Theorem ordtrestixx 23246

Description: The restriction of the less than order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtrestixx.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℝ*
ordtrestixx.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtrestixx	⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem ordtrestixx

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ledm 18648	. . . 4 ⊢ ℝ* = dom ≤
2		letsr 18651	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ≤ ∈ TosetRel )
4		ordtrestixx.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	4	sseli 3991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ*)
7	4	sseli 3991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ*)
8		iccval 13423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
10		ordtrestixx.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	eqsstrrd 4035	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴)
13	1, 3, 5, 12	ordtrest2 23228	. . 3 ⊢ (⊤ → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
14	13	eqcomd 2741	. 2 ⊢ (⊤ → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
15	14	mptru 1544	1 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2106  {crab 3433   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294  [,]cicc 13387   ↾_t crest 17467  ordTopcordt 17546   TosetRel ctsr 18623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-icc 13391  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969

This theorem is referenced by:  ordtresticc  23247  icopnfhmeo  24988