MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtrestixx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrestixx 22726
Description: The restriction of the less than order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrestixx.1 𝐴 βŠ† ℝ*
ordtrestixx.2 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrestixx ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐴

Proof of Theorem ordtrestixx
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ledm 18543 . . . 4 ℝ* = dom ≀
2 letsr 18546 . . . . 5 ≀ ∈ TosetRel
32a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ ≀ ∈ TosetRel )
4 ordtrestixx.1 . . . . 5 𝐴 βŠ† ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ*)
64sseli 3979 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
74sseli 3979 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
8 iccval 13363 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)})
96, 7, 8syl2an 597 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)})
10 ordtrestixx.2 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
119, 10eqsstrrd 4022 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)} βŠ† 𝐴)
1211adantl 483 . . . 4 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)} βŠ† 𝐴)
131, 3, 5, 12ordtrest2 22708 . . 3 (⊀ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
1413eqcomd 2739 . 2 (⊀ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
1514mptru 1549 1 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  {crab 3433   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249  [,]cicc 13327   β†Ύt crest 17366  ordTopcordt 17445   TosetRel ctsr 18518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-icc 13331  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449
This theorem is referenced by:  ordtresticc  22727  icopnfhmeo  24459
  Copyright terms: Public domain W3C validator