Theorem pellfundex 42847

Description: The fundamental solution as an infimum is itself a solution, showing that the solution set is discrete.

Since the fundamental solution is an infimum, there must be an element ge to Fund and lt 2*Fund. If this element is equal to the fundamental solution we're done, otherwise use the infimum again to find another element which must be ge Fund and lt the first element; their ratio is a group element in (1,2), contradicting pell14qrgapw 42837. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellfundex	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundex

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12236	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		pellfundre 42842	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
3		remulcl 11129	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
5		0red 11153	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ∈ ℝ)
6		1red 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
7		0lt1 11676	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 < 1)
9		pellfundgt1 42844	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))
10	5, 6, 2, 8, 9	lttrd 11311	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 < (PellFund‘𝐷))
11	2, 10	elrpd 12968	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ+)
12	2, 11	ltaddrpd 13004	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) < ((PellFund‘𝐷) + (PellFund‘𝐷)))
13	2	recnd 11178	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℂ)
14	13	2timesd 12401	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (2 · (PellFund‘𝐷)) = ((PellFund‘𝐷) + (PellFund‘𝐷)))
15	12, 14	breqtrrd 5130	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) < (2 · (PellFund‘𝐷)))
16		pellfundglb 42846	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) < (2 · (PellFund‘𝐷))) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))))
17	4, 15, 16	mpd3an23 1465	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))))
18	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
19		pell1qrss14 42829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
20	19	sselda 3943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21		pell14qrre 42818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
22	20, 21	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	18, 22	leloed 11293	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ↔ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∨ (PellFund‘𝐷) = 𝑎)))
24		simp-4l 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
25		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
26		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
27		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 < 𝑎)
28	22	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
29	4	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
30	19	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
31	30, 26	sseldd 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
32		pell14qrre 42818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑏 ∈ ℝ)
33	24, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ ℝ)
34		remulcl 11129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
35	1, 33, 34	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
36		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))
38		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏)
39	2	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
40	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 2 ∈ ℝ)
41		2pos 12265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 0 < 2)
43		lemul2 12011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((PellFund‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ↔ (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏)))
44	39, 33, 40, 42, 43	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ↔ (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏)))
45	38, 44	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏))
46	28, 29, 35, 37, 45	ltletrd 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 < (2 · 𝑏))
47		simp1 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
48	19	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
49		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
50	48, 49	sseldd 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
51		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
52	48, 51	sseldd 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
53		pell14qrdivcl 42826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
54	47, 50, 52, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
55	47, 52, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℂ)
57	56	mullidd 11168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (1 · 𝑏) = 𝑏)
58		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 < 𝑎)
59	57, 58	eqbrtrd 5124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (1 · 𝑏) < 𝑎)
60		1red 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 1 ∈ ℝ)
61	47, 50, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ)
62		pell14qrgt0 42820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝑏)
63	47, 52, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 0 < 𝑏)
64		ltmuldiv 12032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → ((1 · 𝑏) < 𝑎 ↔ 1 < (𝑎 / 𝑏)))
65	60, 61, 55, 63, 64	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → ((1 · 𝑏) < 𝑎 ↔ 1 < (𝑎 / 𝑏)))
66	59, 65	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 1 < (𝑎 / 𝑏))
67		simp3r 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 < (2 · 𝑏))
68	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 2 ∈ ℝ)
69		ltdivmul2 12036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → ((𝑎 / 𝑏) < 2 ↔ 𝑎 < (2 · 𝑏)))
70	61, 68, 55, 63, 69	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → ((𝑎 / 𝑏) < 2 ↔ 𝑎 < (2 · 𝑏)))
71	67, 70	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (𝑎 / 𝑏) < 2)
72		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) < 2)
73		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
74		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
75		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 1 < (𝑎 / 𝑏))
76		pell14qrgapw 42837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < (𝑎 / 𝑏)) → 2 < (𝑎 / 𝑏))
77	73, 74, 75, 76	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 2 < (𝑎 / 𝑏))
78		pell14qrre 42818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
80		ltnsym 11248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ) → (2 < (𝑎 / 𝑏) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2))
81	1, 79, 80	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (2 < (𝑎 / 𝑏) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2))
82	77, 81	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2)
83	72, 82	pm2.21dd 195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
84	47, 54, 66, 71, 83	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
85	24, 25, 26, 27, 46, 84	syl122anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
86		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
87	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝑎 ∈ ℝ)
88		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → (PellFund‘𝐷) < 𝑎)
89		pellfundglb 42846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
90	86, 87, 88, 89	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → ∃𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
91	85, 90	r19.29a 3141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
92	91	exp32 420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
93		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) = 𝑎)
94		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
95	93, 94	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
96	95	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) = 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
97	92, 96	jaod 859	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∨ (PellFund‘𝐷) = 𝑎) → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
98	23, 97	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
99	98	impd 410	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
100	99	rexlimdva 3134	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
101	17, 100	mpd 15	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  ◻_NNcsquarenn 42797  Pell1QRcpell1qr 42798  Pell14QRcpell14qr 42800  PellFundcpellfund 42801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-numer 16681  df-denom 16682  df-squarenn 42802  df-pell1qr 42803  df-pell14qr 42804  df-pell1234qr 42805  df-pellfund 42806

This theorem is referenced by:  pellfund14  42859  pellfund14b  42860