Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrplycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsrplycl 43179
Description: Polynomials are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrplycl.s (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrplycl.p (𝜑𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
cnsrplycl.x (𝜑𝑋𝑆)
cnsrplycl.c (𝜑𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
cnsrplycl (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrplycl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrplycl.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑆)
2 cnsrplycl.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
3 cnfldbas 21368 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
43subrgss 20572 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 plyss 26238 . . . . 5 ((𝐶𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
71, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
8 cnsrplycl.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
97, 8sseldd 3984 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (Poly‘𝑆))
10 cnsrplycl.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
115, 10sseldd 3984 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
12 eqid 2737 . . . 4 (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
13 eqid 2737 . . . 4 (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
1412, 13coeid2 26278 . . 3 ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑃𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
159, 11, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑃𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
16 fzfid 14014 . . 3 (𝜑 → (0...(deg‘𝑃)) ∈ Fin)
172adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
18 subrgsubg 20577 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
19 cnfld0 21405 . . . . . . . . 9 0 = (0g‘ℂfld)
2019subg0cl 19152 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
212, 18, 203syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
2212coef2 26270 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → (coeff‘𝑃):ℕ0𝑆)
239, 21, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (coeff‘𝑃):ℕ0𝑆)
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (coeff‘𝑃):ℕ0𝑆)
25 elfznn0 13660 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2625adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2724, 26ffvelcdmd 7105 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆)
2810adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑋𝑆)
2917, 28, 26cnsrexpcl 43177 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (𝑋𝑘) ∈ 𝑆)
30 cnfldmul 21372 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
3130subrgmcl 20584 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∧ (𝑋𝑘) ∈ 𝑆) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) ∈ 𝑆)
3217, 27, 29, 31syl3anc 1373 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) ∈ 𝑆)
332, 16, 32fsumcnsrcl 43178 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) ∈ 𝑆)
3415, 33eqeltrd 2841 1 (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160  0cn0 12526  ...cfz 13547  cexp 14102  Σcsu 15722  SubGrpcsubg 19138  SubRingcsubrg 20569  fldccnfld 21364  Polycply 26223  coeffccoe 26225  degcdgr 26226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365  df-0p 25705  df-ply 26227  df-coe 26229  df-dgr 26230
This theorem is referenced by:  rngunsnply  43181
  Copyright terms: Public domain W3C validator