Theorem icccldii 49106

Description: Closed intervals are closed sets of II. Note that iccss 13328, iccordt 23156, and ordtresticc 23165 are proved from ixxss12 13279, ordtcld3 23141, and ordtrest2 23146, respectively. An alternate proof uses restcldi 23115, dfii2 24829, and icccld 24708. (Contributed by Zhi Wang, 8-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
icccldii	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘II))

Proof of Theorem icccldii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13344	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ*
2		iccordt 23156	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
3		0re 11132	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 11130	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		iccss 13328	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (0[,]1))
6	3, 4, 5	mpanl12 702	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (0[,]1))
7		letopuni 23149	. . . 4 ⊢ ℝ* = ∪ (ordTop‘ ≤ )
8	7	restcldi 23115	. . 3 ⊢ (((0[,]1) ⊆ ℝ* ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ (0[,]1)) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]1))))
9	1, 2, 6, 8	mp3an12i 1467	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]1))))
10		dfii5 24832	. . . 4 ⊢ II = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))
11		ordtresticc 23165	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]1)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))
12	10, 11	eqtr4i 2760	. . 3 ⊢ II = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]1))
13	12	fveq2i 6835	. 2 ⊢ (Clsd‘II) = (Clsd‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]1)))
14	9, 13	eleqtrrdi 2845	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘II))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025  ℝ^*cxr 11163   ≤ cle 11165  [,]cicc 13262   ↾_t crest 17338  ordTopcordt 17418  Clsdccld 22958  IIcii 24822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-rest 17340  df-topgen 17361  df-ordt 17420  df-ps 18487  df-tsr 18488  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-top 22836  df-topon 22853  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ii 24824

This theorem is referenced by:  sepfsepc  49115  seppcld  49117