Theorem elqaa 24418

Description: The set of numbers generated by the roots of polynomials in the rational numbers is the same as the set of algebraic numbers, which by elaa 24412 are defined only in terms of polynomials over the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elqaa	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem elqaa

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elaa 24412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
2		zssq 12040	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
3		qsscn 12044	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
4		plyss 24296	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ⊆ ℚ ∧ ℚ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℚ))
5	2, 3, 4	mp2an 684	. . . . 5 ⊢ (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℚ)
6		ssdif 3943	. . . . 5 ⊢ ((Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℚ) → ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
7		ssrexv 3863	. . . . 5 ⊢ (((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
9	8	anim2i 611	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
10	1, 9	sylbi 209	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
11		simpll 784	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		simplr 786	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
13		simpr 478	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → (𝑓‘𝐴) = 0)
14		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝑓)
15		fveq2 6411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((coeff‘𝑓)‘𝑚) = ((coeff‘𝑓)‘𝑘))
16	15	oveq1d 6893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) = (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗))
17	16	eleq1d 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ ↔ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ))
18	17	rabbidv 3373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ} = {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ})
19		oveq2 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) = (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛))
20	19	eleq1d 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ ↔ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ))
21	20	cbvrabv 3383	. . . . . . 7 ⊢ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}
22	18, 21	syl6eq 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ})
23	22	infeq1d 8625	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
24	23	cbvmptv 4943	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < )) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
25		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (seq0( · , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < )))‘(deg‘𝑓)) = (seq0( · , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < )))‘(deg‘𝑓))
26	11, 12, 13, 14, 24, 25	elqaalem3 24417	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝔸)
27	26	r19.29an 3258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝔸)
28	10, 27	impbii 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∃wrex 3090  {crab 3093   ∖ cdif 3766   ⊆ wss 3769  {csn 4368   ↦ cmpt 4922  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  infcinf 8589  ℂcc 10222  ℝcr 10223  0cc0 10224   · cmul 10229   < clt 10363  ℕcn 11312  ℕ₀cn0 11580  ℤcz 11666  ℚcq 12033  seqcseq 13055  0_𝑝c0p 23777  Polycply 24281  coeffccoe 24283  degcdgr 24284  𝔸caa 24410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-0p 23778  df-ply 24285  df-coe 24287  df-dgr 24288  df-aa 24411

This theorem is referenced by:  qaa  24419  dgraalem  38500  dgraaub  38503  aaitgo  38517  aacllem  43349