Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omcl3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omcl3g 42641
Description: Closure law for ordinal multiplication. (Contributed by RP, 14-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
omcl3g (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ โˆˆ 3o โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)

Proof of Theorem omcl3g
StepHypRef Expression
1 eltpi 4686 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ {โˆ…, 1o, 2o} โ†’ (๐ถ = โˆ… โˆจ ๐ถ = 1o โˆจ ๐ถ = 2o))
2 df-3o 8466 . . . . . 6 3o = suc 2o
3 df2o3 8472 . . . . . . . 8 2o = {โˆ…, 1o}
43uneq1i 4154 . . . . . . 7 (2o โˆช {2o}) = ({โˆ…, 1o} โˆช {2o})
5 df-suc 6363 . . . . . . 7 suc 2o = (2o โˆช {2o})
6 df-tp 4628 . . . . . . 7 {โˆ…, 1o, 2o} = ({โˆ…, 1o} โˆช {2o})
74, 5, 63eqtr4i 2764 . . . . . 6 suc 2o = {โˆ…, 1o, 2o}
82, 7eqtri 2754 . . . . 5 3o = {โˆ…, 1o, 2o}
91, 8eleq2s 2845 . . . 4 (๐ถ โˆˆ 3o โ†’ (๐ถ = โˆ… โˆจ ๐ถ = 1o โˆจ ๐ถ = 2o))
10 orc 864 . . . . . . 7 (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ On)))
11 omcl2 42640 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
1210, 11sylan2 592 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐ถ = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
1312ex 412 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
14 el1o 8493 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ 1o โ†” ๐ด = โˆ…)
15 el1o 8493 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ 1o โ†” ๐ต = โˆ…)
16 oveq12 7413 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo โˆ…))
17 0elon 6411 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โˆˆ On
18 om0 8515 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…
20 0lt1o 8502 . . . . . . . . . . 11 โˆ… โˆˆ 1o
2119, 20eqeltri 2823 . . . . . . . . . 10 (โˆ… ยทo โˆ…) โˆˆ 1o
2216, 21eqeltrdi 2835 . . . . . . . . 9 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 1o)
2314, 15, 22syl2anb 597 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ 1o โˆง ๐ต โˆˆ 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 1o)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (๐ถ = 1o โ†’ ((๐ด โˆˆ 1o โˆง ๐ต โˆˆ 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 1o))
25 eleq2 2816 . . . . . . . 8 (๐ถ = 1o โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ด โˆˆ 1o))
26 eleq2 2816 . . . . . . . 8 (๐ถ = 1o โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ต โˆˆ 1o))
2725, 26anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐ถ = 1o โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ด โˆˆ 1o โˆง ๐ต โˆˆ 1o)))
28 eleq2 2816 . . . . . . 7 (๐ถ = 1o โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 1o))
2924, 27, 283imtr4d 294 . . . . . 6 (๐ถ = 1o โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
3029com12 32 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ = 1o โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
31 elpri 4645 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ {โˆ…, 1o} โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ด = 1o))
3231, 3eleq2s 2845 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ 2o โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ด = 1o))
33 elpri 4645 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ {โˆ…, 1o} โ†’ (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ต = 1o))
3433, 3eleq2s 2845 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ 2o โ†’ (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ต = 1o))
35 0ex 5300 . . . . . . . . . . . . 13 โˆ… โˆˆ V
3635prid1 4761 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โˆˆ {โˆ…, 1o}
3736, 19, 33eltr4i 2840 . . . . . . . . . . 11 (โˆ… ยทo โˆ…) โˆˆ 2o
3816, 37eqeltrdi 2835 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
39 oveq12 7413 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = 1o โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (1o ยทo โˆ…))
40 1on 8476 . . . . . . . . . . . . 13 1o โˆˆ On
41 om0 8515 . . . . . . . . . . . . 13 (1o โˆˆ On โ†’ (1o ยทo โˆ…) = โˆ…)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1o ยทo โˆ…) = โˆ…
4336, 42, 33eltr4i 2840 . . . . . . . . . . 11 (1o ยทo โˆ…) โˆˆ 2o
4439, 43eqeltrdi 2835 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = 1o โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
45 oveq12 7413 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo 1o))
46 om0r 8537 . . . . . . . . . . . . 13 (1o โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo 1o) = โˆ…)
4740, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ… ยทo 1o) = โˆ…
4836, 47, 33eltr4i 2840 . . . . . . . . . . 11 (โˆ… ยทo 1o) โˆˆ 2o
4945, 48eqeltrdi 2835 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
50 oveq12 7413 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = 1o โˆง ๐ต = 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (1o ยทo 1o))
51 1oex 8474 . . . . . . . . . . . . 13 1o โˆˆ V
5251prid2 4762 . . . . . . . . . . . 12 1o โˆˆ {โˆ…, 1o}
53 om1 8540 . . . . . . . . . . . . 13 (1o โˆˆ On โ†’ (1o ยทo 1o) = 1o)
5440, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1o ยทo 1o) = 1o
5552, 54, 33eltr4i 2840 . . . . . . . . . . 11 (1o ยทo 1o) โˆˆ 2o
5650, 55eqeltrdi 2835 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = 1o โˆง ๐ต = 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
5738, 44, 49, 56ccase 1034 . . . . . . . . 9 (((๐ด = โˆ… โˆจ ๐ด = 1o) โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ต = 1o)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
5832, 34, 57syl2an 595 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ 2o โˆง ๐ต โˆˆ 2o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
5958a1i 11 . . . . . . 7 (๐ถ = 2o โ†’ ((๐ด โˆˆ 2o โˆง ๐ต โˆˆ 2o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o))
60 eleq2 2816 . . . . . . . 8 (๐ถ = 2o โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ด โˆˆ 2o))
61 eleq2 2816 . . . . . . . 8 (๐ถ = 2o โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ต โˆˆ 2o))
6260, 61anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐ถ = 2o โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ด โˆˆ 2o โˆง ๐ต โˆˆ 2o)))
63 eleq2 2816 . . . . . . 7 (๐ถ = 2o โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o))
6459, 62, 633imtr4d 294 . . . . . 6 (๐ถ = 2o โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
6564com12 32 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ = 2o โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
6613, 30, 653jaod 1425 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ = โˆ… โˆจ ๐ถ = 1o โˆจ ๐ถ = 2o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
679, 66syl5 34 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ โˆˆ 3o โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
68 olc 865 . . . . 5 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)))
69 omcl2 42640 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
7068, 69sylan2 592 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
7170ex 412 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
7267, 71jaod 856 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ โˆˆ 3o โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
7372imp 406 1 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ โˆˆ 3o โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆจ w3o 1083   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆช cun 3941  โˆ…c0 4317  {csn 4623  {cpr 4625  {ctp 4627  Oncon0 6357  suc csuc 6359  (class class class)co 7404  ฯ‰com 7851  1oc1o 8457  2oc2o 8458  3oc3o 8459   ยทo comu 8462   โ†‘o coe 8463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-reg 9586  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-3o 8466  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-oexp 8470
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator