Theorem numsucc 12840

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numsucc.1	⊢ 𝑌 ∈ ℕ0
numsucc.2	⊢ 𝑇 = (𝑌 + 1)
numsucc.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numsucc.4	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
numsucc.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
numsucc	⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)

Proof of Theorem numsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsucc.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑌 + 1)
2		numsucc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ ℕ0
3		1nn0 12603	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 12624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 + 1) ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2857	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12599	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
7	6	mulridi 11294	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 1) = 𝑇
8	7	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
9		numsucc.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12599	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11239	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12	6, 10, 11	adddii 11302	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
13	1	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ (𝑌 + 1) = 𝑇
14		numsucc.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑌)
15	5, 9, 2, 13, 14	numsuc 12809	. . 3 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
16	8, 12, 15	3eqtr4ri 2795	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = (𝑇 · (𝐴 + 1))
17		numsucc.4	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
18	17	oveq2i 7423	. 2 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = (𝑇 · 𝐵)
19	9, 3	nn0addcli 12624	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
20	17, 19	eqeltrri 2858	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21	5, 20	num0u 12806	. 2 ⊢ (𝑇 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)
22	16, 18, 21	3eqtri 2788	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186  ℕ₀cn0 12587

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-nn 12317  df-n0 12588

This theorem is used by:  decsucc  12841