Theorem dfii5 24798

Description: The unit interval expressed as an order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfii5	⊢ II = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))

Proof of Theorem dfii5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfii2 24795	. 2 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
2		unitssre 13502	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
4		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
5	3, 4	xrrest 24716	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℝ → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
7		ordtresticc 23120	. 2 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]1)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))
8	1, 6, 7	3eqtr2i 2762	1 ⊢ II = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))

Syntax hints:   = wceq 1534   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945   × cxp 5670  ran crn 5673  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   ≤ cle 11273  (,)cioo 13350  [,]cicc 13353   ↾_t crest 17395  topGenctg 17412  ordTopcordt 17474  IIcii 24788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-rest 17397  df-topgen 17418  df-ordt 17476  df-ps 18551  df-tsr 18552  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-ii 24790

This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  24863  xrge0iifhmeo  33531  icccldii  47931