Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omcl3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omcl3g 41712
Description: Closure law for ordinal multiplication. (Contributed by RP, 14-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
omcl3g (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ โˆˆ 3o โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)

Proof of Theorem omcl3g
StepHypRef Expression
1 eltpi 4649 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ {โˆ…, 1o, 2o} โ†’ (๐ถ = โˆ… โˆจ ๐ถ = 1o โˆจ ๐ถ = 2o))
2 df-3o 8415 . . . . . 6 3o = suc 2o
3 df2o3 8421 . . . . . . . 8 2o = {โˆ…, 1o}
43uneq1i 4120 . . . . . . 7 (2o โˆช {2o}) = ({โˆ…, 1o} โˆช {2o})
5 df-suc 6324 . . . . . . 7 suc 2o = (2o โˆช {2o})
6 df-tp 4592 . . . . . . 7 {โˆ…, 1o, 2o} = ({โˆ…, 1o} โˆช {2o})
74, 5, 63eqtr4i 2771 . . . . . 6 suc 2o = {โˆ…, 1o, 2o}
82, 7eqtri 2761 . . . . 5 3o = {โˆ…, 1o, 2o}
91, 8eleq2s 2852 . . . 4 (๐ถ โˆˆ 3o โ†’ (๐ถ = โˆ… โˆจ ๐ถ = 1o โˆจ ๐ถ = 2o))
10 orc 866 . . . . . . 7 (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ On)))
11 omcl2 41711 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
1210, 11sylan2 594 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐ถ = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
1312ex 414 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
14 el1o 8442 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ 1o โ†” ๐ด = โˆ…)
15 el1o 8442 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ 1o โ†” ๐ต = โˆ…)
16 oveq12 7367 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo โˆ…))
17 0elon 6372 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โˆˆ On
18 om0 8464 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…
20 0lt1o 8451 . . . . . . . . . . 11 โˆ… โˆˆ 1o
2119, 20eqeltri 2830 . . . . . . . . . 10 (โˆ… ยทo โˆ…) โˆˆ 1o
2216, 21eqeltrdi 2842 . . . . . . . . 9 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 1o)
2314, 15, 22syl2anb 599 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ 1o โˆง ๐ต โˆˆ 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 1o)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (๐ถ = 1o โ†’ ((๐ด โˆˆ 1o โˆง ๐ต โˆˆ 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 1o))
25 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (๐ถ = 1o โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ด โˆˆ 1o))
26 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (๐ถ = 1o โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ต โˆˆ 1o))
2725, 26anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐ถ = 1o โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ด โˆˆ 1o โˆง ๐ต โˆˆ 1o)))
28 eleq2 2823 . . . . . . 7 (๐ถ = 1o โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 1o))
2924, 27, 283imtr4d 294 . . . . . 6 (๐ถ = 1o โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
3029com12 32 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ = 1o โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
31 elpri 4609 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ {โˆ…, 1o} โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ด = 1o))
3231, 3eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ 2o โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ด = 1o))
33 elpri 4609 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ {โˆ…, 1o} โ†’ (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ต = 1o))
3433, 3eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ 2o โ†’ (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ต = 1o))
35 0ex 5265 . . . . . . . . . . . . 13 โˆ… โˆˆ V
3635prid1 4724 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โˆˆ {โˆ…, 1o}
3736, 19, 33eltr4i 2847 . . . . . . . . . . 11 (โˆ… ยทo โˆ…) โˆˆ 2o
3816, 37eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
39 oveq12 7367 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = 1o โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (1o ยทo โˆ…))
40 1on 8425 . . . . . . . . . . . . 13 1o โˆˆ On
41 om0 8464 . . . . . . . . . . . . 13 (1o โˆˆ On โ†’ (1o ยทo โˆ…) = โˆ…)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1o ยทo โˆ…) = โˆ…
4336, 42, 33eltr4i 2847 . . . . . . . . . . 11 (1o ยทo โˆ…) โˆˆ 2o
4439, 43eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = 1o โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
45 oveq12 7367 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo 1o))
46 om0r 8486 . . . . . . . . . . . . 13 (1o โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo 1o) = โˆ…)
4740, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ… ยทo 1o) = โˆ…
4836, 47, 33eltr4i 2847 . . . . . . . . . . 11 (โˆ… ยทo 1o) โˆˆ 2o
4945, 48eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
50 oveq12 7367 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = 1o โˆง ๐ต = 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (1o ยทo 1o))
51 1oex 8423 . . . . . . . . . . . . 13 1o โˆˆ V
5251prid2 4725 . . . . . . . . . . . 12 1o โˆˆ {โˆ…, 1o}
53 om1 8490 . . . . . . . . . . . . 13 (1o โˆˆ On โ†’ (1o ยทo 1o) = 1o)
5440, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1o ยทo 1o) = 1o
5552, 54, 33eltr4i 2847 . . . . . . . . . . 11 (1o ยทo 1o) โˆˆ 2o
5650, 55eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = 1o โˆง ๐ต = 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
5738, 44, 49, 56ccase 1037 . . . . . . . . 9 (((๐ด = โˆ… โˆจ ๐ด = 1o) โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ต = 1o)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
5832, 34, 57syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ 2o โˆง ๐ต โˆˆ 2o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
5958a1i 11 . . . . . . 7 (๐ถ = 2o โ†’ ((๐ด โˆˆ 2o โˆง ๐ต โˆˆ 2o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o))
60 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (๐ถ = 2o โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ด โˆˆ 2o))
61 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (๐ถ = 2o โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ต โˆˆ 2o))
6260, 61anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐ถ = 2o โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ด โˆˆ 2o โˆง ๐ต โˆˆ 2o)))
63 eleq2 2823 . . . . . . 7 (๐ถ = 2o โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o))
6459, 62, 633imtr4d 294 . . . . . 6 (๐ถ = 2o โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
6564com12 32 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ = 2o โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
6613, 30, 653jaod 1429 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ = โˆ… โˆจ ๐ถ = 1o โˆจ ๐ถ = 2o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
679, 66syl5 34 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ โˆˆ 3o โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
68 olc 867 . . . . 5 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)))
69 omcl2 41711 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
7068, 69sylan2 594 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
7170ex 414 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
7267, 71jaod 858 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ โˆˆ 3o โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
7372imp 408 1 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ โˆˆ 3o โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆจ w3o 1087   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆช cun 3909  โˆ…c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591  Oncon0 6318  suc csuc 6320  (class class class)co 7358  ฯ‰com 7803  1oc1o 8406  2oc2o 8407  3oc3o 8408   ยทo comu 8411   โ†‘o coe 8412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-reg 9533  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-3o 8415  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-oexp 8419
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator