Theorem nn0mulcli 12570

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0addcli.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
nn0addcli.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcli	⊢ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0

Proof of Theorem nn0mulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcli.1	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
2		nn0addcli.2	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
3		nn0mulcl 12568	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417   · cmul 11133  ℕ₀cn0 12532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-nn 12262  df-n0 12533

This theorem is used by:  numnncl  12750  num0u  12751  numcl  12753  numsuc  12754  numlt  12770  decle  12779  decrmanc  12802  decsubi  12808  decmul1  12809  decmulnc  12812  decmul10add  12814  expnass  14276  nn0opthlem1  14336  faclbnd4lem1  14361  dec2dvds  17161  dec5dvds  17162  gcdi  17171  decsplit  17180  log2ublem1  27191  log2ublem2  27192  log2ublem3  27193  log2ub  27194  bclbnd  27524  dpmul  33366  sqn5i  43168  decpmulnc  43170  decpmul  43171  sqdeccom12  43172