Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrplycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsrplycl 42487
Description: Polynomials are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrplycl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
cnsrplycl.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜πΆ))
cnsrplycl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrplycl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cnsrplycl (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrplycl
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrplycl.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝑆)
2 cnsrplycl.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
3 cnfldbas 21244 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
43subrgss 20474 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
52, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 plyss 26088 . . . . 5 ((𝐢 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (Polyβ€˜πΆ) βŠ† (Polyβ€˜π‘†))
71, 5, 6syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Polyβ€˜πΆ) βŠ† (Polyβ€˜π‘†))
8 cnsrplycl.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜πΆ))
97, 8sseldd 3978 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
10 cnsrplycl.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
115, 10sseldd 3978 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
12 eqid 2726 . . . 4 (coeffβ€˜π‘ƒ) = (coeffβ€˜π‘ƒ)
13 eqid 2726 . . . 4 (degβ€˜π‘ƒ) = (degβ€˜π‘ƒ)
1412, 13coeid2 26128 . . 3 ((𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))(((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
159, 11, 14syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))(((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
16 fzfid 13944 . . 3 (πœ‘ β†’ (0...(degβ€˜π‘ƒ)) ∈ Fin)
172adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
18 subrgsubg 20479 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
19 cnfld0 21281 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
2019subg0cl 19061 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 0 ∈ 𝑆)
212, 18, 203syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑆)
2212coef2 26120 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 0 ∈ 𝑆) β†’ (coeffβ€˜π‘ƒ):β„•0βŸΆπ‘†)
239, 21, 22syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜π‘ƒ):β„•0βŸΆπ‘†)
2423adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ (coeffβ€˜π‘ƒ):β„•0βŸΆπ‘†)
25 elfznn0 13600 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2625adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2724, 26ffvelcdmd 7081 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
2810adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
2917, 28, 26cnsrexpcl 42485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) ∈ 𝑆)
30 cnfldmul 21248 . . . . 5 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3130subrgmcl 20486 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) ∈ 𝑆 ∧ (π‘‹β†‘π‘˜) ∈ 𝑆) β†’ (((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) ∈ 𝑆)
3217, 27, 29, 31syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))) β†’ (((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) ∈ 𝑆)
332, 16, 32fsumcnsrcl 42486 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜π‘ƒ))(((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) ∈ 𝑆)
3415, 33eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112   Β· cmul 11117  β„•0cn0 12476  ...cfz 13490  β†‘cexp 14032  Ξ£csu 15638  SubGrpcsubg 19047  SubRingcsubrg 20469  β„‚fldccnfld 21240  Polycply 26073  coeffccoe 26075  degcdgr 26076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-cnfld 21241  df-0p 25554  df-ply 26077  df-coe 26079  df-dgr 26080
This theorem is referenced by:  rngunsnply  42493
  Copyright terms: Public domain W3C validator