Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omcl3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omcl3g 42763
Description: Closure law for ordinal multiplication. (Contributed by RP, 14-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
omcl3g (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ โˆˆ 3o โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)

Proof of Theorem omcl3g
StepHypRef Expression
1 eltpi 4692 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ {โˆ…, 1o, 2o} โ†’ (๐ถ = โˆ… โˆจ ๐ถ = 1o โˆจ ๐ถ = 2o))
2 df-3o 8489 . . . . . 6 3o = suc 2o
3 df2o3 8495 . . . . . . . 8 2o = {โˆ…, 1o}
43uneq1i 4158 . . . . . . 7 (2o โˆช {2o}) = ({โˆ…, 1o} โˆช {2o})
5 df-suc 6375 . . . . . . 7 suc 2o = (2o โˆช {2o})
6 df-tp 4634 . . . . . . 7 {โˆ…, 1o, 2o} = ({โˆ…, 1o} โˆช {2o})
74, 5, 63eqtr4i 2766 . . . . . 6 suc 2o = {โˆ…, 1o, 2o}
82, 7eqtri 2756 . . . . 5 3o = {โˆ…, 1o, 2o}
91, 8eleq2s 2847 . . . 4 (๐ถ โˆˆ 3o โ†’ (๐ถ = โˆ… โˆจ ๐ถ = 1o โˆจ ๐ถ = 2o))
10 orc 866 . . . . . . 7 (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ On)))
11 omcl2 42762 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ถ)) โˆง ๐ถ โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
1210, 11sylan2 592 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐ถ = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
1312ex 412 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
14 el1o 8516 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ 1o โ†” ๐ด = โˆ…)
15 el1o 8516 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ 1o โ†” ๐ต = โˆ…)
16 oveq12 7429 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo โˆ…))
17 0elon 6423 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โˆˆ On
18 om0 8538 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…
20 0lt1o 8525 . . . . . . . . . . 11 โˆ… โˆˆ 1o
2119, 20eqeltri 2825 . . . . . . . . . 10 (โˆ… ยทo โˆ…) โˆˆ 1o
2216, 21eqeltrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 1o)
2314, 15, 22syl2anb 597 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ 1o โˆง ๐ต โˆˆ 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 1o)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (๐ถ = 1o โ†’ ((๐ด โˆˆ 1o โˆง ๐ต โˆˆ 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 1o))
25 eleq2 2818 . . . . . . . 8 (๐ถ = 1o โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ด โˆˆ 1o))
26 eleq2 2818 . . . . . . . 8 (๐ถ = 1o โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ต โˆˆ 1o))
2725, 26anbi12d 631 . . . . . . 7 (๐ถ = 1o โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ด โˆˆ 1o โˆง ๐ต โˆˆ 1o)))
28 eleq2 2818 . . . . . . 7 (๐ถ = 1o โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 1o))
2924, 27, 283imtr4d 294 . . . . . 6 (๐ถ = 1o โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
3029com12 32 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ = 1o โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
31 elpri 4651 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ {โˆ…, 1o} โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ด = 1o))
3231, 3eleq2s 2847 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ 2o โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ด = 1o))
33 elpri 4651 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ {โˆ…, 1o} โ†’ (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ต = 1o))
3433, 3eleq2s 2847 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ 2o โ†’ (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ต = 1o))
35 0ex 5307 . . . . . . . . . . . . 13 โˆ… โˆˆ V
3635prid1 4767 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โˆˆ {โˆ…, 1o}
3736, 19, 33eltr4i 2842 . . . . . . . . . . 11 (โˆ… ยทo โˆ…) โˆˆ 2o
3816, 37eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
39 oveq12 7429 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = 1o โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (1o ยทo โˆ…))
40 1on 8499 . . . . . . . . . . . . 13 1o โˆˆ On
41 om0 8538 . . . . . . . . . . . . 13 (1o โˆˆ On โ†’ (1o ยทo โˆ…) = โˆ…)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1o ยทo โˆ…) = โˆ…
4336, 42, 33eltr4i 2842 . . . . . . . . . . 11 (1o ยทo โˆ…) โˆˆ 2o
4439, 43eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = 1o โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
45 oveq12 7429 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo 1o))
46 om0r 8560 . . . . . . . . . . . . 13 (1o โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo 1o) = โˆ…)
4740, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ… ยทo 1o) = โˆ…
4836, 47, 33eltr4i 2842 . . . . . . . . . . 11 (โˆ… ยทo 1o) โˆˆ 2o
4945, 48eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
50 oveq12 7429 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = 1o โˆง ๐ต = 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (1o ยทo 1o))
51 1oex 8497 . . . . . . . . . . . . 13 1o โˆˆ V
5251prid2 4768 . . . . . . . . . . . 12 1o โˆˆ {โˆ…, 1o}
53 om1 8563 . . . . . . . . . . . . 13 (1o โˆˆ On โ†’ (1o ยทo 1o) = 1o)
5440, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1o ยทo 1o) = 1o
5552, 54, 33eltr4i 2842 . . . . . . . . . . 11 (1o ยทo 1o) โˆˆ 2o
5650, 55eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = 1o โˆง ๐ต = 1o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
5738, 44, 49, 56ccase 1036 . . . . . . . . 9 (((๐ด = โˆ… โˆจ ๐ด = 1o) โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ต = 1o)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
5832, 34, 57syl2an 595 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ 2o โˆง ๐ต โˆˆ 2o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o)
5958a1i 11 . . . . . . 7 (๐ถ = 2o โ†’ ((๐ด โˆˆ 2o โˆง ๐ต โˆˆ 2o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o))
60 eleq2 2818 . . . . . . . 8 (๐ถ = 2o โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ด โˆˆ 2o))
61 eleq2 2818 . . . . . . . 8 (๐ถ = 2o โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ต โˆˆ 2o))
6260, 61anbi12d 631 . . . . . . 7 (๐ถ = 2o โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ด โˆˆ 2o โˆง ๐ต โˆˆ 2o)))
63 eleq2 2818 . . . . . . 7 (๐ถ = 2o โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ 2o))
6459, 62, 633imtr4d 294 . . . . . 6 (๐ถ = 2o โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
6564com12 32 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ = 2o โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
6613, 30, 653jaod 1426 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ = โˆ… โˆจ ๐ถ = 1o โˆจ ๐ถ = 2o) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
679, 66syl5 34 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ โˆˆ 3o โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
68 olc 867 . . . . 5 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)))
69 omcl2 42762 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
7068, 69sylan2 592 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
7170ex 412 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
7267, 71jaod 858 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ โˆˆ 3o โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
7372imp 406 1 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ โˆˆ 3o โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆจ w3o 1084   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โˆช cun 3945  โˆ…c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631  {ctp 4633  Oncon0 6369  suc csuc 6371  (class class class)co 7420  ฯ‰com 7870  1oc1o 8480  2oc2o 8481  3oc3o 8482   ยทo comu 8485   โ†‘o coe 8486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-reg 9616  ax-inf2 9665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-3o 8489  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-oexp 8493
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator