn0addcli 11577 . . 3 (9 + 1) ∈ ℕ0
5 deccl.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
6 deccl.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
74, 5, 6numcl 11753 . 2 (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
81, 7eqeltri 2840 1 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2155  (class class class)co 6842  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  9c9 11334  0cn0 11538  cdc 11740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-ltxr 10333  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-dec 11741
This theorem is referenced by:  10nn0  11758  3declth  11773  3decltc  11774  decleh  11776  sq10  13255  bpoly4  15074  fsumcube  15075  3dvds2dec  15341  dec2dvds  16048  dec5dvds2  16050  2exp8  16072  2exp16  16073  prmlem2  16102  37prm  16103  43prm  16104  83prm  16105  139prm  16106  163prm  16107  317prm  16108  631prm  16109  1259lem1  16113  1259lem2  16114  1259lem3  16115  1259lem4  16116  1259lem5  16117  1259prm  16118  2503lem1  16119  2503lem2  16120  2503lem3  16121  2503prm  16122  4001lem1  16123  4001lem2  16124  4001lem3  16125  4001lem4  16126  4001prm  16127  slotsbhcdif  16348  cnfldfun  20031  tnglem  22723  quart1cl  24872  quart1lem  24873  quart1  24874  log2ublem3  24966  log2ub  24967  log2le1  24968  birthday  24972  bpos1  25299  bpos  25309  1kp2ke3k  27697  dp3mul10  29988  dpmul1000  29989  dpadd  30001  dpmul  30003  dpmul4  30004  hgt750lemd  31109  hgt750lem  31112  hgt750lem2  31113  hgt750leme  31119  tgoldbachgnn  31120  tgoldbachgt  31124  kur14lem9  31576  sqn5i  37854  inductionexd  39059  fmtno3  42071  fmtno4  42072  fmtno5lem1  42073  fmtno5lem2  42074  fmtno5lem3  42075  fmtno5lem4  42076  fmtno5  42077  257prm  42081  fmtno4prmfac  42092  fmtno4nprmfac193  42094  fmtno5faclem1  42099  fmtno5faclem2  42100  fmtno5faclem3  42101  fmtno5fac  42102  fmtno5nprm  42103  139prmALT  42119  31prm  42120  127prm  42123  m7prm  42124  2exp11  42125  m11nprm  42126  evengpoap3  42295  bgoldbachlt  42309  tgoldbachlt  42312
  Copyright terms: Public domain W3C validator