Theorem pell14qrexpcl 40686

Description: Positive Pell solutions are closed under integer powers. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrexpcl	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrexpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12334	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)))
2		simplll 772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
3		simpllr 773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
4		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
5		pell14qrexpclnn0 40685	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
7		pell14qrre 40676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11004	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → -𝐵 ∈ ℕ0)
13		expneg2 13789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
15		simplll 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
16		simpllr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
17		pell14qrexpclnn0 40685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
18	15, 16, 12, 17	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
19		pell14qrreccl 40683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴↑-𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
20	15, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21	14, 20	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
22	6, 21	jaodan 955	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
23	22	expl 458	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
24	1, 23	syl5bi 241	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
25	24	3impia 1116	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3889  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  ℝcr 10871  1c1 10873  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ↑cexp 13780  ◻_NNcsquarenn 40655  Pell14QRcpell14qr 40658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-pell14qr 40662  df-pell1234qr 40663

This theorem is referenced by:  pellfund14  40717  pellfund14b  40718