Theorem deccl 12650

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12636	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12452	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12444	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12465	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12648	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2833	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  9c9 12234  ℕ₀cn0 12428  ;cdc 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-dec 12636

This theorem is referenced by:  10nn0  12653  3declth  12667  3decltc  12668  decleh  12670  decmul1  12699  bpoly4  16015  fsumcube  16016  3dvds2dec  16293  dec2dvds  17025  dec5dvds2  17027  2exp8  17050  2exp11  17051  2exp16  17052  prmlem2  17081  37prm  17082  43prm  17083  83prm  17084  139prm  17085  163prm  17086  317prm  17087  631prm  17088  1259lem1  17092  1259lem2  17093  1259lem3  17094  1259lem4  17095  1259lem5  17096  1259prm  17097  2503lem1  17098  2503lem2  17099  2503lem3  17100  2503prm  17101  4001lem1  17102  4001lem2  17103  4001lem3  17104  4001lem4  17105  4001prm  17106  slotsbhcdif  17369  quart1cl  26831  quart1lem  26832  quart1  26833  log2ublem3  26925  log2ub  26926  log2le1  26927  birthday  26931  bpos1  27260  bpos  27270  1kp2ke3k  30531  9p10ne21  30555  dp3mul10  32972  dpmul1000  32973  dpadd  32985  dpmul  32987  dpmul4  32988  cos9thpiminplylem1  33942  hgt750lemd  34808  hgt750lem  34811  hgt750lem2  34812  hgt750leme  34818  tgoldbachgnn  34819  tgoldbachgt  34823  kur14lem9  35412  420gcd8e4  42459  12lcm5e60  42461  60lcm7e420  42463  3exp7  42506  3lexlogpow5ineq1  42507  3lexlogpow5ineq2  42508  3lexlogpow5ineq5  42513  aks4d1p1  42529  sqn5i  42731  decpmulnc  42733  decpmul  42734  sqdeccom12  42735  sq3deccom12  42736  235t711  42751  ex-decpmul  42752  sq45  43118  sum9cubes  43119  resqrtvalex  44090  imsqrtvalex  44091  inductionexd  44600  sin5tlem4  47340  sin5tlem5  47341  fmtno3  48026  fmtno4  48027  fmtno5lem1  48028  fmtno5lem2  48029  fmtno5lem3  48030  fmtno5lem4  48031  fmtno5  48032  257prm  48036  fmtno4prmfac  48047  fmtno4nprmfac193  48049  fmtno5faclem1  48054  fmtno5faclem2  48055  fmtno5faclem3  48056  fmtno5fac  48057  fmtno5nprm  48058  139prmALT  48071  31prm  48072  127prm  48074  m7prm  48075  m11nprm  48076  11t31e341  48220  2exp340mod341  48221  341fppr2  48222  nfermltl2rev  48231  evengpoap3  48287  bgoldbachlt  48301  tgoldbachlt  48304  ackval3012  49180  ackval41a  49182  ackval41  49183  ackval42  49184