Theorem cnsrplycl 44112

Description: Polynomials are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsrplycl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrplycl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
cnsrplycl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrplycl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cnsrplycl	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrplycl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsrplycl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑆)
2		cnsrplycl.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
3		cnfldbas 21643	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	3	subrgss 20785	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		plyss 26478	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
7	1, 5, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
8		cnsrplycl.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
9	7, 8	sseldd 3931	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Poly‘𝑆))
10		cnsrplycl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
11	5, 10	sseldd 3931	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
14	12, 13	coeid2 26519	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑃‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
15	9, 11, 14	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
16		fzfid 14084	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...(deg‘𝑃)) ∈ Fin)
17	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
18		subrgsubg 20790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
19		cnfld0 21663	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
20	19	subg0cl 19305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
21	2, 18, 20	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
22	12	coef2 26511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → (coeff‘𝑃):ℕ0⟶𝑆)
23	9, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝑃):ℕ0⟶𝑆)
24	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (coeff‘𝑃):ℕ0⟶𝑆)
25		elfznn0 13722	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	24, 26	ffvelcdmd 7073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆)
28	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑋 ∈ 𝑆)
29	17, 28, 26	cnsrexpcl 44110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (𝑋↑𝑘) ∈ 𝑆)
30		cnfldmul 21647	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	30	subrgmcl 20797	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∧ (𝑋↑𝑘) ∈ 𝑆) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ 𝑆)
32	17, 27, 29, 31	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ 𝑆)
33	2, 16, 32	fsumcnsrcl 44111	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ 𝑆)
34	15, 33	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  0cc0 11171   · cmul 11176  ℕ₀cn0 12575  ...cfz 13608  ↑cexp 14172  Σcsu 15820  SubGrpcsubg 19291  SubRingcsubrg 20782  ℂ_fldccnfld 21639  Polycply 26463  coeffccoe 26465  degcdgr 26466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250  ax-mulf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-rp 13090  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-clim 15622  df-rlim 15623  df-sum 15821  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-subg 19294  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-cnfld 21640  df-0p 25952  df-ply 26467  df-coe 26469  df-dgr 26470

This theorem is used by:  rngunsnply  44114