Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundre Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pellfundre 42332
Description: The fundamental solution of a Pell equation exists as a real number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundre (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
Proof of Theorem pellfundre
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pellfundval 42331 . 2 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) = inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ))
2 ssrab2 4077 . . . 4 {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† (Pell14QRβ€˜π·)
3 pell14qrre 42308 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
43ex 411 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) β†’ π‘Ž ∈ ℝ))
54ssrdv 3988 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (Pell14QRβ€˜π·) βŠ† ℝ)
62, 5sstrid 3993 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† ℝ)
7 pell1qrss14 42319 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (Pell1QRβ€˜π·) βŠ† (Pell14QRβ€˜π·))
8 pellqrex 42330 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell1QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
9 ssrexv 4051 . . . . 5 ((Pell1QRβ€˜π·) βŠ† (Pell14QRβ€˜π·) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell1QRβ€˜π·)1 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž))
107, 8, 9sylc 65 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
11 rabn0 4389 . . . 4 ({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
1210, 11sylibr 233 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ…)
13 1re 11252 . . . 4 1 ∈ ℝ
14 breq2 5156 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (1 < π‘Ž ↔ 1 < 𝑐))
1514elrab 3684 . . . . . 6 (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ↔ (𝑐 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < 𝑐))
16 pell14qrre 42308 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝑐 ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
17 ltle 11340 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (1 < 𝑐 β†’ 1 ≀ 𝑐))
1813, 16, 17sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝑐 ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ (1 < 𝑐 β†’ 1 ≀ 𝑐))
1918expimpd 452 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ ((𝑐 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < 𝑐) β†’ 1 ≀ 𝑐))
2015, 19biimtrid 241 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β†’ 1 ≀ 𝑐))
2120ralrimiv 3142 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}1 ≀ 𝑐)
22 breq1 5155 . . . . . 6 (𝑏 = 1 β†’ (𝑏 ≀ 𝑐 ↔ 1 ≀ 𝑐))
2322ralbidv 3175 . . . . 5 (𝑏 = 1 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝑏 ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}1 ≀ 𝑐))
2423rspcev 3611 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}1 ≀ 𝑐) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝑏 ≀ 𝑐)
2513, 21, 24sylancr 585 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝑏 ≀ 𝑐)
26 infrecl 12234 . . 3 (({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† ℝ ∧ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝑏 ≀ 𝑐) β†’ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
276, 12, 25, 26syl3anc 1368 . 2 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
281, 27eqeltrd 2829 1 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  {crab 3430   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  infcinf 9472  β„cr 11145  1c1 11147   < clt 11286   ≀ cle 11287  β„•cn 12250  β—»NNcsquarenn 42287  Pell1QRcpell1qr 42288  Pell14QRcpell14qr 42290  PellFundcpellfund 42291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-numer 16714  df-denom 16715  df-squarenn 42292  df-pell1qr 42293  df-pell14qr 42294  df-pell1234qr 42295  df-pellfund 42296
This theorem is referenced by:  pellfundgt1  42334  pellfundglb  42336  pellfundex  42337  pellfund14gap  42338  pellfundrp  42339  rmspecfund  42360
  Copyright terms: Public domain W3C validator