MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqaa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqaa 25764
Description: The set of numbers generated by the roots of polynomials in the rational numbers is the same as the set of algebraic numbers, which by elaa 25758 are defined only in terms of polynomials over the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
elqaa (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘“β€˜π΄) = 0))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem elqaa
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑛 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elaa 25758 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((Polyβ€˜β„€) βˆ– {0𝑝})(π‘“β€˜π΄) = 0))
2 zssq 12922 . . . . . 6 β„€ βŠ† β„š
3 qsscn 12926 . . . . . 6 β„š βŠ† β„‚
4 plyss 25642 . . . . . 6 ((β„€ βŠ† β„š ∧ β„š βŠ† β„‚) β†’ (Polyβ€˜β„€) βŠ† (Polyβ€˜β„š))
52, 3, 4mp2an 690 . . . . 5 (Polyβ€˜β„€) βŠ† (Polyβ€˜β„š)
6 ssdif 4135 . . . . 5 ((Polyβ€˜β„€) βŠ† (Polyβ€˜β„š) β†’ ((Polyβ€˜β„€) βˆ– {0𝑝}) βŠ† ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
7 ssrexv 4047 . . . . 5 (((Polyβ€˜β„€) βˆ– {0𝑝}) βŠ† ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((Polyβ€˜β„€) βˆ– {0𝑝})(π‘“β€˜π΄) = 0 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘“β€˜π΄) = 0))
85, 6, 7mp2b 10 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ ((Polyβ€˜β„€) βˆ– {0𝑝})(π‘“β€˜π΄) = 0 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘“β€˜π΄) = 0)
98anim2i 617 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((Polyβ€˜β„€) βˆ– {0𝑝})(π‘“β€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘“β€˜π΄) = 0))
101, 9sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘“β€˜π΄) = 0))
11 simpll 765 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑓 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})) ∧ (π‘“β€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
12 simplr 767 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑓 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})) ∧ (π‘“β€˜π΄) = 0) β†’ 𝑓 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
13 simpr 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑓 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})) ∧ (π‘“β€˜π΄) = 0) β†’ (π‘“β€˜π΄) = 0)
14 eqid 2731 . . . 4 (coeffβ€˜π‘“) = (coeffβ€˜π‘“)
15 fveq2 6878 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘˜ β†’ ((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘š) = ((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘˜))
1615oveq1d 7408 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘š) Β· 𝑗) = (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘˜) Β· 𝑗))
1716eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ ((((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘š) Β· 𝑗) ∈ β„€ ↔ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘˜) Β· 𝑗) ∈ β„€))
1817rabbidv 3439 . . . . . . 7 (π‘š = π‘˜ β†’ {𝑗 ∈ β„• ∣ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘š) Β· 𝑗) ∈ β„€} = {𝑗 ∈ β„• ∣ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘˜) Β· 𝑗) ∈ β„€})
19 oveq2 7401 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 β†’ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘˜) Β· 𝑗) = (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘˜) Β· 𝑛))
2019eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 β†’ ((((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘˜) Β· 𝑗) ∈ β„€ ↔ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€))
2120cbvrabv 3441 . . . . . . 7 {𝑗 ∈ β„• ∣ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘˜) Β· 𝑗) ∈ β„€} = {𝑛 ∈ β„• ∣ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}
2218, 21eqtrdi 2787 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ {𝑗 ∈ β„• ∣ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘š) Β· 𝑗) ∈ β„€} = {𝑛 ∈ β„• ∣ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€})
2322infeq1d 9454 . . . . 5 (π‘š = π‘˜ β†’ inf({𝑗 ∈ β„• ∣ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘š) Β· 𝑗) ∈ β„€}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
2423cbvmptv 5254 . . . 4 (π‘š ∈ β„•0 ↦ inf({𝑗 ∈ β„• ∣ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘š) Β· 𝑗) ∈ β„€}, ℝ, < )) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
25 eqid 2731 . . . 4 (seq0( Β· , (π‘š ∈ β„•0 ↦ inf({𝑗 ∈ β„• ∣ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘š) Β· 𝑗) ∈ β„€}, ℝ, < )))β€˜(degβ€˜π‘“)) = (seq0( Β· , (π‘š ∈ β„•0 ↦ inf({𝑗 ∈ β„• ∣ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜π‘š) Β· 𝑗) ∈ β„€}, ℝ, < )))β€˜(degβ€˜π‘“))
2611, 12, 13, 14, 24, 25elqaalem3 25763 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑓 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})) ∧ (π‘“β€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ 𝔸)
2726r19.29an 3157 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘“β€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ 𝔸)
2810, 27impbii 208 1 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘“β€˜π΄) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  {csn 4622   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393  infcinf 9418  β„‚cc 11090  β„cr 11091  0cc0 11092   Β· cmul 11097   < clt 11230  β„•cn 12194  β„•0cn0 12454  β„€cz 12540  β„šcq 12914  seqcseq 13948  0𝑝c0p 25115  Polycply 25627  coeffccoe 25629  degcdgr 25630  π”Έcaa 25756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-0p 25116  df-ply 25631  df-coe 25633  df-dgr 25634  df-aa 25757
This theorem is referenced by:  qaa  25765  dgraalem  41658  dgraaub  41661  aaitgo  41675  aacllem  47496
  Copyright terms: Public domain W3C validator