Theorem elqaa 25531

Description: The set of numbers generated by the roots of polynomials in the rational numbers is the same as the set of algebraic numbers, which by elaa 25525 are defined only in terms of polynomials over the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elqaa	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem elqaa

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elaa 25525	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
2		zssq 12746	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
3		qsscn 12750	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
4		plyss 25409	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ⊆ ℚ ∧ ℚ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℚ))
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℚ)
6		ssdif 4080	. . . . 5 ⊢ ((Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℚ) → ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
7		ssrexv 3993	. . . . 5 ⊢ (((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
9	8	anim2i 618	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
10	1, 9	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
11		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
13		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → (𝑓‘𝐴) = 0)
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝑓)
15		fveq2 6804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((coeff‘𝑓)‘𝑚) = ((coeff‘𝑓)‘𝑘))
16	15	oveq1d 7322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) = (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗))
17	16	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ ↔ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ))
18	17	rabbidv 3421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ} = {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ})
19		oveq2 7315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) = (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛))
20	19	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ ↔ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ))
21	20	cbvrabv 3433	. . . . . . 7 ⊢ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}
22	18, 21	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ})
23	22	infeq1d 9284	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
24	23	cbvmptv 5194	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < )) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
25		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (seq0( · , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < )))‘(deg‘𝑓)) = (seq0( · , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < )))‘(deg‘𝑓))
26	11, 12, 13, 14, 24, 25	elqaalem3 25530	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝔸)
27	26	r19.29an 3152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝔸)
28	10, 27	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3071  {crab 3303   ∖ cdif 3889   ⊆ wss 3892  {csn 4565   ↦ cmpt 5164  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  infcinf 9248  ℂcc 10919  ℝcr 10920  0cc0 10921   · cmul 10926   < clt 11059  ℕcn 12023  ℕ₀cn0 12283  ℤcz 12369  ℚcq 12738  seqcseq 13771  0_𝑝c0p 24882  Polycply 25394  coeffccoe 25396  degcdgr 25397  𝔸caa 25523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9249  df-inf 9250  df-oi 9317  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-q 12739  df-rp 12781  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-fl 13562  df-mod 13640  df-seq 13772  df-exp 13833  df-hash 14095  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-clim 15246  df-rlim 15247  df-sum 15447  df-0p 24883  df-ply 25398  df-coe 25400  df-dgr 25401  df-aa 25524

This theorem is referenced by:  qaa  25532  dgraalem  41166  dgraaub  41169  aaitgo  41183  aacllem  46749