Theorem aacjcl 26179

Description: The conjugate of an algebraic number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
aacjcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (∗‘𝐴) ∈ 𝔸)

Proof of Theorem aacjcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 15059	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓‘𝐴) = 0 → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = (∗‘0))
4		cj0 15112	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘0) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓‘𝐴) = 0 → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = 0)
6		difss 4131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ (Poly‘ℤ)
7		zssre 12572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
8		ax-resscn 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9		plyss 26051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
10	7, 8, 9	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
11	6, 10	sstri 3991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ (Poly‘ℝ)
12	11	sseli 3978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑓 ∈ (Poly‘ℝ))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		plyrecj 26132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = (𝑓‘(∗‘𝐴)))
15	12, 13, 14	syl2anr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = (𝑓‘(∗‘𝐴)))
16	15	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
17	5, 16	imbitrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑓‘𝐴) = 0 → (𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
18	17	reximdva 3167	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
19	18	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0)
20	2, 19	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
21		elaa 26168	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
22		elaa 26168	. 2 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ 𝔸 ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
23	20, 21, 22	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (∗‘𝐴) ∈ 𝔸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ‘cfv 6543  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116  ℤcz 12565  ∗ccj 15050  0_𝑝c0p 25518  Polycply 26036  𝔸caa 26166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-0p 25519  df-ply 26040  df-coe 26042  df-dgr 26043  df-aa 26167

This theorem is referenced by: (None)