MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numsucc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numsucc 12713
Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numsucc.1 𝑌 ∈ ℕ0
numsucc.2 𝑇 = (𝑌 + 1)
numsucc.3 𝐴 ∈ ℕ0
numsucc.4 (𝐴 + 1) = 𝐵
numsucc.5 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑌)
Assertion
Ref Expression
numsucc (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)

Proof of Theorem numsucc
StepHypRef Expression
1 numsucc.2 . . . . . . 7 𝑇 = (𝑌 + 1)
2 numsucc.1 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ ℕ0
3 1nn0 12484 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
42, 3nn0addcli 12505 . . . . . . 7 (𝑌 + 1) ∈ ℕ0
51, 4eqeltri 2830 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℕ0
65nn0cni 12480 . . . . 5 𝑇 ∈ ℂ
76mulridi 11214 . . . 4 (𝑇 · 1) = 𝑇
87oveq2i 7415 . . 3 ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
9 numsucc.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
109nn0cni 12480 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
11 ax-1cn 11164 . . . 4 1 ∈ ℂ
126, 10, 11adddii 11222 . . 3 (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
131eqcomi 2742 . . . 4 (𝑌 + 1) = 𝑇
14 numsucc.5 . . . 4 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑌)
155, 9, 2, 13, 14numsuc 12687 . . 3 (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
168, 12, 153eqtr4ri 2772 . 2 (𝑁 + 1) = (𝑇 · (𝐴 + 1))
17 numsucc.4 . . 3 (𝐴 + 1) = 𝐵
1817oveq2i 7415 . 2 (𝑇 · (𝐴 + 1)) = (𝑇 · 𝐵)
199, 3nn0addcli 12505 . . . 4 (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
2017, 19eqeltrri 2831 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
215, 20num0u 12684 . 2 (𝑇 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)
2216, 18, 213eqtri 2765 1 (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7404  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  0cn0 12468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-nn 12209  df-n0 12469
This theorem is referenced by:  decsucc  12714
  Copyright terms: Public domain W3C validator