Theorem deccl 12832

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12818	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12633	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12625	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12646	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12830	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2856	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208  9c9 12407  ℕ₀cn0 12609  ;cdc 12817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-dec 12818

This theorem is used by:  11nn0  12833  12nn0  12834  16nn0  12835  25nn0  12836  10nn0  12839  3declth  12854  3decltc  12855  decleh  12857  decmul1  12886  bpoly4  16230  fsumcube  16231  3dvds2dec  16508  dec2dvds  17246  dec5dvds2  17248  2exp8  17271  2exp11  17272  2exp16  17273  prmlem2  17303  37prm  17304  43prm  17305  83prm  17306  139prm  17307  163prm  17308  317prm  17309  631prm  17310  1259lem1  17314  1259lem2  17315  1259lem3  17316  1259lem4  17317  1259lem5  17318  1259prm  17319  2503lem1  17320  2503lem2  17321  2503lem3  17322  2503prm  17323  4001lem1  17324  4001lem2  17325  4001lem3  17326  4001lem4  17327  4001prm  17328  slotsbhcdif  17591  quart1lem  27188  quart1  27189  log2ublem3  27281  log2ub  27282  log2le1  27283  birthday  27287  bpos1  27615  bpos  27625  1kp2ke3k  31052  9p10ne21  31076  dp3mul10  33510  dpmul1000  33511  dpadd  33523  dpmul  33525  dpmul4  33526  cos9thpiminplylem1  34460  hgt750lemd  35323  hgt750lem  35326  hgt750lem2  35327  hgt750leme  35333  tgoldbachgnn  35334  tgoldbachgt  35338  kur14lem9  36065  420gcd8e4  43149  12lcm5e60  43151  60lcm7e420  43153  3exp7  43196  3lexlogpow5ineq1  43197  3lexlogpow5ineq2  43198  3lexlogpow5ineq5  43203  aks4d1p1  43219  sqn5i  43435  decpmulnc  43437  decpmul  43438  sqdeccom12  43439  sq3deccom12  43440  235t711  43455  ex-decpmul  43456  sq45  43775  sum9cubes  43776  resqrtvalex  44738  imsqrtvalex  44739  inductionexd  45248  fmtno3  48729  fmtno4  48730  fmtno5lem1  48731  fmtno5lem2  48732  fmtno5lem3  48733  fmtno5lem4  48734  fmtno5  48735  257prm  48739  fmtno4prmfac  48750  fmtno4nprmfac193  48752  fmtno5faclem1  48757  fmtno5faclem2  48758  fmtno5faclem3  48759  fmtno5fac  48760  fmtno5nprm  48761  139prmALT  48774  31prm  48775  127prm  48777  m7prm  48778  m11nprm  48779  11t31e341  48923  2exp340mod341  48924  341fppr2  48925  nfermltl2rev  48934  evengpoap3  48990  bgoldbachlt  49004  tgoldbachlt  49007  ackval3012  49897  ackval41a  49899  ackval41  49900  ackval42  49901