Theorem aacjcl 26391

Description: The conjugate of an algebraic number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
aacjcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (∗‘𝐴) ∈ 𝔸)

Proof of Theorem aacjcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 15132	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3		fveq2 6867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓‘𝐴) = 0 → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = (∗‘0))
4		cj0 15185	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘0) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓‘𝐴) = 0 → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = 0)
6		difss 4089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ (Poly‘ℤ)
7		zssre 12575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
8		ax-resscn 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9		plyss 26259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
10	7, 8, 9	mp2an 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
11	6, 10	sstri 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ (Poly‘ℝ)
12	11	sseli 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑓 ∈ (Poly‘ℝ))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		plyrecj 26341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = (𝑓‘(∗‘𝐴)))
15	12, 13, 14	syl2anr 606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = (𝑓‘(∗‘𝐴)))
16	15	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
17	5, 16	imbitrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑓‘𝐴) = 0 → (𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
18	17	reximdva 3175	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
19	18	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0)
20	2, 19	jca 519	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
21		elaa 26380	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
22		elaa 26380	. 2 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ 𝔸 ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
23	20, 21, 22	3imtr4i 294	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (∗‘𝐴) ∈ 𝔸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4582  ‘cfv 6521  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  ℤcz 12568  ∗ccj 15123  0_𝑝c0p 25731  Polycply 26244  𝔸caa 26378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-0p 25732  df-ply 26248  df-coe 26250  df-dgr 26251  df-aa 26379

This theorem is referenced by: (None)