Theorem deccl 12745

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12731	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 12547	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12539	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12560	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12743	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2834	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  9c9 12325  ℕ₀cn0 12523  ;cdc 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-dec 12731

This theorem is referenced by:  10nn0  12748  3declth  12762  3decltc  12763  decleh  12765  decmul1  12794  bpoly4  16091  fsumcube  16092  3dvds2dec  16366  dec2dvds  17096  dec5dvds2  17098  2exp8  17122  2exp11  17123  2exp16  17124  prmlem2  17153  37prm  17154  43prm  17155  83prm  17156  139prm  17157  163prm  17158  317prm  17159  631prm  17160  1259lem1  17164  1259lem2  17165  1259lem3  17166  1259lem4  17167  1259lem5  17168  1259prm  17169  2503lem1  17170  2503lem2  17171  2503lem3  17172  2503prm  17173  4001lem1  17174  4001lem2  17175  4001lem3  17176  4001lem4  17177  4001prm  17178  slotsbhcdif  17460  slotsbhcdifOLD  17461  cnfldfunALTOLDOLD  21410  tnglemOLD  24669  quart1cl  26911  quart1lem  26912  quart1  26913  log2ublem3  27005  log2ub  27006  log2le1  27007  birthday  27011  bpos1  27341  bpos  27351  1kp2ke3k  30474  9p10ne21  30498  dp3mul10  32864  dpmul1000  32865  dpadd  32877  dpmul  32879  dpmul4  32880  hgt750lemd  34641  hgt750lem  34644  hgt750lem2  34645  hgt750leme  34651  tgoldbachgnn  34652  tgoldbachgt  34656  kur14lem9  35198  420gcd8e4  41987  12lcm5e60  41989  60lcm7e420  41991  3exp7  42034  3lexlogpow5ineq1  42035  3lexlogpow5ineq2  42036  3lexlogpow5ineq5  42041  aks4d1p1  42057  sqn5i  42298  decpmulnc  42300  decpmul  42301  sqdeccom12  42302  sq3deccom12  42303  235t711  42317  ex-decpmul  42318  sq45  42657  sum9cubes  42658  resqrtvalex  43634  imsqrtvalex  43635  inductionexd  44144  fmtno3  47475  fmtno4  47476  fmtno5lem1  47477  fmtno5lem2  47478  fmtno5lem3  47479  fmtno5lem4  47480  fmtno5  47481  257prm  47485  fmtno4prmfac  47496  fmtno4nprmfac193  47498  fmtno5faclem1  47503  fmtno5faclem2  47504  fmtno5faclem3  47505  fmtno5fac  47506  fmtno5nprm  47507  139prmALT  47520  31prm  47521  127prm  47523  m7prm  47524  m11nprm  47525  11t31e341  47656  2exp340mod341  47657  341fppr2  47658  nfermltl2rev  47667  evengpoap3  47723  bgoldbachlt  47737  tgoldbachlt  47740  ackval3012  48541  ackval41a  48543  ackval41  48544  ackval42  48545  prstcocvalOLD  48872