Theorem deccl 12810

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12796	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12611	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12603	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12624	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12808	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2857	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186  9c9 12385  ℕ₀cn0 12587  ;cdc 12795

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-dec 12796

This theorem is used by:  11nn0  12811  12nn0  12812  16nn0  12813  25nn0  12814  10nn0  12817  3declth  12832  3decltc  12833  decleh  12835  decmul1  12864  bpoly4  16205  fsumcube  16206  3dvds2dec  16483  dec2dvds  17221  dec5dvds2  17223  2exp8  17246  2exp11  17247  2exp16  17248  prmlem2  17278  37prm  17279  43prm  17280  83prm  17281  139prm  17282  163prm  17283  317prm  17284  631prm  17285  1259lem1  17289  1259lem2  17290  1259lem3  17291  1259lem4  17292  1259lem5  17293  1259prm  17294  2503lem1  17295  2503lem2  17296  2503lem3  17297  2503prm  17298  4001lem1  17299  4001lem2  17300  4001lem3  17301  4001lem4  17302  4001prm  17303  slotsbhcdif  17566  quart1lem  27165  quart1  27166  log2ublem3  27258  log2ub  27259  log2le1  27260  birthday  27264  bpos1  27592  bpos  27602  1kp2ke3k  31029  9p10ne21  31053  dp3mul10  33446  dpmul1000  33447  dpadd  33459  dpmul  33461  dpmul4  33462  cos9thpiminplylem1  34396  hgt750lemd  35260  hgt750lem  35263  hgt750lem2  35264  hgt750leme  35270  tgoldbachgnn  35271  tgoldbachgt  35275  kur14lem9  35948  420gcd8e4  43024  12lcm5e60  43026  60lcm7e420  43028  3exp7  43071  3lexlogpow5ineq1  43072  3lexlogpow5ineq2  43073  3lexlogpow5ineq5  43078  aks4d1p1  43094  sqn5i  43310  decpmulnc  43312  decpmul  43313  sqdeccom12  43314  sq3deccom12  43315  235t711  43330  ex-decpmul  43331  sq45  43636  sum9cubes  43637  resqrtvalex  44604  imsqrtvalex  44605  inductionexd  45114  fmtno3  48580  fmtno4  48581  fmtno5lem1  48582  fmtno5lem2  48583  fmtno5lem3  48584  fmtno5lem4  48585  fmtno5  48586  257prm  48590  fmtno4prmfac  48601  fmtno4nprmfac193  48603  fmtno5faclem1  48608  fmtno5faclem2  48609  fmtno5faclem3  48610  fmtno5fac  48611  fmtno5nprm  48612  139prmALT  48625  31prm  48626  127prm  48628  m7prm  48629  m11nprm  48630  11t31e341  48774  2exp340mod341  48775  341fppr2  48776  nfermltl2rev  48785  evengpoap3  48841  bgoldbachlt  48855  tgoldbachlt  48858  ackval3012  49748  ackval41a  49750  ackval41  49751  ackval42  49752