Theorem cnsrplycl 43583

Description: Polynomials are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsrplycl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrplycl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
cnsrplycl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrplycl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cnsrplycl	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrplycl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsrplycl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑆)
2		cnsrplycl.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
3		cnfldbas 21345	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	3	subrgss 20538	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		plyss 26152	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
7	1, 5, 6	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
8		cnsrplycl.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
9	7, 8	sseldd 3918	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Poly‘𝑆))
10		cnsrplycl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
11	5, 10	sseldd 3918	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
12		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
13		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
14	12, 13	coeid2 26192	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑃‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
15	9, 11, 14	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
16		fzfid 13924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...(deg‘𝑃)) ∈ Fin)
17	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
18		subrgsubg 20543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
19		cnfld0 21365	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
20	19	subg0cl 19099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
21	2, 18, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
22	12	coef2 26184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → (coeff‘𝑃):ℕ0⟶𝑆)
23	9, 21, 22	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝑃):ℕ0⟶𝑆)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (coeff‘𝑃):ℕ0⟶𝑆)
25		elfznn0 13563	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	24, 26	ffvelcdmd 7026	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆)
28	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑋 ∈ 𝑆)
29	17, 28, 26	cnsrexpcl 43581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (𝑋↑𝑘) ∈ 𝑆)
30		cnfldmul 21349	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	30	subrgmcl 20550	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∧ (𝑋↑𝑘) ∈ 𝑆) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ 𝑆)
32	17, 27, 29, 31	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ 𝑆)
33	2, 16, 32	fsumcnsrcl 43582	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ 𝑆)
34	15, 33	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3885  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  0cc0 11027   · cmul 11032  ℕ₀cn0 12426  ...cfz 13450  ↑cexp 14012  Σcsu 15637  SubGrpcsubg 19085  SubRingcsubrg 20535  ℂ_fldccnfld 21341  Polycply 26137  coeffccoe 26139  degcdgr 26140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19088  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-cnfld 21342  df-0p 25625  df-ply 26141  df-coe 26143  df-dgr 26144

This theorem is referenced by:  rngunsnply  43585