Theorem cnsrplycl 43842

Description: Polynomials are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsrplycl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrplycl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
cnsrplycl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrplycl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cnsrplycl	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrplycl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsrplycl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑆)
2		cnsrplycl.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
3		cnfldbas 21505	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	3	subrgss 20656	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		plyss 26335	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
7	1, 5, 6	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
8		cnsrplycl.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
9	7, 8	sseldd 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Poly‘𝑆))
10		cnsrplycl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
11	5, 10	sseldd 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
14	12, 13	coeid2 26375	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑃‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
15	9, 11, 14	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
16		fzfid 14008	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...(deg‘𝑃)) ∈ Fin)
17	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
18		subrgsubg 20661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
19		cnfld0 21525	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
20	19	subg0cl 19199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
21	2, 18, 20	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
22	12	coef2 26367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → (coeff‘𝑃):ℕ0⟶𝑆)
23	9, 21, 22	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝑃):ℕ0⟶𝑆)
24	23	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (coeff‘𝑃):ℕ0⟶𝑆)
25		elfznn0 13647	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	24, 26	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆)
28	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑋 ∈ 𝑆)
29	17, 28, 26	cnsrexpcl 43840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (𝑋↑𝑘) ∈ 𝑆)
30		cnfldmul 21509	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	30	subrgmcl 20668	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∧ (𝑋↑𝑘) ∈ 𝑆) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ 𝑆)
32	17, 27, 29, 31	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ 𝑆)
33	2, 16, 32	fsumcnsrcl 43841	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ 𝑆)
34	15, 33	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  0cc0 11099   · cmul 11104  ℕ₀cn0 12503  ...cfz 13534  ↑cexp 14096  Σcsu 15736  SubGrpcsubg 19185  SubRingcsubrg 20653  ℂ_fldccnfld 21501  Polycply 26320  coeffccoe 26322  degcdgr 26323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-subg 19188  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-cnfld 21502  df-0p 25808  df-ply 26324  df-coe 26326  df-dgr 26327

This theorem is referenced by:  rngunsnply  43844