MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numsucc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numsucc 12717
Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numsucc.1 ๐‘Œ โˆˆ โ„•0
numsucc.2 ๐‘‡ = (๐‘Œ + 1)
numsucc.3 ๐ด โˆˆ โ„•0
numsucc.4 (๐ด + 1) = ๐ต
numsucc.5 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
numsucc (๐‘ + 1) = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + 0)

Proof of Theorem numsucc
StepHypRef Expression
1 numsucc.2 . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐‘Œ + 1)
2 numsucc.1 . . . . . . . 8 ๐‘Œ โˆˆ โ„•0
3 1nn0 12488 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
42, 3nn0addcli 12509 . . . . . . 7 (๐‘Œ + 1) โˆˆ โ„•0
51, 4eqeltri 2830 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
65nn0cni 12484 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ โ„‚
76mulridi 11218 . . . 4 (๐‘‡ ยท 1) = ๐‘‡
87oveq2i 7420 . . 3 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท 1)) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘‡)
9 numsucc.3 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
109nn0cni 12484 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„‚
11 ax-1cn 11168 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
126, 10, 11adddii 11226 . . 3 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท 1))
131eqcomi 2742 . . . 4 (๐‘Œ + 1) = ๐‘‡
14 numsucc.5 . . . 4 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘Œ)
155, 9, 2, 13, 14numsuc 12691 . . 3 (๐‘ + 1) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘‡)
168, 12, 153eqtr4ri 2772 . 2 (๐‘ + 1) = (๐‘‡ ยท (๐ด + 1))
17 numsucc.4 . . 3 (๐ด + 1) = ๐ต
1817oveq2i 7420 . 2 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) = (๐‘‡ ยท ๐ต)
199, 3nn0addcli 12509 . . . 4 (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0
2017, 19eqeltrri 2831 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•0
215, 20num0u 12688 . 2 (๐‘‡ ยท ๐ต) = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + 0)
2216, 18, 213eqtri 2765 1 (๐‘ + 1) = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„•0cn0 12472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-nn 12213  df-n0 12473
This theorem is referenced by:  decsucc  12718
  Copyright terms: Public domain W3C validator