Theorem aacjcl 25468

Description: The conjugate of an algebraic number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
aacjcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (∗‘𝐴) ∈ 𝔸)

Proof of Theorem aacjcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 14797	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3		fveq2 6768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓‘𝐴) = 0 → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = (∗‘0))
4		cj0 14850	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘0) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓‘𝐴) = 0 → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = 0)
6		difss 4070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ (Poly‘ℤ)
7		zssre 12309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
8		ax-resscn 10912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9		plyss 25341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
10	7, 8, 9	mp2an 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
11	6, 10	sstri 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ (Poly‘ℝ)
12	11	sseli 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑓 ∈ (Poly‘ℝ))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		plyrecj 25421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = (𝑓‘(∗‘𝐴)))
15	12, 13, 14	syl2anr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = (𝑓‘(∗‘𝐴)))
16	15	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
17	5, 16	syl5ib 243	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑓‘𝐴) = 0 → (𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
18	17	reximdva 3204	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
19	18	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0)
20	2, 19	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
21		elaa 25457	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
22		elaa 25457	. 2 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ 𝔸 ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
23	20, 21, 22	3imtr4i 291	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (∗‘𝐴) ∈ 𝔸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3066   ∖ cdif 3888   ⊆ wss 3891  {csn 4566  ‘cfv 6430  ℂcc 10853  ℝcr 10854  0cc0 10855  ℤcz 12302  ∗ccj 14788  0_𝑝c0p 24814  Polycply 25326  𝔸caa 25455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-sum 15379  df-0p 24815  df-ply 25330  df-coe 25332  df-dgr 25333  df-aa 25456

This theorem is referenced by: (None)