Theorem pellfundex 44000

Description: The fundamental solution as an infimum is itself a solution, showing that the solution set is discrete.

Since the fundamental solution is an infimum, there must be an element ge to Fund and lt 2*Fund. If this element is equal to the fundamental solution we're done, otherwise use the infimum again to find another element which must be ge Fund and lt the first element; their ratio is a group element in (1,2), contradicting pell14qrgapw 43990. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellfundex	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundex

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12422	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		pellfundre 43995	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
3		remulcl 11290	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
5		0red 11316	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ∈ ℝ)
6		1red 11314	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
7		0lt1 11843	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 < 1)
9		pellfundgt1 43997	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))
10	5, 6, 2, 8, 9	lttrd 11476	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 < (PellFund‘𝐷))
11	2, 10	elrpd 13166	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ+)
12	2, 11	ltaddrpd 13202	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) < ((PellFund‘𝐷) + (PellFund‘𝐷)))
13	2	recnd 11342	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℂ)
14	13	2timesd 12594	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (2 · (PellFund‘𝐷)) = ((PellFund‘𝐷) + (PellFund‘𝐷)))
15	12, 14	breqtrrd 5132	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) < (2 · (PellFund‘𝐷)))
16		pellfundglb 43999	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) < (2 · (PellFund‘𝐷))) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))))
17	4, 15, 16	mpd3an23 1492	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))))
18	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
19		pell1qrss14 43982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
20	19	sselda 3909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21		pell14qrre 43971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
22	20, 21	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	18, 22	leloed 11458	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ↔ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∨ (PellFund‘𝐷) = 𝑎)))
24		simp-4l 795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
25		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
26		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
27		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 < 𝑎)
28	22	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
29	4	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
30	19	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
31	30, 26	sseldd 3910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
32		pell14qrre 43971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑏 ∈ ℝ)
33	24, 31, 32	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ ℝ)
34		remulcl 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
35	1, 33, 34	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
36		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))
37	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))
38		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏)
39	2	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
40	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 2 ∈ ℝ)
41		2pos 12452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 0 < 2)
43		lemul2 12175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((PellFund‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ↔ (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏)))
44	39, 33, 40, 42, 43	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ↔ (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏)))
45	38, 44	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏))
46	28, 29, 35, 37, 45	ltletrd 11475	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 < (2 · 𝑏))
47		simp1 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
48	19	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
49		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
50	48, 49	sseldd 3910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
51		simp2r 1219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
52	48, 51	sseldd 3910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
53		pell14qrdivcl 43979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
54	47, 50, 52, 53	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
55	47, 52, 32	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℂ)
57	56	mullidd 11332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (1 · 𝑏) = 𝑏)
58		simp3l 1220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 < 𝑎)
59	57, 58	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (1 · 𝑏) < 𝑎)
60		1red 11314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 1 ∈ ℝ)
61	47, 50, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ)
62		pell14qrgt0 43973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝑏)
63	47, 52, 62	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 0 < 𝑏)
64		ltmuldiv 12195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → ((1 · 𝑏) < 𝑎 ↔ 1 < (𝑎 / 𝑏)))
65	60, 61, 55, 63, 64	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → ((1 · 𝑏) < 𝑎 ↔ 1 < (𝑎 / 𝑏)))
66	59, 65	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 1 < (𝑎 / 𝑏))
67		simp3r 1221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 < (2 · 𝑏))
68	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 2 ∈ ℝ)
69		ltdivmul2 12199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → ((𝑎 / 𝑏) < 2 ↔ 𝑎 < (2 · 𝑏)))
70	61, 68, 55, 63, 69	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → ((𝑎 / 𝑏) < 2 ↔ 𝑎 < (2 · 𝑏)))
71	67, 70	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (𝑎 / 𝑏) < 2)
72		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) < 2)
73		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
74		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
75		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 1 < (𝑎 / 𝑏))
76		pell14qrgapw 43990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < (𝑎 / 𝑏)) → 2 < (𝑎 / 𝑏))
77	73, 74, 75, 76	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 2 < (𝑎 / 𝑏))
78		pell14qrre 43971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
79	78	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
80		ltnsym 11413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ) → (2 < (𝑎 / 𝑏) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2))
81	1, 79, 80	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (2 < (𝑎 / 𝑏) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2))
82	77, 81	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2)
83	72, 82	pm2.21dd 198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
84	47, 54, 66, 71, 83	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
85	24, 25, 26, 27, 46, 84	syl122anc 1406	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
86		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
87	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝑎 ∈ ℝ)
88		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → (PellFund‘𝐷) < 𝑎)
89		pellfundglb 43999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
90	86, 87, 88, 89	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → ∃𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
91	85, 90	r19.29a 3170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
92	91	exp32 426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
93		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) = 𝑎)
94		simp1r 1217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
95	93, 94	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
96	95	3exp 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) = 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
97	92, 96	jaod 873	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∨ (PellFund‘𝐷) = 𝑎) → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
98	23, 97	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
99	98	impd 416	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
100	99	rexlimdva 3163	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
101	17, 100	mpd 16	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206   + caddc 11208   · cmul 11210   < clt 11348   ≤ cle 11349   / cdiv 11978  ℕcn 12340  2c2 12402  ◻_NNcsquarenn 43950  Pell1QRcpell1qr 43951  Pell14QRcpell14qr 43953  PellFundcpellfund 43954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-acn 10028  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-ico 13487  df-fz 13645  df-fl 13937  df-mod 14015  df-seq 14150  df-exp 14210  df-hash 14480  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-dvds 16430  df-gcd 16672  df-numer 16918  df-denom 16919  df-squarenn 43955  df-pell1qr 43956  df-pell14qr 43957  df-pell1234qr 43958  df-pellfund 43959

This theorem is used by:  pellfund14  44012  pellfund14b  44013