Theorem pellfundex 40703

Description: The fundamental solution as an infimum is itself a solution, showing that the solution set is discrete.

Since the fundamental solution is an infimum, there must be an element ge to Fund and lt 2*Fund. If this element is equal to the fundamental solution we're done, otherwise use the infimum again to find another element which must be ge Fund and lt the first element; their ratio is a group element in (1,2), contradicting pell14qrgapw 40693. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellfundex	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundex

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12045	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		pellfundre 40698	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
3		remulcl 10955	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
5		0red 10977	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ∈ ℝ)
6		1red 10975	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
7		0lt1 11495	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 < 1)
9		pellfundgt1 40700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))
10	5, 6, 2, 8, 9	lttrd 11134	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 < (PellFund‘𝐷))
11	2, 10	elrpd 12766	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ+)
12	2, 11	ltaddrpd 12802	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) < ((PellFund‘𝐷) + (PellFund‘𝐷)))
13	2	recnd 11002	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℂ)
14	13	2timesd 12214	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (2 · (PellFund‘𝐷)) = ((PellFund‘𝐷) + (PellFund‘𝐷)))
15	12, 14	breqtrrd 5107	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) < (2 · (PellFund‘𝐷)))
16		pellfundglb 40702	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) < (2 · (PellFund‘𝐷))) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))))
17	4, 15, 16	mpd3an23 1462	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))))
18	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
19		pell1qrss14 40685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
20	19	sselda 3926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21		pell14qrre 40674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
22	20, 21	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	18, 22	leloed 11116	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ↔ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∨ (PellFund‘𝐷) = 𝑎)))
24		simp-4l 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
25		simp-4r 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
26		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
27		simprr 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 < 𝑎)
28	22	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
29	4	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ∈ ℝ)
30	19	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
31	30, 26	sseldd 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
32		pell14qrre 40674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑏 ∈ ℝ)
33	24, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑏 ∈ ℝ)
34		remulcl 10955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
35	1, 33, 34	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
36		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))
37	36	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))
38		simprl 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏)
39	2	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
40	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 2 ∈ ℝ)
41		2pos 12074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 0 < 2)
43		lemul2 11826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((PellFund‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ↔ (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏)))
44	39, 33, 40, 42, 43	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ↔ (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏)))
45	38, 44	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (2 · (PellFund‘𝐷)) ≤ (2 · 𝑏))
46	28, 29, 35, 37, 45	ltletrd 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → 𝑎 < (2 · 𝑏))
47		simp1 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
48	19	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
49		simp2l 1198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
50	48, 49	sseldd 3927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
51		simp2r 1199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
52	48, 51	sseldd 3927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
53		pell14qrdivcl 40682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
54	47, 50, 52, 53	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
55	47, 52, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℂ)
57	56	mulid2d 10992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (1 · 𝑏) = 𝑏)
58		simp3l 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑏 < 𝑎)
59	57, 58	eqbrtrd 5101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (1 · 𝑏) < 𝑎)
60		1red 10975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 1 ∈ ℝ)
61	47, 50, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ)
62		pell14qrgt0 40676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝑏)
63	47, 52, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 0 < 𝑏)
64		ltmuldiv 11846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → ((1 · 𝑏) < 𝑎 ↔ 1 < (𝑎 / 𝑏)))
65	60, 61, 55, 63, 64	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → ((1 · 𝑏) < 𝑎 ↔ 1 < (𝑎 / 𝑏)))
66	59, 65	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 1 < (𝑎 / 𝑏))
67		simp3r 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 𝑎 < (2 · 𝑏))
68	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → 2 ∈ ℝ)
69		ltdivmul2 11850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → ((𝑎 / 𝑏) < 2 ↔ 𝑎 < (2 · 𝑏)))
70	61, 68, 55, 63, 69	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → ((𝑎 / 𝑏) < 2 ↔ 𝑎 < (2 · 𝑏)))
71	67, 70	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (𝑎 / 𝑏) < 2)
72		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) < 2)
73		simpll 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
74		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
75		simprl 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 1 < (𝑎 / 𝑏))
76		pell14qrgapw 40693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < (𝑎 / 𝑏)) → 2 < (𝑎 / 𝑏))
77	73, 74, 75, 76	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → 2 < (𝑎 / 𝑏))
78		pell14qrre 40674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
80		ltnsym 11071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ) → (2 < (𝑎 / 𝑏) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2))
81	1, 79, 80	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (2 < (𝑎 / 𝑏) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2))
82	77, 81	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → ¬ (𝑎 / 𝑏) < 2)
83	72, 82	pm2.21dd 194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 / 𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < (𝑎 / 𝑏) ∧ (𝑎 / 𝑏) < 2)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
84	47, 54, 66, 71, 83	syl22anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (𝑏 < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · 𝑏))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
85	24, 25, 26, 27, 46, 84	syl122anc 1378	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) ∧ 𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
86		simpll 764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
87	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → 𝑎 ∈ ℝ)
88		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → (PellFund‘𝐷) < 𝑎)
89		pellfundglb 40702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (PellFund‘𝐷) < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
90	86, 87, 88, 89	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → ∃𝑏 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
91	85, 90	r19.29a 3220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
92	91	exp32 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) < 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
93		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) = 𝑎)
94		simp1r 1197	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
95	93, 94	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) ∧ (PellFund‘𝐷) = 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
96	95	3exp 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) = 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
97	92, 96	jaod 856	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (((PellFund‘𝐷) < 𝑎 ∨ (PellFund‘𝐷) = 𝑎) → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
98	23, 97	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → ((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 → (𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷)) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
99	98	impd 411	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
100	99	rexlimdva 3215	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)((PellFund‘𝐷) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < (2 · (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
101	17, 100	mpd 15	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3067   ∖ cdif 3889   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5079  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  ℝcr 10869  0cc0 10870  1c1 10871   + caddc 10873   · cmul 10875   < clt 11008   ≤ cle 11009   / cdiv 11630  ℕcn 11971  2c2 12026  ◻_NNcsquarenn 40653  Pell1QRcpell1qr 40654  Pell14QRcpell14qr 40656  PellFundcpellfund 40657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-oadd 8290  df-omul 8291  df-er 8479  df-map 8598  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-sup 9177  df-inf 9178  df-oi 9245  df-card 9696  df-acn 9699  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-uz 12580  df-q 12686  df-rp 12728  df-ico 13082  df-fz 13237  df-fl 13508  df-mod 13586  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-dvds 15960  df-gcd 16198  df-numer 16435  df-denom 16436  df-squarenn 40658  df-pell1qr 40659  df-pell14qr 40660  df-pell1234qr 40661  df-pellfund 40662

This theorem is referenced by:  pellfund14  40715  pellfund14b  40716