Theorem deccl 12744

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12730	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12546	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12538	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12559	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12742	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2862	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  9c9 12320  ℕ₀cn0 12522  ;cdc 12729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-dec 12730

This theorem is used by:  11nn0  12745  12nn0  12746  16nn0  12747  25nn0  12748  10nn0  12751  3declth  12766  3decltc  12767  decleh  12769  decmul1  12798  bpoly4  16138  fsumcube  16139  3dvds2dec  16416  dec2dvds  17148  dec5dvds2  17150  2exp8  17173  2exp11  17174  2exp16  17175  prmlem2  17205  37prm  17206  43prm  17207  83prm  17208  139prm  17209  163prm  17210  317prm  17211  631prm  17212  1259lem1  17216  1259lem2  17217  1259lem3  17218  1259lem4  17219  1259lem5  17220  1259prm  17221  2503lem1  17222  2503lem2  17223  2503lem3  17224  2503prm  17225  4001lem1  17226  4001lem2  17227  4001lem3  17228  4001lem4  17229  4001prm  17230  slotsbhcdif  17493  quart1lem  27057  quart1  27058  log2ublem3  27150  log2ub  27151  log2le1  27152  birthday  27156  bpos1  27484  bpos  27494  1kp2ke3k  30834  9p10ne21  30858  dp3mul10  33254  dpmul1000  33255  dpadd  33267  dpmul  33269  dpmul4  33270  cos9thpiminplylem1  34203  hgt750lemd  35067  hgt750lem  35070  hgt750lem2  35071  hgt750leme  35077  tgoldbachgnn  35078  tgoldbachgt  35082  kur14lem9  35727  420gcd8e4  42814  12lcm5e60  42816  60lcm7e420  42818  3exp7  42861  3lexlogpow5ineq1  42862  3lexlogpow5ineq2  42863  3lexlogpow5ineq5  42868  aks4d1p1  42884  sqn5i  43087  decpmulnc  43089  decpmul  43090  sqdeccom12  43091  sq3deccom12  43092  235t711  43107  ex-decpmul  43108  sq45  43444  sum9cubes  43445  resqrtvalex  44412  imsqrtvalex  44413  inductionexd  44922  sin5tlem4  47654  goldratmolem2  47664  fmtno3  48344  fmtno4  48345  fmtno5lem1  48346  fmtno5lem2  48347  fmtno5lem3  48348  fmtno5lem4  48349  fmtno5  48350  257prm  48354  fmtno4prmfac  48365  fmtno4nprmfac193  48367  fmtno5faclem1  48372  fmtno5faclem2  48373  fmtno5faclem3  48374  fmtno5fac  48375  fmtno5nprm  48376  139prmALT  48389  31prm  48390  127prm  48392  m7prm  48393  m11nprm  48394  11t31e341  48538  2exp340mod341  48539  341fppr2  48540  nfermltl2rev  48549  evengpoap3  48605  bgoldbachlt  48619  tgoldbachlt  48622  ackval3012  49513  ackval41a  49515  ackval41  49516  ackval42  49517