Theorem deccl 12657

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12643	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12459	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12451	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12472	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12655	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2836	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  9c9 12241  ℕ₀cn0 12435  ;cdc 12642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-dec 12643

This theorem is referenced by:  10nn0  12660  3declth  12674  3decltc  12675  decleh  12677  decmul1  12706  bpoly4  16022  fsumcube  16023  3dvds2dec  16300  dec2dvds  17032  dec5dvds2  17034  2exp8  17057  2exp11  17058  2exp16  17059  prmlem2  17088  37prm  17089  43prm  17090  83prm  17091  139prm  17092  163prm  17093  317prm  17094  631prm  17095  1259lem1  17099  1259lem2  17100  1259lem3  17101  1259lem4  17102  1259lem5  17103  1259prm  17104  2503lem1  17105  2503lem2  17106  2503lem3  17107  2503prm  17108  4001lem1  17109  4001lem2  17110  4001lem3  17111  4001lem4  17112  4001prm  17113  slotsbhcdif  17376  quart1cl  26843  quart1lem  26844  quart1  26845  log2ublem3  26937  log2ub  26938  log2le1  26939  birthday  26943  bpos1  27271  bpos  27281  1kp2ke3k  30541  9p10ne21  30565  dp3mul10  32983  dpmul1000  32984  dpadd  32996  dpmul  32998  dpmul4  32999  cos9thpiminplylem1  33973  hgt750lemd  34839  hgt750lem  34842  hgt750lem2  34843  hgt750leme  34849  tgoldbachgnn  34850  tgoldbachgt  34854  kur14lem9  35449  420gcd8e4  42498  12lcm5e60  42500  60lcm7e420  42502  3exp7  42545  3lexlogpow5ineq1  42546  3lexlogpow5ineq2  42547  3lexlogpow5ineq5  42552  aks4d1p1  42568  sqn5i  42769  decpmulnc  42771  decpmul  42772  sqdeccom12  42773  sq3deccom12  42774  235t711  42789  ex-decpmul  42790  sq45  43128  sum9cubes  43129  resqrtvalex  44096  imsqrtvalex  44097  inductionexd  44606  sin5tlem4  47346  sin5tlem5  47347  goldratmolem2  47356  fmtno3  48036  fmtno4  48037  fmtno5lem1  48038  fmtno5lem2  48039  fmtno5lem3  48040  fmtno5lem4  48041  fmtno5  48042  257prm  48046  fmtno4prmfac  48057  fmtno4nprmfac193  48059  fmtno5faclem1  48064  fmtno5faclem2  48065  fmtno5faclem3  48066  fmtno5fac  48067  fmtno5nprm  48068  139prmALT  48081  31prm  48082  127prm  48084  m7prm  48085  m11nprm  48086  11t31e341  48230  2exp340mod341  48231  341fppr2  48232  nfermltl2rev  48241  evengpoap3  48297  bgoldbachlt  48311  tgoldbachlt  48314  ackval3012  49190  ackval41a  49192  ackval41  49193  ackval42  49194