Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aacjcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aacjcl 25022
 Description: The conjugate of an algebraic number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
aacjcl (𝐴 ∈ 𝔸 → (∗‘𝐴) ∈ 𝔸)

Proof of Theorem aacjcl
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjcl 14512 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
21adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3 fveq2 6658 . . . . . . 7 ((𝑓𝐴) = 0 → (∗‘(𝑓𝐴)) = (∗‘0))
4 cj0 14565 . . . . . . 7 (∗‘0) = 0
53, 4eqtrdi 2809 . . . . . 6 ((𝑓𝐴) = 0 → (∗‘(𝑓𝐴)) = 0)
6 difss 4037 . . . . . . . . . 10 ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ (Poly‘ℤ)
7 zssre 12027 . . . . . . . . . . 11 ℤ ⊆ ℝ
8 ax-resscn 10632 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
9 plyss 24895 . . . . . . . . . . 11 ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
107, 8, 9mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
116, 10sstri 3901 . . . . . . . . 9 ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ (Poly‘ℝ)
1211sseli 3888 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑓 ∈ (Poly‘ℝ))
13 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
14 plyrecj 24975 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑓𝐴)) = (𝑓‘(∗‘𝐴)))
1512, 13, 14syl2anr 599 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})) → (∗‘(𝑓𝐴)) = (𝑓‘(∗‘𝐴)))
1615eqeq1d 2760 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})) → ((∗‘(𝑓𝐴)) = 0 ↔ (𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
175, 16syl5ib 247 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑓𝐴) = 0 → (𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
1817reximdva 3198 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
1918imp 410 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0)
202, 19jca 515 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0) → ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
21 elaa 25011 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
22 elaa 25011 . 2 ((∗‘𝐴) ∈ 𝔸 ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘(∗‘𝐴)) = 0))
2320, 21, 223imtr4i 295 1 (𝐴 ∈ 𝔸 → (∗‘𝐴) ∈ 𝔸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3855   ⊆ wss 3858  {csn 4522  ‘cfv 6335  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  ℤcz 12020  ∗ccj 14503  0𝑝c0p 24369  Polycply 24880  𝔸caa 25009 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-0p 24370  df-ply 24884  df-coe 24886  df-dgr 24887  df-aa 25010 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator