Theorem deccl 12714

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12700	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12518	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12510	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12531	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12712	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2824	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135  9c9 12296  ℕ₀cn0 12494  ;cdc 12699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-dec 12700

This theorem is referenced by:  10nn0  12717  3declth  12731  3decltc  12732  decleh  12734  decmul1  12763  bpoly4  16027  fsumcube  16028  3dvds2dec  16301  dec2dvds  17023  dec5dvds2  17025  2exp8  17049  2exp11  17050  2exp16  17051  prmlem2  17080  37prm  17081  43prm  17082  83prm  17083  139prm  17084  163prm  17085  317prm  17086  631prm  17087  1259lem1  17091  1259lem2  17092  1259lem3  17093  1259lem4  17094  1259lem5  17095  1259prm  17096  2503lem1  17097  2503lem2  17098  2503lem3  17099  2503prm  17100  4001lem1  17101  4001lem2  17102  4001lem3  17103  4001lem4  17104  4001prm  17105  slotsbhcdif  17387  slotsbhcdifOLD  17388  cnfldfunALTOLDOLD  21295  tnglemOLD  24537  quart1cl  26773  quart1lem  26774  quart1  26775  log2ublem3  26867  log2ub  26868  log2le1  26869  birthday  26873  bpos1  27203  bpos  27213  1kp2ke3k  30243  9p10ne21  30267  dp3mul10  32603  dpmul1000  32604  dpadd  32616  dpmul  32618  dpmul4  32619  hgt750lemd  34216  hgt750lem  34219  hgt750lem2  34220  hgt750leme  34226  tgoldbachgnn  34227  tgoldbachgt  34231  kur14lem9  34760  420gcd8e4  41414  12lcm5e60  41416  60lcm7e420  41418  3exp7  41461  3lexlogpow5ineq1  41462  3lexlogpow5ineq2  41463  3lexlogpow5ineq5  41468  aks4d1p1  41484  sqn5i  41781  decpmulnc  41783  decpmul  41784  sqdeccom12  41785  sq3deccom12  41786  235t711  41789  ex-decpmul  41790  sq45  42017  sum9cubes  42018  resqrtvalex  42998  imsqrtvalex  42999  inductionexd  43508  fmtno3  46814  fmtno4  46815  fmtno5lem1  46816  fmtno5lem2  46817  fmtno5lem3  46818  fmtno5lem4  46819  fmtno5  46820  257prm  46824  fmtno4prmfac  46835  fmtno4nprmfac193  46837  fmtno5faclem1  46842  fmtno5faclem2  46843  fmtno5faclem3  46844  fmtno5fac  46845  fmtno5nprm  46846  139prmALT  46859  31prm  46860  127prm  46862  m7prm  46863  m11nprm  46864  11t31e341  46995  2exp340mod341  46996  341fppr2  46997  nfermltl2rev  47006  evengpoap3  47062  bgoldbachlt  47076  tgoldbachlt  47079  ackval3012  47688  ackval41a  47690  ackval41  47691  ackval42  47692  prstcocvalOLD  48001