MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0mulcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0mulcli 12313
Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0addcli.1 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
nn0addcli.2 ๐‘ โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
nn0mulcli (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0

Proof of Theorem nn0mulcli
StepHypRef Expression
1 nn0addcli.1 . 2 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
2 nn0addcli.2 . 2 ๐‘ โˆˆ โ„•0
3 nn0mulcl 12311 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
41, 2, 3mp2an 690 1 (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2104  (class class class)co 7303   ยท cmul 10918  โ„•0cn0 12275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-ov 7306  df-om 7741  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-ltxr 11056  df-nn 12016  df-n0 12276
This theorem is referenced by:  numnncl  12489  num0u  12490  numcl  12492  numsuc  12493  numlt  12504  decle  12513  decrmanc  12536  decsubi  12542  decmul1  12543  decmulnc  12546  decmul10add  12548  expnass  13966  nn0opthlem1  14024  faclbnd4lem1  14049  dec2dvds  16805  dec5dvds  16806  gcdi  16815  decexp2  16817  decsplit  16825  log2ublem1  26137  log2ublem2  26138  log2ublem3  26139  log2ub  26140  bclbnd  26469  dpmul  31228  sqn5i  40349  decpmulnc  40351  decpmul  40352  sqdeccom12  40353
  Copyright terms: Public domain W3C validator