Theorem numsucc 11987

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numsucc.1	⊢ 𝑌 ∈ ℕ0
numsucc.2	⊢ 𝑇 = (𝑌 + 1)
numsucc.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numsucc.4	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
numsucc.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
numsucc	⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)

Proof of Theorem numsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsucc.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑌 + 1)
2		numsucc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ ℕ0
3		1nn0 11761	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 11782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 + 1) ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2879	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 11757	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
7	6	mulid1i 10491	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 1) = 𝑇
8	7	oveq2i 7027	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
9		numsucc.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 11757	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
11		ax-1cn 10441	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12	6, 10, 11	adddii 10499	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
13	1	eqcomi 2804	. . . 4 ⊢ (𝑌 + 1) = 𝑇
14		numsucc.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑌)
15	5, 9, 2, 13, 14	numsuc 11961	. . 3 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
16	8, 12, 15	3eqtr4ri 2830	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = (𝑇 · (𝐴 + 1))
17		numsucc.4	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
18	17	oveq2i 7027	. 2 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = (𝑇 · 𝐵)
19	9, 3	nn0addcli 11782	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
20	17, 19	eqeltrri 2880	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21	5, 20	num0u 11958	. 2 ⊢ (𝑇 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)
22	16, 18, 21	3eqtri 2823	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)

Syntax hints:   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  ℕ₀cn0 11745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-ltxr 10526  df-nn 11487  df-n0 11746

This theorem is referenced by:  decsucc  11988