MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtrestixx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrestixx 22373
Description: The restriction of the less than order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrestixx.1 𝐴 ⊆ ℝ*
ordtrestixx.2 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrestixx ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem ordtrestixx
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ledm 18308 . . . 4 * = dom ≤
2 letsr 18311 . . . . 5 ≤ ∈ TosetRel
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ≤ ∈ TosetRel )
4 ordtrestixx.1 . . . . 5 𝐴 ⊆ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
64sseli 3917 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ*)
74sseli 3917 . . . . . . 7 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ*)
8 iccval 13118 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
96, 7, 8syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
10 ordtrestixx.2 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
119, 10eqsstrrd 3960 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ⊆ 𝐴)
1211adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ⊆ 𝐴)
131, 3, 5, 12ordtrest2 22355 . . 3 (⊤ → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
1413eqcomd 2744 . 2 (⊤ → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
1514mptru 1546 1 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2106  {crab 3068  cin 3886  wss 3887   class class class wbr 5074   × cxp 5587  cfv 6433  (class class class)co 7275  *cxr 11008  cle 11010  [,]cicc 13082  t crest 17131  ordTopcordt 17210   TosetRel ctsr 18283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-icc 13086  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-ordt 17212  df-ps 18284  df-tsr 18285  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096
This theorem is referenced by:  ordtresticc  22374  icopnfhmeo  24106
  Copyright terms: Public domain W3C validator