Theorem rmspecfund 44182

Description: The base of exponent used to define the X and Y sequences is the fundamental solution of the corresponding Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecfund	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

Proof of Theorem rmspecfund

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmspecnonsq 44180	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2		eluzelz 13015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zsqcl 14312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5	4	zred 12843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
6		1red 11348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	resubcld 11783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
8		sq1 14378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1↑2) = 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) = 1)
10		eluz2b2 13088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
11	10	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
12		eluzelre 13016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		0le1 11879	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
15		eluzge2nn0 13059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
16	15	nn0ge0d 12710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
17	6, 12, 14, 16	lt2sqd 14441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
18	11, 17	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
19	9, 18	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
20	6, 5	posdifd 11943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
21	19, 20	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
22	7, 21	elrpd 13201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
23	22	rpsqrtcld 15623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ+)
24	23	rpred 13204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
26	25	mulridd 11365	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
27	26	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
28		pell1qrss14 44141	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
29	1, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
30		1nn0 12662	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℕ0)
32	8	oveq2i 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · 1)
33	7	recnd 11376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
34	33	mulridd 11365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · 1) = ((𝐴↑2) − 1))
35	32, 34	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = ((𝐴↑2) − 1))
36	35	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)))
37	5	recnd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
38		1cnd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
39	37, 38	nncand 11713	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)) = 1)
40	36, 39	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1)
41		pellqrexplicit 44150	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
42	1, 15, 31, 40, 41	syl31anc 1401	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
43	29, 42	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
44	27, 43	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
45	6, 24	readdcld 11377	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
46	12, 24	readdcld 11377	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
47	6, 23	ltaddrpd 13237	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
48	6, 12, 24, 11	ltadd1dd 11967	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
49	6, 45, 46, 47, 48	lttrd 11510	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
50		pellfundlb 44157	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ∧ 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
51	1, 44, 49, 50	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
52	37, 38	npcand 11712	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) + 1) = (𝐴↑2))
53	52	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = (√‘(𝐴↑2)))
54	12, 16	sqrtsqd 15631	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
55	53, 54	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = 𝐴)
56	55	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
57		pellfundge 44155	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
58	1, 57	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
59	56, 58	eqbrtrrd 5135	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
60		pellfundre 44154	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
61	1, 60	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
62	61, 46	letri3d 11491	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ↔ ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))))
63	51, 59, 62	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  2c2 12437  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ↑cexp 14244  √csqrt 15443  ◻_NNcsquarenn 44109  Pell1QRcpell1qr 44110  Pell14QRcpell14qr 44112  PellFundcpellfund 44113

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-numer 16955  df-denom 16956  df-squarenn 44114  df-pell1qr 44115  df-pell14qr 44116  df-pell1234qr 44117  df-pellfund 44118

This theorem is used by:  rmxyelqirr  44183  rmxycomplete  44190  rmbaserp  44192