MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deccl 12566
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
deccl.1 ๐ด โˆˆ โ„•0
deccl.2 ๐ต โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
deccl ๐ด๐ต โˆˆ โ„•0

Proof of Theorem deccl
StepHypRef Expression
1 df-dec 12552 . 2 ๐ด๐ต = (((9 + 1) ยท ๐ด) + ๐ต)
2 9nn0 12371 . . . 4 9 โˆˆ โ„•0
3 1nn0 12363 . . . 4 1 โˆˆ โ„•0
42, 3nn0addcli 12384 . . 3 (9 + 1) โˆˆ โ„•0
5 deccl.1 . . 3 ๐ด โˆˆ โ„•0
6 deccl.2 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•0
74, 5, 6numcl 12564 . 2 (((9 + 1) ยท ๐ด) + ๐ต) โˆˆ โ„•0
81, 7eqeltri 2835 1 ๐ด๐ต โˆˆ โ„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7350  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990  9c9 12149  โ„•0cn0 12347  cdc 12551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-ltxr 11128  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-dec 12552
This theorem is referenced by:  10nn0  12569  3declth  12583  3decltc  12584  decleh  12586  decmul1  12615  bpoly4  15877  fsumcube  15878  3dvds2dec  16150  dec2dvds  16870  dec5dvds2  16872  2exp8  16896  2exp11  16897  2exp16  16898  prmlem2  16927  37prm  16928  43prm  16929  83prm  16930  139prm  16931  163prm  16932  317prm  16933  631prm  16934  1259lem1  16938  1259lem2  16939  1259lem3  16940  1259lem4  16941  1259lem5  16942  1259prm  16943  2503lem1  16944  2503lem2  16945  2503lem3  16946  2503prm  16947  4001lem1  16948  4001lem2  16949  4001lem3  16950  4001lem4  16951  4001prm  16952  slotsbhcdif  17231  slotsbhcdifOLD  17232  cnfldfunALTOLD  20733  tnglemOLD  23919  quart1cl  26126  quart1lem  26127  quart1  26128  log2ublem3  26220  log2ub  26221  log2le1  26222  birthday  26226  bpos1  26553  bpos  26563  1kp2ke3k  29176  9p10ne21  29200  dp3mul10  31536  dpmul1000  31537  dpadd  31549  dpmul  31551  dpmul4  31552  hgt750lemd  33022  hgt750lem  33025  hgt750lem2  33026  hgt750leme  33032  tgoldbachgnn  33033  tgoldbachgt  33037  kur14lem9  33569  420gcd8e4  40349  12lcm5e60  40351  60lcm7e420  40353  3exp7  40396  3lexlogpow5ineq1  40397  3lexlogpow5ineq2  40398  3lexlogpow5ineq5  40403  aks4d1p1  40419  sqn5i  40646  decpmulnc  40648  decpmul  40649  sqdeccom12  40650  sq3deccom12  40651  235t711  40652  ex-decpmul  40653  resqrtvalex  41648  imsqrtvalex  41649  inductionexd  42160  fmtno3  45461  fmtno4  45462  fmtno5lem1  45463  fmtno5lem2  45464  fmtno5lem3  45465  fmtno5lem4  45466  fmtno5  45467  257prm  45471  fmtno4prmfac  45482  fmtno4nprmfac193  45484  fmtno5faclem1  45489  fmtno5faclem2  45490  fmtno5faclem3  45491  fmtno5fac  45492  fmtno5nprm  45493  139prmALT  45506  31prm  45507  127prm  45509  m7prm  45510  m11nprm  45511  11t31e341  45642  2exp340mod341  45643  341fppr2  45644  nfermltl2rev  45653  evengpoap3  45709  bgoldbachlt  45723  tgoldbachlt  45726  ackval3012  46496  ackval41a  46498  ackval41  46499  ackval42  46500  prstcocvalOLD  46810
  Copyright terms: Public domain W3C validator