Proof of Theorem rmspecfund
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | rmspecnonsq 42918 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖
◻NN)) |
| 2 | | eluzelz 12888 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ) |
| 3 | | zsqcl 14169 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈
ℤ) |
| 4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ) |
| 5 | 4 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ) |
| 6 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ) |
| 7 | 5, 6 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈
ℝ) |
| 8 | | sq1 14234 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(1↑2) = 1 |
| 9 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (1↑2) = 1) |
| 10 | | eluz2b2 12963 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴)) |
| 11 | 10 | simprbi 496 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴) |
| 12 | | eluzelre 12889 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 13 | | 0le1 11786 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 ≤
1 |
| 14 | 13 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1) |
| 15 | | eluzge2nn0 12929 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈
ℕ0) |
| 16 | 15 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴) |
| 17 | 6, 12, 14, 16 | lt2sqd 14295 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2))) |
| 18 | 11, 17 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2)) |
| 19 | 9, 18 | eqbrtrrd 5167 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2)) |
| 20 | 6, 5 | posdifd 11850 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1))) |
| 21 | 19, 20 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1)) |
| 22 | 7, 21 | elrpd 13074 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈
ℝ+) |
| 23 | 22 | rpsqrtcld 15450 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈
ℝ+) |
| 24 | 23 | rpred 13077 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈
ℝ) |
| 25 | 24 | recnd 11289 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈
ℂ) |
| 26 | 25 | mulridd 11278 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1) =
(√‘((𝐴↑2)
− 1))) |
| 27 | 26 | oveq2d 7447 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) −
1)))) |
| 28 | | pell1qrss14 42879 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈
(ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆
(Pell14QR‘((𝐴↑2)
− 1))) |
| 29 | 1, 28 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆
(Pell14QR‘((𝐴↑2)
− 1))) |
| 30 | | 1nn0 12542 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
| 31 | 30 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 ∈
ℕ0) |
| 32 | 8 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴↑2) − 1) ·
(1↑2)) = (((𝐴↑2)
− 1) · 1) |
| 33 | 7 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈
ℂ) |
| 34 | 33 | mulridd 11278 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · 1) = ((𝐴↑2) −
1)) |
| 35 | 32, 34 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) =
((𝐴↑2) −
1)) |
| 36 | 35 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) =
((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) −
1))) |
| 37 | 5 | recnd 11289 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ) |
| 38 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ) |
| 39 | 37, 38 | nncand 11625 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)) = 1) |
| 40 | 36, 39 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) =
1) |
| 41 | | pellqrexplicit 42888 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝐴↑2)
− 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0
∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) =
1) → (𝐴 +
((√‘((𝐴↑2)
− 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1))) |
| 42 | 1, 15, 31, 40, 41 | syl31anc 1375 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈
(Pell1QR‘((𝐴↑2)
− 1))) |
| 43 | 29, 42 | sseldd 3984 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈
(Pell14QR‘((𝐴↑2)
− 1))) |
| 44 | 27, 43 | eqeltrrd 2842 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈
(Pell14QR‘((𝐴↑2)
− 1))) |
| 45 | 6, 24 | readdcld 11290 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈
ℝ) |
| 46 | 12, 24 | readdcld 11290 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈
ℝ) |
| 47 | 6, 23 | ltaddrpd 13110 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 < (1 + (√‘((𝐴↑2) −
1)))) |
| 48 | 6, 12, 24, 11 | ltadd1dd 11874 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) −
1)))) |
| 49 | 6, 45, 46, 47, 48 | lttrd 11422 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))) |
| 50 | | pellfundlb 42895 |
. . 3
⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈
(ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈
(Pell14QR‘((𝐴↑2)
− 1)) ∧ 1 < (𝐴
+ (√‘((𝐴↑2) − 1)))) →
(PellFund‘((𝐴↑2)
− 1)) ≤ (𝐴 +
(√‘((𝐴↑2)
− 1)))) |
| 51 | 1, 44, 49, 50 | syl3anc 1373 |
. 2
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))) |
| 52 | 37, 38 | npcand 11624 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) + 1) = (𝐴↑2)) |
| 53 | 52 | fveq2d 6910 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) =
(√‘(𝐴↑2))) |
| 54 | 12, 16 | sqrtsqd 15458 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴) |
| 55 | 53, 54 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = 𝐴) |
| 56 | 55 | oveq1d 7446 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) +
(√‘((𝐴↑2)
− 1))) = (𝐴 +
(√‘((𝐴↑2)
− 1)))) |
| 57 | | pellfundge 42893 |
. . . 4
⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈
(ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) +
(√‘((𝐴↑2)
− 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1))) |
| 58 | 1, 57 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) +
(√‘((𝐴↑2)
− 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1))) |
| 59 | 56, 58 | eqbrtrrd 5167 |
. 2
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤
(PellFund‘((𝐴↑2)
− 1))) |
| 60 | | pellfundre 42892 |
. . . 4
⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈
(ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈
ℝ) |
| 61 | 1, 60 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈
ℝ) |
| 62 | 61, 46 | letri3d 11403 |
. 2
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ↔
((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤
(PellFund‘((𝐴↑2)
− 1))))) |
| 63 | 51, 59, 62 | mpbir2and 713 |
1
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))) |