Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrplycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsrplycl 41909
Description: Polynomials are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrplycl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
cnsrplycl.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜πΆ))
cnsrplycl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrplycl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cnsrplycl (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrplycl
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrplycl.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝑆)
2 cnsrplycl.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
3 cnfldbas 20948 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
43subrgss 20320 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
52, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 plyss 25713 . . . . 5 ((𝐢 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (Polyβ€˜πΆ) βŠ† (Polyβ€˜π‘†))
71, 5, 6syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Polyβ€˜πΆ) βŠ† (Polyβ€˜π‘†))
8 cnsrplycl.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜πΆ))
97, 8sseldd 3984 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
10 cnsrplycl.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
115, 10sseldd 3984 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
12 eqid 2733 . . . 4 (coeffβ€˜π‘ƒ) = (coeffβ€˜π‘ƒ)
13 eqid 2733 . . . 4 (degβ€˜π‘ƒ) = (degβ€˜π‘ƒ)
1412, 13coeid2 25753 . . 3 ((𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))(((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
159, 11, 14syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))(((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
16 fzfid 13938 . . 3 (πœ‘ β†’ (0...(degβ€˜π‘ƒ)) ∈ Fin)
172adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
18 subrgsubg 20325 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
19 cnfld0 20969 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
2019subg0cl 19014 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 0 ∈ 𝑆)
212, 18, 203syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑆)
2212coef2 25745 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 0 ∈ 𝑆) β†’ (coeffβ€˜π‘ƒ):β„•0βŸΆπ‘†)
239, 21, 22syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜π‘ƒ):β„•0βŸΆπ‘†)
2423adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ (coeffβ€˜π‘ƒ):β„•0βŸΆπ‘†)
25 elfznn0 13594 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2625adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2724, 26ffvelcdmd 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
2810adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
2917, 28, 26cnsrexpcl 41907 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) ∈ 𝑆)
30 cnfldmul 20950 . . . . 5 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3130subrgmcl 20331 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) ∈ 𝑆 ∧ (π‘‹β†‘π‘˜) ∈ 𝑆) β†’ (((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) ∈ 𝑆)
3217, 27, 29, 31syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ (((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) ∈ 𝑆)
332, 16, 32fsumcnsrcl 41908 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))(((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) ∈ 𝑆)
3415, 33eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110   Β· cmul 11115  β„•0cn0 12472  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632  SubGrpcsubg 19000  SubRingcsubrg 20315  β„‚fldccnfld 20944  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-cnfld 20945  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  rngunsnply  41915
  Copyright terms: Public domain W3C validator