Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellfundre 41251
Description: The fundamental solution of a Pell equation exists as a real number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundre (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)

Proof of Theorem pellfundre
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pellfundval 41250 . 2 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) = inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ))
2 ssrab2 4041 . . . 4 {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† (Pell14QRβ€˜π·)
3 pell14qrre 41227 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
43ex 414 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) β†’ π‘Ž ∈ ℝ))
54ssrdv 3954 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (Pell14QRβ€˜π·) βŠ† ℝ)
62, 5sstrid 3959 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† ℝ)
7 pell1qrss14 41238 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (Pell1QRβ€˜π·) βŠ† (Pell14QRβ€˜π·))
8 pellqrex 41249 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell1QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
9 ssrexv 4015 . . . . 5 ((Pell1QRβ€˜π·) βŠ† (Pell14QRβ€˜π·) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell1QRβ€˜π·)1 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž))
107, 8, 9sylc 65 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
11 rabn0 4349 . . . 4 ({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
1210, 11sylibr 233 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ…)
13 1re 11163 . . . 4 1 ∈ ℝ
14 breq2 5113 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (1 < π‘Ž ↔ 1 < 𝑐))
1514elrab 3649 . . . . . 6 (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ↔ (𝑐 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < 𝑐))
16 pell14qrre 41227 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝑐 ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
17 ltle 11251 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (1 < 𝑐 β†’ 1 ≀ 𝑐))
1813, 16, 17sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝑐 ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ (1 < 𝑐 β†’ 1 ≀ 𝑐))
1918expimpd 455 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ ((𝑐 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < 𝑐) β†’ 1 ≀ 𝑐))
2015, 19biimtrid 241 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β†’ 1 ≀ 𝑐))
2120ralrimiv 3139 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}1 ≀ 𝑐)
22 breq1 5112 . . . . . 6 (𝑏 = 1 β†’ (𝑏 ≀ 𝑐 ↔ 1 ≀ 𝑐))
2322ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑏 = 1 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝑏 ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}1 ≀ 𝑐))
2423rspcev 3583 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}1 ≀ 𝑐) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝑏 ≀ 𝑐)
2513, 21, 24sylancr 588 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝑏 ≀ 𝑐)
26 infrecl 12145 . . 3 (({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† ℝ ∧ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝑏 ≀ 𝑐) β†’ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
276, 12, 25, 26syl3anc 1372 . 2 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
281, 27eqeltrd 2834 1 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  infcinf 9385  β„cr 11058  1c1 11060   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β—»NNcsquarenn 41206  Pell1QRcpell1qr 41207  Pell14QRcpell14qr 41209  PellFundcpellfund 41210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-numer 16618  df-denom 16619  df-squarenn 41211  df-pell1qr 41212  df-pell14qr 41213  df-pell1234qr 41214  df-pellfund 41215
This theorem is referenced by:  pellfundgt1  41253  pellfundglb  41255  pellfundex  41256  pellfund14gap  41257  pellfundrp  41258  rmspecfund  41279
  Copyright terms: Public domain W3C validator