Theorem pell14qrexpcl 43105

Description: Positive Pell solutions are closed under integer powers. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrexpcl	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrexpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12503	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)))
2		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
3		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
5		pell14qrexpclnn0 43104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
7		pell14qrre 43095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11160	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → -𝐵 ∈ ℕ0)
13		expneg2 13993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
15		simplll 774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
16		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
17		pell14qrexpclnn0 43104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
18	15, 16, 12, 17	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
19		pell14qrreccl 43102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴↑-𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
20	15, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21	14, 20	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
22	6, 21	jaodan 959	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
23	22	expl 457	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
24	1, 23	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
25	24	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  1c1 11027  -cneg 11365   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ↑cexp 13984  ◻_NNcsquarenn 43074  Pell14QRcpell14qr 43077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-pell14qr 43081  df-pell1234qr 43082

This theorem is referenced by:  pellfund14  43136  pellfund14b  43137