Theorem deccl 12692

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12678	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12496	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12488	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12509	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12690	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2830	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  9c9 12274  ℕ₀cn0 12472  ;cdc 12677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-dec 12678

This theorem is referenced by:  10nn0  12695  3declth  12709  3decltc  12710  decleh  12712  decmul1  12741  bpoly4  16003  fsumcube  16004  3dvds2dec  16276  dec2dvds  16996  dec5dvds2  16998  2exp8  17022  2exp11  17023  2exp16  17024  prmlem2  17053  37prm  17054  43prm  17055  83prm  17056  139prm  17057  163prm  17058  317prm  17059  631prm  17060  1259lem1  17064  1259lem2  17065  1259lem3  17066  1259lem4  17067  1259lem5  17068  1259prm  17069  2503lem1  17070  2503lem2  17071  2503lem3  17072  2503prm  17073  4001lem1  17074  4001lem2  17075  4001lem3  17076  4001lem4  17077  4001prm  17078  slotsbhcdif  17360  slotsbhcdifOLD  17361  cnfldfunALTOLD  20958  tnglemOLD  24150  quart1cl  26359  quart1lem  26360  quart1  26361  log2ublem3  26453  log2ub  26454  log2le1  26455  birthday  26459  bpos1  26786  bpos  26796  1kp2ke3k  29699  9p10ne21  29723  dp3mul10  32064  dpmul1000  32065  dpadd  32077  dpmul  32079  dpmul4  32080  hgt750lemd  33660  hgt750lem  33663  hgt750lem2  33664  hgt750leme  33670  tgoldbachgnn  33671  tgoldbachgt  33675  kur14lem9  34205  420gcd8e4  40871  12lcm5e60  40873  60lcm7e420  40875  3exp7  40918  3lexlogpow5ineq1  40919  3lexlogpow5ineq2  40920  3lexlogpow5ineq5  40925  aks4d1p1  40941  sqn5i  41197  decpmulnc  41199  decpmul  41200  sqdeccom12  41201  sq3deccom12  41202  235t711  41205  ex-decpmul  41206  sq45  41413  sum9cubes  41414  resqrtvalex  42396  imsqrtvalex  42397  inductionexd  42906  fmtno3  46219  fmtno4  46220  fmtno5lem1  46221  fmtno5lem2  46222  fmtno5lem3  46223  fmtno5lem4  46224  fmtno5  46225  257prm  46229  fmtno4prmfac  46240  fmtno4nprmfac193  46242  fmtno5faclem1  46247  fmtno5faclem2  46248  fmtno5faclem3  46249  fmtno5fac  46250  fmtno5nprm  46251  139prmALT  46264  31prm  46265  127prm  46267  m7prm  46268  m11nprm  46269  11t31e341  46400  2exp340mod341  46401  341fppr2  46402  nfermltl2rev  46411  evengpoap3  46467  bgoldbachlt  46481  tgoldbachlt  46484  ackval3012  47378  ackval41a  47380  ackval41  47381  ackval42  47382  prstcocvalOLD  47692