Theorem pellfundex 42300

Description: The fundamental solution as an infimum is itself a solution, showing that the solution set is discrete.

Since the fundamental solution is an infimum, there must be an element ge to Fund and lt 2*Fund. If this element is equal to the fundamental solution we're done, otherwise use the infimum again to find another element which must be ge Fund and lt the first element; their ratio is a group element in (1,2), contradicting pell14qrgapw 42290. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellfundex	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundex

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12310	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		pellfundre 42295	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
3		remulcl 11217	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
5		0red 11241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ∈ ℝ)
6		1red 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
7		0lt1 11760	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 < 1)
9		pellfundgt1 42297	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))
10	5, 6, 2, 8, 9	lttrd 11399	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 < (PellFund‘𝐷))
11	2, 10	elrpd 13039	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ+)
12	2, 11	ltaddrpd 13075	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) < ((PellFund‘𝐷) + (PellFund‘𝐷)))
13	2	recnd 11266	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℂ)
14	13	2timesd 12479	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (2 · (PellFund‘𝐷)) = ((PellFund‘𝐷) + (PellFund‘𝐷)))
15	12, 14	breqtrrd 5170	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) < (2 · (PellFund‘𝐷)))
16		pellfundglb 42299	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) < (2 · (PellFund‘𝐷))) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))))
17	4, 15, 16	mpd3an23 1460	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))))
18	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
19		pell1qrss14 42282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
20	19	sselda 3978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21		pell14qrre 42271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
22	20, 21	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	18, 22	leloed 11381	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ↔ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∨ (PellFund‘𝐷) = 𝑎)))
24		simp-4l 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
25		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
26		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
27		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 < 𝑎)
28	22	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
29	4	ad4antr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
30	19	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
31	30, 26	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
32		pell14qrre 42271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑏 ∈ ℝ)
33	24, 31, 32	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ ℝ)
34		remulcl 11217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
35	1, 33, 34	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
36		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))
37	36	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))
38		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏)
39	2	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
40	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 2 ∈ ℝ)
41		2pos 12339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 0 < 2)
43		lemul2 12091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((PellFund‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ↔ (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏)))
44	39, 33, 40, 42, 43	syl112anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ↔ (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏)))
45	38, 44	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏))
46	28, 29, 35, 37, 45	ltletrd 11398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 < (2 · 𝑏))
47		simp1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
48	19	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
49		simp2l 1197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
50	48, 49	sseldd 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
51		simp2r 1198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
52	48, 51	sseldd 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
53		pell14qrdivcl 42279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
54	47, 50, 52, 53	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
55	47, 52, 32	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℂ)
57	56	mullidd 11256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (1 · 𝑏) = 𝑏)
58		simp3l 1199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 < 𝑎)
59	57, 58	eqbrtrd 5164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (1 · 𝑏) < 𝑎)
60		1red 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 1 ∈ ℝ)
61	47, 50, 21	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ)
62		pell14qrgt0 42273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝑏)
63	47, 52, 62	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 0 < 𝑏)
64		ltmuldiv 12111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → ((1 · 𝑏) < 𝑎 ↔ 1 < (𝑎 / 𝑏)))
65	60, 61, 55, 63, 64	syl112anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → ((1 · 𝑏) < 𝑎 ↔ 1 < (𝑎 / 𝑏)))
66	59, 65	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 1 < (𝑎 / 𝑏))
67		simp3r 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 < (2 · 𝑏))
68	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 2 ∈ ℝ)
69		ltdivmul2 12115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → ((𝑎 / 𝑏) < 2 ↔ 𝑎 < (2 · 𝑏)))
70	61, 68, 55, 63, 69	syl112anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → ((𝑎 / 𝑏) < 2 ↔ 𝑎 < (2 · 𝑏)))
71	67, 70	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (𝑎 / 𝑏) < 2)
72		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) < 2)
73		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
74		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
75		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 1 < (𝑎 / 𝑏))
76		pell14qrgapw 42290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < (𝑎 / 𝑏)) → 2 < (𝑎 / 𝑏))
77	73, 74, 75, 76	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 2 < (𝑎 / 𝑏))
78		pell14qrre 42271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
80		ltnsym 11336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ) → (2 < (𝑎 / 𝑏) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2))
81	1, 79, 80	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (2 < (𝑎 / 𝑏) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2))
82	77, 81	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2)
83	72, 82	pm2.21dd 194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
84	47, 54, 66, 71, 83	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
85	24, 25, 26, 27, 46, 84	syl122anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
86		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
87	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝑎 ∈ ℝ)
88		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → (PellFund‘𝐷) < 𝑎)
89		pellfundglb 42299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
90	86, 87, 88, 89	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → ∃𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
91	85, 90	r19.29a 3158	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
92	91	exp32 420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
93		simp2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) = 𝑎)
94		simp1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
95	93, 94	eqeltrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
96	95	3exp 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) = 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
97	92, 96	jaod 858	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∨ (PellFund‘𝐷) = 𝑎) → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
98	23, 97	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
99	98	impd 410	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
100	99	rexlimdva 3151	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
101	17, 100	mpd 15	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3066   ∖ cdif 3942   ⊆ wss 3945   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137   < clt 11272   ≤ cle 11273   / cdiv 11895  ℕcn 12236  2c2 12291  ◻_NNcsquarenn 42250  Pell1QRcpell1qr 42251  Pell14QRcpell14qr 42253  PellFundcpellfund 42254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-acn 9959  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-ico 13356  df-fz 13511  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16225  df-gcd 16463  df-numer 16700  df-denom 16701  df-squarenn 42255  df-pell1qr 42256  df-pell14qr 42257  df-pell1234qr 42258  df-pellfund 42259

This theorem is referenced by:  pellfund14  42312  pellfund14b  42313