Theorem elqaa 26276

Description: The set of numbers generated by the roots of polynomials in the rational numbers is the same as the set of algebraic numbers, which by elaa 26270 are defined only in terms of polynomials over the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elqaa	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem elqaa

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elaa 26270	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
2		zssq 12895	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
3		qsscn 12899	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
4		plyss 26152	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ⊆ ℚ ∧ ℚ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℚ))
5	2, 3, 4	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℚ)
6		ssdif 4076	. . . . 5 ⊢ ((Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℚ) → ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
7		ssrexv 3986	. . . . 5 ⊢ (((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
9	8	anim2i 618	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
10	1, 9	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
11		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
13		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → (𝑓‘𝐴) = 0)
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝑓)
15		fveq2 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((coeff‘𝑓)‘𝑚) = ((coeff‘𝑓)‘𝑘))
16	15	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) = (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗))
17	16	eleq1d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ ↔ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ))
18	17	rabbidv 3394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ} = {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ})
19		oveq2 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) = (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛))
20	19	eleq1d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ ↔ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ))
21	20	cbvrabv 3397	. . . . . . 7 ⊢ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}
22	18, 21	eqtrdi 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ})
23	22	infeq1d 9380	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
24	23	cbvmptv 5178	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < )) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
25		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (seq0( · , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < )))‘(deg‘𝑓)) = (seq0( · , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < )))‘(deg‘𝑓))
26	11, 12, 13, 14, 24, 25	elqaalem3 26275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝔸)
27	26	r19.29an 3139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝔸)
28	10, 27	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059  {crab 3387   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885  {csn 4557   ↦ cmpt 5155  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  infcinf 9343  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027   · cmul 11032   < clt 11168  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ℚcq 12887  seqcseq 13952  0_𝑝c0p 25624  Polycply 26137  coeffccoe 26139  degcdgr 26140  𝔸caa 26268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-0p 25625  df-ply 26141  df-coe 26143  df-dgr 26144  df-aa 26269

This theorem is referenced by:  qaa  26277  dgraalem  43561  dgraaub  43564  aaitgo  43578  aacllem  50264