Theorem deccl 12856

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12842	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12657	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12649	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12670	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12854	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2860	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232  9c9 12431  ℕ₀cn0 12633  ;cdc 12841

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-dec 12842

This theorem is used by:  11nn0  12857  12nn0  12858  16nn0  12859  25nn0  12860  10nn0  12863  3declth  12878  3decltc  12879  decleh  12881  decmul1  12910  bpoly4  16254  fsumcube  16255  3dvds2dec  16532  dec2dvds  17270  dec5dvds2  17272  2exp8  17295  2exp11  17296  2exp16  17297  prmlem2  17327  37prm  17328  43prm  17329  83prm  17330  139prm  17331  163prm  17332  317prm  17333  631prm  17334  1259lem1  17338  1259lem2  17339  1259lem3  17340  1259lem4  17341  1259lem5  17342  1259prm  17343  2503lem1  17344  2503lem2  17345  2503lem3  17346  2503prm  17347  4001lem1  17348  4001lem2  17349  4001lem3  17350  4001lem4  17351  4001prm  17352  slotsbhcdif  17615  quart1lem  27213  quart1  27214  log2ublem3  27306  log2ub  27307  log2le1  27308  birthday  27312  bpos1  27640  bpos  27650  1kp2ke3k  31077  9p10ne21  31101  dp3mul10  33534  dpmul1000  33535  dpadd  33547  dpmul  33549  dpmul4  33550  cos9thpiminplylem1  34484  hgt750lemd  35347  hgt750lem  35350  hgt750lem2  35351  hgt750leme  35357  tgoldbachgnn  35358  tgoldbachgt  35362  kur14lem9  36146  420gcd8e4  43248  12lcm5e60  43250  60lcm7e420  43252  3exp7  43295  3lexlogpow5ineq1  43296  3lexlogpow5ineq2  43297  3lexlogpow5ineq5  43302  aks4d1p1  43318  sqn5i  43535  decpmulnc  43537  decpmul  43538  sqdeccom12  43539  sq3deccom12  43540  235t711  43555  ex-decpmul  43556  sq45  43875  sum9cubes  43876  resqrtvalex  44837  imsqrtvalex  44838  inductionexd  45347  fmtno3  48841  fmtno4  48842  fmtno5lem1  48843  fmtno5lem2  48844  fmtno5lem3  48845  fmtno5lem4  48846  fmtno5  48847  257prm  48851  fmtno4prmfac  48862  fmtno4nprmfac193  48864  fmtno5faclem1  48869  fmtno5faclem2  48870  fmtno5faclem3  48871  fmtno5fac  48872  fmtno5nprm  48873  139prmALT  48886  31prm  48887  127prm  48889  m7prm  48890  m11nprm  48891  11t31e341  49035  2exp340mod341  49036  341fppr2  49037  nfermltl2rev  49046  evengpoap3  49102  bgoldbachlt  49116  tgoldbachlt  49119  ackval3012  50009  ackval41a  50011  ackval41  50012  ackval42  50013