rmspecfund - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem rmspecfund 41950

Description: The base of exponent used to define the X and Y sequences is the fundamental solution of the corresponding Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
rmspecfund	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

**Proof of Theorem rmspecfund**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmspecnonsq 41948	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN))
2		eluzelz 12837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zsqcl 14099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5	4	zred 12671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
6		1red 11220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	resubcld 11647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
8		sq1 14164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1↑2) = 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1↑2) = 1)
10		eluz2b2 12910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
11	10	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝐴)
12		eluzelre 12838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		0le1 11742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 ≤ 1)
15		eluzge2nn0 12876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ₀)
16	15	nn0ge0d 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
17	6, 12, 14, 16	lt2sqd 14224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
18	11, 17	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
19	9, 18	eqbrtrrd 5173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
20	6, 5	posdifd 11806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
21	19, 20	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
22	7, 21	elrpd 13018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ⁺)
23	22	rpsqrtcld 15363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ⁺)
24	23	rpred 13021	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
26	25	mulridd 11236	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
27	26	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
28		pell1qrss14 41909	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
29	1, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
30		1nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℕ₀)
32	8	oveq2i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · 1)
33	7	recnd 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
34	33	mulridd 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · 1) = ((𝐴↑2) − 1))
35	32, 34	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = ((𝐴↑2) − 1))
36	35	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)))
37	5	recnd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
38		1cnd 11214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
39	37, 38	nncand 11581	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)) = 1)
40	36, 39	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1)
41		pellqrexplicit 41918	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
42	1, 15, 31, 40, 41	syl31anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
43	29, 42	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
44	27, 43	eqeltrrd 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
45	6, 24	readdcld 11248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
46	12, 24	readdcld 11248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
47	6, 23	ltaddrpd 13054	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
48	6, 12, 24, 11	ltadd1dd 11830	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
49	6, 45, 46, 47, 48	lttrd 11380	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
50		pellfundlb 41925	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ∧ 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
51	1, 44, 49, 50	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
52	37, 38	npcand 11580	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝐴↑2) − 1) + 1) = (𝐴↑2))
53	52	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = (√‘(𝐴↑2)))
54	12, 16	sqrtsqd 15371	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
55	53, 54	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = 𝐴)
56	55	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
57		pellfundge 41923	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
58	1, 57	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
59	56, 58	eqbrtrrd 5173	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
60		pellfundre 41922	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
61	1, 60	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
62	61, 46	letri3d 11361	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ↔ ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))))
63	51, 59, 62	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1540 ∈ wcel 2105 ∖ cdif 3946 ⊆ wss 3949 class class class wbr 5149 ‘cfv 6544 (class class class)co 7412 ℝcr 11112 0cc0 11113 1c1 11114 + caddc 11116 · cmul 11118 < clt 11253 ≤ cle 11254 − cmin 11449 ℕcn 12217 2c2 12272 ℕ₀cn0 12477 ℤcz 12563 ℤ_≥cuz 12827 ↑cexp 14032 √csqrt 15185 ◻_NNcsquarenn 41877 Pell1QRcpell1qr 41878 Pell14QRcpell14qr 41880 PellFundcpellfund 41881

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7728 ax-inf2 9639 ax-cnex 11169 ax-resscn 11170 ax-1cn 11171 ax-icn 11172 ax-addcl 11173 ax-addrcl 11174 ax-mulcl 11175 ax-mulrcl 11176 ax-mulcom 11177 ax-addass 11178 ax-mulass 11179 ax-distr 11180 ax-i2m1 11181 ax-1ne0 11182 ax-1rid 11183 ax-rnegex 11184 ax-rrecex 11185 ax-cnre 11186 ax-pre-lttri 11187 ax-pre-lttrn 11188 ax-pre-ltadd 11189 ax-pre-mulgt0 11190 ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-int 4952 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-se 5633 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-isom 6553 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7859 df-1st 7978 df-2nd 7979 df-frecs 8269 df-wrecs 8300 df-recs 8374 df-rdg 8413 df-1o 8469 df-oadd 8473 df-omul 8474 df-er 8706 df-map 8825 df-en 8943 df-dom 8944 df-sdom 8945 df-fin 8946 df-sup 9440 df-inf 9441 df-oi 9508 df-card 9937 df-acn 9940 df-pnf 11255 df-mnf 11256 df-xr 11257 df-ltxr 11258 df-le 11259 df-sub 11451 df-neg 11452 df-div 11877 df-nn 12218 df-2 12280 df-3 12281 df-n0 12478 df-xnn0 12550 df-z 12564 df-uz 12828 df-q 12938 df-rp 12980 df-ico 13335 df-fz 13490 df-fl 13762 df-mod 13840 df-seq 13972 df-exp 14033 df-hash 14296 df-cj 15051 df-re 15052 df-im 15053 df-sqrt 15187 df-abs 15188 df-dvds 16203 df-gcd 16441 df-numer 16676 df-denom 16677 df-squarenn 41882 df-pell1qr 41883 df-pell14qr 41884 df-pell1234qr 41885 df-pellfund 41886

This theorem is referenced by: rmxyelqirr 41951 rmxyelqirrOLD 41952 rmxycomplete 41959 rmbaserp 41961

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