rmspecfund - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem rmspecfund 41632

Description: The base of exponent used to define the X and Y sequences is the fundamental solution of the corresponding Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
rmspecfund	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

**Proof of Theorem rmspecfund**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmspecnonsq 41630	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN))
2		eluzelz 12828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zsqcl 14090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5	4	zred 12662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
6		1red 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	resubcld 11638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
8		sq1 14155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1↑2) = 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1↑2) = 1)
10		eluz2b2 12901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
11	10	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝐴)
12		eluzelre 12829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		0le1 11733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 ≤ 1)
15		eluzge2nn0 12867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ₀)
16	15	nn0ge0d 12531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
17	6, 12, 14, 16	lt2sqd 14215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
18	11, 17	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
19	9, 18	eqbrtrrd 5171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
20	6, 5	posdifd 11797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
21	19, 20	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
22	7, 21	elrpd 13009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ⁺)
23	22	rpsqrtcld 15354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ⁺)
24	23	rpred 13012	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
26	25	mulridd 11227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
27	26	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
28		pell1qrss14 41591	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
29	1, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
30		1nn0 12484	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℕ₀)
32	8	oveq2i 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · 1)
33	7	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
34	33	mulridd 11227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · 1) = ((𝐴↑2) − 1))
35	32, 34	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = ((𝐴↑2) − 1))
36	35	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)))
37	5	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
38		1cnd 11205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
39	37, 38	nncand 11572	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)) = 1)
40	36, 39	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1)
41		pellqrexplicit 41600	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
42	1, 15, 31, 40, 41	syl31anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
43	29, 42	sseldd 3982	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
44	27, 43	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
45	6, 24	readdcld 11239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
46	12, 24	readdcld 11239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
47	6, 23	ltaddrpd 13045	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
48	6, 12, 24, 11	ltadd1dd 11821	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
49	6, 45, 46, 47, 48	lttrd 11371	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
50		pellfundlb 41607	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ∧ 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
51	1, 44, 49, 50	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
52	37, 38	npcand 11571	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) + 1) = (𝐴↑2))
53	52	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = (√‘(𝐴↑2)))
54	12, 16	sqrtsqd 15362	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
55	53, 54	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = 𝐴)
56	55	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
57		pellfundge 41605	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
58	1, 57	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
59	56, 58	eqbrtrrd 5171	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
60		pellfundre 41604	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
61	1, 60	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
62	61, 46	letri3d 11352	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ↔ ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))))
63	51, 59, 62	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∖ cdif 3944 ⊆ wss 3947 class class class wbr 5147 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 < clt 11244 ≤ cle 11245 − cmin 11440 ℕcn 12208 2c2 12263 ℕ₀cn0 12468 ℤcz 12554 ℤ_≥cuz 12818 ↑cexp 14023 √csqrt 15176 ◻_NNcsquarenn 41559 Pell1QRcpell1qr 41560 Pell14QRcpell14qr 41562 PellFundcpellfund 41563

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-oadd 8466 df-omul 8467 df-er 8699 df-map 8818 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-card 9930 df-acn 9933 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-n0 12469 df-xnn0 12541 df-z 12555 df-uz 12819 df-q 12929 df-rp 12971 df-ico 13326 df-fz 13481 df-fl 13753 df-mod 13831 df-seq 13963 df-exp 14024 df-hash 14287 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 df-dvds 16194 df-gcd 16432 df-numer 16667 df-denom 16668 df-squarenn 41564 df-pell1qr 41565 df-pell14qr 41566 df-pell1234qr 41567 df-pellfund 41568

This theorem is referenced by: rmxyelqirr 41633 rmxyelqirrOLD 41634 rmxycomplete 41641 rmbaserp 41643

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