Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrplycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsrplycl 42656
Description: Polynomials are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrplycl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
cnsrplycl.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜πΆ))
cnsrplycl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrplycl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cnsrplycl (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrplycl
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrplycl.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝑆)
2 cnsrplycl.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
3 cnfldbas 21287 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
43subrgss 20515 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
52, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 plyss 26151 . . . . 5 ((𝐢 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (Polyβ€˜πΆ) βŠ† (Polyβ€˜π‘†))
71, 5, 6syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Polyβ€˜πΆ) βŠ† (Polyβ€˜π‘†))
8 cnsrplycl.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜πΆ))
97, 8sseldd 3973 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
10 cnsrplycl.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
115, 10sseldd 3973 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
12 eqid 2725 . . . 4 (coeffβ€˜π‘ƒ) = (coeffβ€˜π‘ƒ)
13 eqid 2725 . . . 4 (degβ€˜π‘ƒ) = (degβ€˜π‘ƒ)
1412, 13coeid2 26191 . . 3 ((𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))(((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
159, 11, 14syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))(((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
16 fzfid 13970 . . 3 (πœ‘ β†’ (0...(degβ€˜π‘ƒ)) ∈ Fin)
172adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
18 subrgsubg 20520 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
19 cnfld0 21324 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
2019subg0cl 19093 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 0 ∈ 𝑆)
212, 18, 203syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑆)
2212coef2 26183 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 0 ∈ 𝑆) β†’ (coeffβ€˜π‘ƒ):β„•0βŸΆπ‘†)
239, 21, 22syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜π‘ƒ):β„•0βŸΆπ‘†)
2423adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ (coeffβ€˜π‘ƒ):β„•0βŸΆπ‘†)
25 elfznn0 13626 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2625adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2724, 26ffvelcdmd 7090 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
2810adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
2917, 28, 26cnsrexpcl 42654 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) ∈ 𝑆)
30 cnfldmul 21291 . . . . 5 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3130subrgmcl 20527 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) ∈ 𝑆 ∧ (π‘‹β†‘π‘˜) ∈ 𝑆) β†’ (((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) ∈ 𝑆)
3217, 27, 29, 31syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ (((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) ∈ 𝑆)
332, 16, 32fsumcnsrcl 42655 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))(((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) ∈ 𝑆)
3415, 33eqeltrd 2825 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3939  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  0cc0 11138   Β· cmul 11143  β„•0cn0 12502  ...cfz 13516  β†‘cexp 14058  Ξ£csu 15664  SubGrpcsubg 19079  SubRingcsubrg 20510  β„‚fldccnfld 21283  Polycply 26136  coeffccoe 26138  degcdgr 26139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-cnfld 21284  df-0p 25617  df-ply 26140  df-coe 26142  df-dgr 26143
This theorem is referenced by:  rngunsnply  42662
  Copyright terms: Public domain W3C validator