Theorem cnsrplycl 43156

Description: Polynomials are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsrplycl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrplycl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
cnsrplycl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrplycl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cnsrplycl	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrplycl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsrplycl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑆)
2		cnsrplycl.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
3		cnfldbas 21268	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	3	subrgss 20481	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		plyss 26104	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
8		cnsrplycl.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
9	7, 8	sseldd 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Poly‘𝑆))
10		cnsrplycl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
11	5, 10	sseldd 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
12		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
14	12, 13	coeid2 26144	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑃‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
15	9, 11, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
16		fzfid 13938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...(deg‘𝑃)) ∈ Fin)
17	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
18		subrgsubg 20486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
19		cnfld0 21304	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
20	19	subg0cl 19066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
21	2, 18, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
22	12	coef2 26136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → (coeff‘𝑃):ℕ0⟶𝑆)
23	9, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝑃):ℕ0⟶𝑆)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (coeff‘𝑃):ℕ0⟶𝑆)
25		elfznn0 13581	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	24, 26	ffvelcdmd 7057	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆)
28	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑋 ∈ 𝑆)
29	17, 28, 26	cnsrexpcl 43154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (𝑋↑𝑘) ∈ 𝑆)
30		cnfldmul 21272	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	30	subrgmcl 20493	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∧ (𝑋↑𝑘) ∈ 𝑆) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ 𝑆)
32	17, 27, 29, 31	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ 𝑆)
33	2, 16, 32	fsumcnsrcl 43155	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ 𝑆)
34	15, 33	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468  ↑cexp 14026  Σcsu 15652  SubGrpcsubg 19052  SubRingcsubrg 20478  ℂ_fldccnfld 21264  Polycply 26089  coeffccoe 26091  degcdgr 26092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-subg 19055  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-cnfld 21265  df-0p 25571  df-ply 26093  df-coe 26095  df-dgr 26096

This theorem is referenced by:  rngunsnply  43158