Theorem pell14qrexpcl 42899

Description: Positive Pell solutions are closed under integer powers. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrexpcl	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrexpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12480	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)))
2		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
3		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
5		pell14qrexpclnn0 42898	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
7		pell14qrre 42889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → -𝐵 ∈ ℕ0)
13		expneg2 13974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
15		simplll 774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
16		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
17		pell14qrexpclnn0 42898	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
18	15, 16, 12, 17	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
19		pell14qrreccl 42896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴↑-𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
20	15, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21	14, 20	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
22	6, 21	jaodan 959	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
23	22	expl 457	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
24	1, 23	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
25	24	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3899  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℝcr 11002  1c1 11004  -cneg 11342   / cdiv 11771  ℕcn 12122  ℕ₀cn0 12378  ℤcz 12465  ↑cexp 13965  ◻_NNcsquarenn 42868  Pell14QRcpell14qr 42871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-pell14qr 42875  df-pell1234qr 42876

This theorem is referenced by:  pellfund14  42930  pellfund14b  42931