Theorem ordtrestixx 21985

Description: The restriction of the less than order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtrestixx.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℝ*
ordtrestixx.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtrestixx	⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem ordtrestixx

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ledm 17962	. . . 4 ⊢ ℝ* = dom ≤
2		letsr 17965	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ≤ ∈ TosetRel )
4		ordtrestixx.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	4	sseli 3883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ*)
7	4	sseli 3883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ*)
8		iccval 12872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
9	6, 7, 8	syl2an 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
10		ordtrestixx.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	eqsstrrd 3926	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴)
12	11	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴)
13	1, 3, 5, 12	ordtrest2 21967	. . 3 ⊢ (⊤ → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
14	13	eqcomd 2745	. 2 ⊢ (⊤ → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
15	14	mptru 1549	1 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  {crab 3058   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853   class class class wbr 5040   × cxp 5533  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  ℝ^*cxr 10764   ≤ cle 10766  [,]cicc 12836   ↾_t crest 16809  ordTopcordt 16887   TosetRel ctsr 17937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-1o 8143  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fi 8960  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-icc 12840  df-rest 16811  df-topgen 16832  df-ordt 16889  df-ps 17938  df-tsr 17939  df-top 21657  df-topon 21674  df-bases 21709

This theorem is referenced by:  ordtresticc  21986  icopnfhmeo  23707