Theorem pellfundex 42881

Description: The fundamental solution as an infimum is itself a solution, showing that the solution set is discrete.

Since the fundamental solution is an infimum, there must be an element ge to Fund and lt 2*Fund. If this element is equal to the fundamental solution we're done, otherwise use the infimum again to find another element which must be ge Fund and lt the first element; their ratio is a group element in (1,2), contradicting pell14qrgapw 42871. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellfundex	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundex

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12267	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		pellfundre 42876	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
3		remulcl 11160	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
5		0red 11184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ∈ ℝ)
6		1red 11182	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
7		0lt1 11707	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 < 1)
9		pellfundgt1 42878	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))
10	5, 6, 2, 8, 9	lttrd 11342	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 < (PellFund‘𝐷))
11	2, 10	elrpd 12999	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ+)
12	2, 11	ltaddrpd 13035	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) < ((PellFund‘𝐷) + (PellFund‘𝐷)))
13	2	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℂ)
14	13	2timesd 12432	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (2 · (PellFund‘𝐷)) = ((PellFund‘𝐷) + (PellFund‘𝐷)))
15	12, 14	breqtrrd 5138	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) < (2 · (PellFund‘𝐷)))
16		pellfundglb 42880	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) < (2 · (PellFund‘𝐷))) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))))
17	4, 15, 16	mpd3an23 1465	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))))
18	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
19		pell1qrss14 42863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
20	19	sselda 3949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21		pell14qrre 42852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
22	20, 21	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	18, 22	leloed 11324	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ↔ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∨ (PellFund‘𝐷) = 𝑎)))
24		simp-4l 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
25		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
26		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
27		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 < 𝑎)
28	22	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
29	4	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
30	19	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
31	30, 26	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
32		pell14qrre 42852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑏 ∈ ℝ)
33	24, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ ℝ)
34		remulcl 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
35	1, 33, 34	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
36		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))
38		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏)
39	2	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
40	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 2 ∈ ℝ)
41		2pos 12296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 0 < 2)
43		lemul2 12042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((PellFund‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ↔ (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏)))
44	39, 33, 40, 42, 43	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ↔ (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏)))
45	38, 44	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏))
46	28, 29, 35, 37, 45	ltletrd 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 < (2 · 𝑏))
47		simp1 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
48	19	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
49		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
50	48, 49	sseldd 3950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
51		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
52	48, 51	sseldd 3950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
53		pell14qrdivcl 42860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
54	47, 50, 52, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
55	47, 52, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℂ)
57	56	mullidd 11199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (1 · 𝑏) = 𝑏)
58		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 < 𝑎)
59	57, 58	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (1 · 𝑏) < 𝑎)
60		1red 11182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 1 ∈ ℝ)
61	47, 50, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ)
62		pell14qrgt0 42854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝑏)
63	47, 52, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 0 < 𝑏)
64		ltmuldiv 12063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → ((1 · 𝑏) < 𝑎 ↔ 1 < (𝑎 / 𝑏)))
65	60, 61, 55, 63, 64	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → ((1 · 𝑏) < 𝑎 ↔ 1 < (𝑎 / 𝑏)))
66	59, 65	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 1 < (𝑎 / 𝑏))
67		simp3r 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 < (2 · 𝑏))
68	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 2 ∈ ℝ)
69		ltdivmul2 12067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → ((𝑎 / 𝑏) < 2 ↔ 𝑎 < (2 · 𝑏)))
70	61, 68, 55, 63, 69	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → ((𝑎 / 𝑏) < 2 ↔ 𝑎 < (2 · 𝑏)))
71	67, 70	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (𝑎 / 𝑏) < 2)
72		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) < 2)
73		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
74		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
75		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 1 < (𝑎 / 𝑏))
76		pell14qrgapw 42871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < (𝑎 / 𝑏)) → 2 < (𝑎 / 𝑏))
77	73, 74, 75, 76	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 2 < (𝑎 / 𝑏))
78		pell14qrre 42852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
80		ltnsym 11279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ) → (2 < (𝑎 / 𝑏) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2))
81	1, 79, 80	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (2 < (𝑎 / 𝑏) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2))
82	77, 81	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2)
83	72, 82	pm2.21dd 195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
84	47, 54, 66, 71, 83	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
85	24, 25, 26, 27, 46, 84	syl122anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
86		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
87	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝑎 ∈ ℝ)
88		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → (PellFund‘𝐷) < 𝑎)
89		pellfundglb 42880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
90	86, 87, 88, 89	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → ∃𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
91	85, 90	r19.29a 3142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
92	91	exp32 420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
93		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) = 𝑎)
94		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
95	93, 94	eqeltrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
96	95	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) = 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
97	92, 96	jaod 859	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∨ (PellFund‘𝐷) = 𝑎) → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
98	23, 97	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
99	98	impd 410	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
100	99	rexlimdva 3135	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
101	17, 100	mpd 15	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ◻_NNcsquarenn 42831  Pell1QRcpell1qr 42832  Pell14QRcpell14qr 42834  PellFundcpellfund 42835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-numer 16712  df-denom 16713  df-squarenn 42836  df-pell1qr 42837  df-pell14qr 42838  df-pell1234qr 42839  df-pellfund 42840

This theorem is referenced by:  pellfund14  42893  pellfund14b  42894