MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numsucc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numsucc 12659
Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numsucc.1 ๐‘Œ โˆˆ โ„•0
numsucc.2 ๐‘‡ = (๐‘Œ + 1)
numsucc.3 ๐ด โˆˆ โ„•0
numsucc.4 (๐ด + 1) = ๐ต
numsucc.5 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
numsucc (๐‘ + 1) = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + 0)

Proof of Theorem numsucc
StepHypRef Expression
1 numsucc.2 . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐‘Œ + 1)
2 numsucc.1 . . . . . . . 8 ๐‘Œ โˆˆ โ„•0
3 1nn0 12430 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
42, 3nn0addcli 12451 . . . . . . 7 (๐‘Œ + 1) โˆˆ โ„•0
51, 4eqeltri 2834 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
65nn0cni 12426 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ โ„‚
76mulid1i 11160 . . . 4 (๐‘‡ ยท 1) = ๐‘‡
87oveq2i 7369 . . 3 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท 1)) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘‡)
9 numsucc.3 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
109nn0cni 12426 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„‚
11 ax-1cn 11110 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
126, 10, 11adddii 11168 . . 3 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท 1))
131eqcomi 2746 . . . 4 (๐‘Œ + 1) = ๐‘‡
14 numsucc.5 . . . 4 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘Œ)
155, 9, 2, 13, 14numsuc 12633 . . 3 (๐‘ + 1) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘‡)
168, 12, 153eqtr4ri 2776 . 2 (๐‘ + 1) = (๐‘‡ ยท (๐ด + 1))
17 numsucc.4 . . 3 (๐ด + 1) = ๐ต
1817oveq2i 7369 . 2 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) = (๐‘‡ ยท ๐ต)
199, 3nn0addcli 12451 . . . 4 (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0
2017, 19eqeltrri 2835 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•0
215, 20num0u 12630 . 2 (๐‘‡ ยท ๐ต) = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + 0)
2216, 18, 213eqtri 2769 1 (๐‘ + 1) = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057  โ„•0cn0 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-nn 12155  df-n0 12415
This theorem is referenced by:  decsucc  12660
  Copyright terms: Public domain W3C validator