Theorem rmspecfund 43694

Description: The base of exponent used to define the X and Y sequences is the fundamental solution of the corresponding Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecfund	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

Proof of Theorem rmspecfund

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmspecnonsq 43692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2		eluzelz 12888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zsqcl 14183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5	4	zred 12716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
6		1red 11224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	resubcld 11657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
8		sq1 14249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1↑2) = 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) = 1)
10		eluz2b2 12961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
11	10	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
12		eluzelre 12889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		0le1 11752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
15		eluzge2nn0 12932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
16	15	nn0ge0d 12583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
17	6, 12, 14, 16	lt2sqd 14310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
18	11, 17	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
19	9, 18	eqbrtrrd 5137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
20	6, 5	posdifd 11816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
21	19, 20	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
22	7, 21	elrpd 13073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
23	22	rpsqrtcld 15487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ+)
24	23	rpred 13076	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11252	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
26	25	mulridd 11241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
27	26	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
28		pell1qrss14 43653	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
29	1, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
30		1nn0 12535	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℕ0)
32	8	oveq2i 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · 1)
33	7	recnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
34	33	mulridd 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · 1) = ((𝐴↑2) − 1))
35	32, 34	eqtrid 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = ((𝐴↑2) − 1))
36	35	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)))
37	5	recnd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
38		1cnd 11217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
39	37, 38	nncand 11589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)) = 1)
40	36, 39	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1)
41		pellqrexplicit 43662	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
42	1, 15, 31, 40, 41	syl31anc 1400	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
43	29, 42	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
44	27, 43	eqeltrrd 2866	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
45	6, 24	readdcld 11253	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
46	12, 24	readdcld 11253	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
47	6, 23	ltaddrpd 13109	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
48	6, 12, 24, 11	ltadd1dd 11840	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
49	6, 45, 46, 47, 48	lttrd 11386	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
50		pellfundlb 43669	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ∧ 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
51	1, 44, 49, 50	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
52	37, 38	npcand 11588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) + 1) = (𝐴↑2))
53	52	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = (√‘(𝐴↑2)))
54	12, 16	sqrtsqd 15495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
55	53, 54	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = 𝐴)
56	55	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
57		pellfundge 43667	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
58	1, 57	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
59	56, 58	eqbrtrrd 5137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
60		pellfundre 43666	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
61	1, 60	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
62	61, 46	letri3d 11367	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ↔ ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))))
63	51, 59, 62	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120   < clt 11258   ≤ cle 11259   − cmin 11456  ℕcn 12248  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ↑cexp 14115  √csqrt 15308  ◻_NNcsquarenn 43621  Pell1QRcpell1qr 43622  Pell14QRcpell14qr 43624  PellFundcpellfund 43625

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-ico 13394  df-fz 13552  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-gcd 16575  df-numer 16816  df-denom 16817  df-squarenn 43626  df-pell1qr 43627  df-pell14qr 43628  df-pell1234qr 43629  df-pellfund 43630

This theorem is used by:  rmxyelqirr  43695  rmxycomplete  43702  rmbaserp  43704