Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundre Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pellfundre 42179
Description: The fundamental solution of a Pell equation exists as a real number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundre (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
Proof of Theorem pellfundre
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pellfundval 42178 . 2 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) = inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ))
2 ssrab2 4072 . . . 4 {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† (Pell14QRβ€˜π·)
3 pell14qrre 42155 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
43ex 412 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) β†’ π‘Ž ∈ ℝ))
54ssrdv 3983 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (Pell14QRβ€˜π·) βŠ† ℝ)
62, 5sstrid 3988 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† ℝ)
7 pell1qrss14 42166 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (Pell1QRβ€˜π·) βŠ† (Pell14QRβ€˜π·))
8 pellqrex 42177 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell1QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
9 ssrexv 4046 . . . . 5 ((Pell1QRβ€˜π·) βŠ† (Pell14QRβ€˜π·) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell1QRβ€˜π·)1 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž))
107, 8, 9sylc 65 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
11 rabn0 4380 . . . 4 ({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
1210, 11sylibr 233 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ…)
13 1re 11215 . . . 4 1 ∈ ℝ
14 breq2 5145 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (1 < π‘Ž ↔ 1 < 𝑐))
1514elrab 3678 . . . . . 6 (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ↔ (𝑐 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < 𝑐))
16 pell14qrre 42155 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝑐 ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
17 ltle 11303 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (1 < 𝑐 β†’ 1 ≀ 𝑐))
1813, 16, 17sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝑐 ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ (1 < 𝑐 β†’ 1 ≀ 𝑐))
1918expimpd 453 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ ((𝑐 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < 𝑐) β†’ 1 ≀ 𝑐))
2015, 19biimtrid 241 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β†’ 1 ≀ 𝑐))
2120ralrimiv 3139 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}1 ≀ 𝑐)
22 breq1 5144 . . . . . 6 (𝑏 = 1 β†’ (𝑏 ≀ 𝑐 ↔ 1 ≀ 𝑐))
2322ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑏 = 1 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝑏 ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}1 ≀ 𝑐))
2423rspcev 3606 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}1 ≀ 𝑐) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝑏 ≀ 𝑐)
2513, 21, 24sylancr 586 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝑏 ≀ 𝑐)
26 infrecl 12197 . . 3 (({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† ℝ ∧ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝑏 ≀ 𝑐) β†’ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
276, 12, 25, 26syl3anc 1368 . 2 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
281, 27eqeltrd 2827 1 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  infcinf 9435  β„cr 11108  1c1 11110   < clt 11249   ≀ cle 11250  β„•cn 12213  β—»NNcsquarenn 42134  Pell1QRcpell1qr 42135  Pell14QRcpell14qr 42137  PellFundcpellfund 42138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16677  df-denom 16678  df-squarenn 42139  df-pell1qr 42140  df-pell14qr 42141  df-pell1234qr 42142  df-pellfund 42143
This theorem is referenced by:  pellfundgt1  42181  pellfundglb  42183  pellfundex  42184  pellfund14gap  42185  pellfundrp  42186  rmspecfund  42207
  Copyright terms: Public domain W3C validator