rmspecfund - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem rmspecfund 41729

Description: The base of exponent used to define the X and Y sequences is the fundamental solution of the corresponding Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
rmspecfund	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

**Proof of Theorem rmspecfund**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmspecnonsq 41727	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN))
2		eluzelz 12834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zsqcl 14096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5	4	zred 12668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
6		1red 11217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	resubcld 11644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
8		sq1 14161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1↑2) = 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1↑2) = 1)
10		eluz2b2 12907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
11	10	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝐴)
12		eluzelre 12835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		0le1 11739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 ≤ 1)
15		eluzge2nn0 12873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ₀)
16	15	nn0ge0d 12537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
17	6, 12, 14, 16	lt2sqd 14221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
18	11, 17	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
19	9, 18	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
20	6, 5	posdifd 11803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
21	19, 20	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
22	7, 21	elrpd 13015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ⁺)
23	22	rpsqrtcld 15360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ⁺)
24	23	rpred 13018	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11244	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
26	25	mulridd 11233	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
27	26	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
28		pell1qrss14 41688	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
29	1, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
30		1nn0 12490	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℕ₀)
32	8	oveq2i 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · 1)
33	7	recnd 11244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
34	33	mulridd 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · 1) = ((𝐴↑2) − 1))
35	32, 34	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = ((𝐴↑2) − 1))
36	35	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)))
37	5	recnd 11244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
38		1cnd 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
39	37, 38	nncand 11578	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)) = 1)
40	36, 39	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1)
41		pellqrexplicit 41697	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
42	1, 15, 31, 40, 41	syl31anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
43	29, 42	sseldd 3983	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
44	27, 43	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
45	6, 24	readdcld 11245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
46	12, 24	readdcld 11245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
47	6, 23	ltaddrpd 13051	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
48	6, 12, 24, 11	ltadd1dd 11827	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
49	6, 45, 46, 47, 48	lttrd 11377	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
50		pellfundlb 41704	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ∧ 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
51	1, 44, 49, 50	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
52	37, 38	npcand 11577	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) + 1) = (𝐴↑2))
53	52	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = (√‘(𝐴↑2)))
54	12, 16	sqrtsqd 15368	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
55	53, 54	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = 𝐴)
56	55	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
57		pellfundge 41702	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
58	1, 57	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
59	56, 58	eqbrtrrd 5172	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
60		pellfundre 41701	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
61	1, 60	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
62	61, 46	letri3d 11358	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ↔ ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))))
63	51, 59, 62	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∖ cdif 3945 ⊆ wss 3948 class class class wbr 5148 ‘cfv 6543 (class class class)co 7411 ℝcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 < clt 11250 ≤ cle 11251 − cmin 11446 ℕcn 12214 2c2 12269 ℕ₀cn0 12474 ℤcz 12560 ℤ_≥cuz 12824 ↑cexp 14029 √csqrt 15182 ◻_NNcsquarenn 41656 Pell1QRcpell1qr 41657 Pell14QRcpell14qr 41659 PellFundcpellfund 41660

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7727 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-oadd 8472 df-omul 8473 df-er 8705 df-map 8824 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-card 9936 df-acn 9939 df-pnf 11252 df-mnf 11253 df-xr 11254 df-ltxr 11255 df-le 11256 df-sub 11448 df-neg 11449 df-div 11874 df-nn 12215 df-2 12277 df-3 12278 df-n0 12475 df-xnn0 12547 df-z 12561 df-uz 12825 df-q 12935 df-rp 12977 df-ico 13332 df-fz 13487 df-fl 13759 df-mod 13837 df-seq 13969 df-exp 14030 df-hash 14293 df-cj 15048 df-re 15049 df-im 15050 df-sqrt 15184 df-abs 15185 df-dvds 16200 df-gcd 16438 df-numer 16673 df-denom 16674 df-squarenn 41661 df-pell1qr 41662 df-pell14qr 41663 df-pell1234qr 41664 df-pellfund 41665

This theorem is referenced by: rmxyelqirr 41730 rmxyelqirrOLD 41731 rmxycomplete 41738 rmbaserp 41740

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