Theorem deccl 12609

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12595	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12412	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12404	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12425	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12607	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2829	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018  9c9 12194  ℕ₀cn0 12388  ;cdc 12594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-dec 12595

This theorem is referenced by:  10nn0  12612  3declth  12626  3decltc  12627  decleh  12629  decmul1  12658  bpoly4  15968  fsumcube  15969  3dvds2dec  16246  dec2dvds  16977  dec5dvds2  16979  2exp8  17002  2exp11  17003  2exp16  17004  prmlem2  17033  37prm  17034  43prm  17035  83prm  17036  139prm  17037  163prm  17038  317prm  17039  631prm  17040  1259lem1  17044  1259lem2  17045  1259lem3  17046  1259lem4  17047  1259lem5  17048  1259prm  17049  2503lem1  17050  2503lem2  17051  2503lem3  17052  2503prm  17053  4001lem1  17054  4001lem2  17055  4001lem3  17056  4001lem4  17057  4001prm  17058  slotsbhcdif  17321  quart1cl  26792  quart1lem  26793  quart1  26794  log2ublem3  26886  log2ub  26887  log2le1  26888  birthday  26892  bpos1  27222  bpos  27232  1kp2ke3k  30428  9p10ne21  30452  dp3mul10  32885  dpmul1000  32886  dpadd  32898  dpmul  32900  dpmul4  32901  cos9thpiminplylem1  33816  hgt750lemd  34682  hgt750lem  34685  hgt750lem2  34686  hgt750leme  34692  tgoldbachgnn  34693  tgoldbachgt  34697  kur14lem9  35279  420gcd8e4  42119  12lcm5e60  42121  60lcm7e420  42123  3exp7  42166  3lexlogpow5ineq1  42167  3lexlogpow5ineq2  42168  3lexlogpow5ineq5  42173  aks4d1p1  42189  sqn5i  42403  decpmulnc  42405  decpmul  42406  sqdeccom12  42407  sq3deccom12  42408  235t711  42423  ex-decpmul  42424  sq45  42789  sum9cubes  42790  resqrtvalex  43762  imsqrtvalex  43763  inductionexd  44272  fmtno3  47675  fmtno4  47676  fmtno5lem1  47677  fmtno5lem2  47678  fmtno5lem3  47679  fmtno5lem4  47680  fmtno5  47681  257prm  47685  fmtno4prmfac  47696  fmtno4nprmfac193  47698  fmtno5faclem1  47703  fmtno5faclem2  47704  fmtno5faclem3  47705  fmtno5fac  47706  fmtno5nprm  47707  139prmALT  47720  31prm  47721  127prm  47723  m7prm  47724  m11nprm  47725  11t31e341  47856  2exp340mod341  47857  341fppr2  47858  nfermltl2rev  47867  evengpoap3  47923  bgoldbachlt  47937  tgoldbachlt  47940  ackval3012  48817  ackval41a  48819  ackval41  48820  ackval42  48821