Theorem ordtrestixx 23448

Description: The restriction of the less than order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtrestixx.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℝ*
ordtrestixx.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtrestixx	⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem ordtrestixx

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ledm 18679	. . . 4 ⊢ ℝ* = dom ≤
2		letsr 18682	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ≤ ∈ TosetRel )
4		ordtrestixx.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	4	sseli 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ*)
7	4	sseli 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ*)
8		iccval 13438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
10		ordtrestixx.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	eqsstrrd 3966	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴)
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴)
13	1, 3, 5, 12	ordtrest2 23430	. . 3 ⊢ (⊤ → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
14	13	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (⊤ → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
15	14	mptru 1577	1 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  {crab 3412   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝ^*cxr 11267   ≤ cle 11269  [,]cicc 13402   ↾_t crest 17506  ordTopcordt 17586   TosetRel ctsr 18654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9382  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-icc 13406  df-rest 17508  df-topgen 17529  df-ordt 17588  df-ps 18655  df-tsr 18656  df-top 23120  df-topon 23137  df-bases 23172

This theorem is used by:  ordtresticc  23449  icopnfhmeo  25172