Theorem icccldii 50169

Description: Closed intervals are closed sets of II. Note that iccss 13552, iccordt 23541, and ordtresticc 23550 are proved from ixxss12 13503, ordtcld3 23526, and ordtrest2 23531, respectively. An alternate proof uses restcldi 23500, dfii2 25212, and icccld 25094. (Contributed by Zhi Wang, 8-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
icccldii	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘II))

Proof of Theorem icccldii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13568	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ*
2		iccordt 23541	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
3		0re 11317	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 11315	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		iccss 13552	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (0[,]1))
6	3, 4, 5	mpanl12 715	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (0[,]1))
7		letopuni 23534	. . . 4 ⊢ ℝ* = ∪ (ordTop‘ ≤ )
8	7	restcldi 23500	. . 3 ⊢ (((0[,]1) ⊆ ℝ* ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ (0[,]1)) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]1))))
9	1, 2, 6, 8	mp3an12i 1494	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]1))))
10		dfii5 25215	. . . 4 ⊢ II = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))
11		ordtresticc 23550	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]1)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))
12	10, 11	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ II = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]1))
13	12	fveq2i 6893	. 2 ⊢ (Clsd‘II) = (Clsd‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]1)))
14	9, 13	eleqtrrdi 2871	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘II))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088   class class class wbr 5102   × cxp 5649  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208  ℝ^*cxr 11349   ≤ cle 11351  [,]cicc 13486   ↾_t crest 17600  ordTopcordt 17680  Clsdccld 23343  IIcii 25205

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-rest 17602  df-topgen 17623  df-ordt 17682  df-ps 18749  df-tsr 18750  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-top 23221  df-topon 23238  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ii 25207

This theorem is used by:  sepfsepc  50178  seppcld  50180