Theorem nn0mulcli 11985

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0addcli.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
nn0addcli.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcli	⊢ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0

Proof of Theorem nn0mulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcli.1	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
2		nn0addcli.2	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
3		nn0mulcl 11983	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	mp2an 691	1 ⊢ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7156   · cmul 10593  ℕ₀cn0 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7159  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-ltxr 10731  df-nn 11688  df-n0 11948

This theorem is referenced by:  numnncl  12160  num0u  12161  numcl  12163  numsuc  12164  numlt  12175  decle  12184  decrmanc  12207  decsubi  12213  decmul1  12214  decmulnc  12217  decmul10add  12219  expnass  13633  nn0opthlem1  13691  faclbnd4lem1  13716  dec2dvds  16467  dec5dvds  16468  gcdi  16477  decexp2  16479  decsplit  16487  log2ublem1  25644  log2ublem2  25645  log2ublem3  25646  log2ub  25647  bclbnd  25976  dpmul  30723  sqn5i  39850  decpmulnc  39852  decpmul  39853  sqdeccom12  39854