Theorem rmspecfund 41218

Description: The base of exponent used to define the X and Y sequences is the fundamental solution of the corresponding Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecfund	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

Proof of Theorem rmspecfund

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmspecnonsq 41216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2		eluzelz 12773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zsqcl 14034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5	4	zred 12607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
6		1red 11156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	resubcld 11583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
8		sq1 14099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1↑2) = 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) = 1)
10		eluz2b2 12846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
11	10	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
12		eluzelre 12774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		0le1 11678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
15		eluzge2nn0 12812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
16	15	nn0ge0d 12476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
17	6, 12, 14, 16	lt2sqd 14159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
18	11, 17	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
19	9, 18	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
20	6, 5	posdifd 11742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
21	19, 20	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
22	7, 21	elrpd 12954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
23	22	rpsqrtcld 15296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ+)
24	23	rpred 12957	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
26	25	mulid1d 11172	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
27	26	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
28		pell1qrss14 41177	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
29	1, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
30		1nn0 12429	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℕ0)
32	8	oveq2i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · 1)
33	7	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
34	33	mulid1d 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · 1) = ((𝐴↑2) − 1))
35	32, 34	eqtrid 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = ((𝐴↑2) − 1))
36	35	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)))
37	5	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
38		1cnd 11150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
39	37, 38	nncand 11517	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)) = 1)
40	36, 39	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1)
41		pellqrexplicit 41186	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
42	1, 15, 31, 40, 41	syl31anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
43	29, 42	sseldd 3945	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
44	27, 43	eqeltrrd 2839	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
45	6, 24	readdcld 11184	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
46	12, 24	readdcld 11184	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
47	6, 23	ltaddrpd 12990	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
48	6, 12, 24, 11	ltadd1dd 11766	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
49	6, 45, 46, 47, 48	lttrd 11316	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
50		pellfundlb 41193	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ∧ 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
51	1, 44, 49, 50	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
52	37, 38	npcand 11516	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) + 1) = (𝐴↑2))
53	52	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = (√‘(𝐴↑2)))
54	12, 16	sqrtsqd 15304	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
55	53, 54	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = 𝐴)
56	55	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
57		pellfundge 41191	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
58	1, 57	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
59	56, 58	eqbrtrrd 5129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
60		pellfundre 41190	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
61	1, 60	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
62	61, 46	letri3d 11297	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ↔ ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))))
63	51, 59, 62	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ↑cexp 13967  √csqrt 15118  ◻_NNcsquarenn 41145  Pell1QRcpell1qr 41146  Pell14QRcpell14qr 41148  PellFundcpellfund 41149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-numer 16610  df-denom 16611  df-squarenn 41150  df-pell1qr 41151  df-pell14qr 41152  df-pell1234qr 41153  df-pellfund 41154

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