Theorem elqaa 26608

Description: The set of numbers generated by the roots of polynomials in the rational numbers is the same as the set of algebraic numbers, which by elaa 26602 are defined only in terms of polynomials over the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elqaa	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem elqaa

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elaa 26602	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
2		zssq 13052	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
3		qsscn 13056	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
4		plyss 26478	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ⊆ ℚ ∧ ℚ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℚ))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℚ)
6		ssdif 4090	. . . . 5 ⊢ ((Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℚ) → ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
7		ssrexv 4000	. . . . 5 ⊢ (((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ⊆ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
9	8	anim2i 629	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
10	1, 9	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
11		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
13		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → (𝑓‘𝐴) = 0)
14		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝑓)
15		fveq2 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((coeff‘𝑓)‘𝑚) = ((coeff‘𝑓)‘𝑘))
16	15	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) = (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗))
17	16	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ ↔ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ))
18	17	rabbidv 3419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ} = {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ})
19		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) = (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛))
20	19	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ ↔ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ))
21	20	cbvrabv 3422	. . . . . . 7 ⊢ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑗) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}
22	18, 21	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ})
23	22	infeq1d 9448	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
24	23	cbvmptv 5208	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < )) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (seq0( · , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < )))‘(deg‘𝑓)) = (seq0( · , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑗 ∈ ℕ ∣ (((coeff‘𝑓)‘𝑚) · 𝑗) ∈ ℤ}, ℝ, < )))‘(deg‘𝑓))
26	11, 12, 13, 14, 24, 25	elqaalem3 26607	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝔸)
27	26	r19.29an 3166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝔸)
28	10, 27	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  {crab 3412   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4583   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  infcinf 9411  ℂcc 11169  ℝcr 11170  0cc0 11171   · cmul 11176   < clt 11314  ℕcn 12304  ℕ₀cn0 12575  ℤcz 12662  ℚcq 13044  seqcseq 14112  0_𝑝c0p 25951  Polycply 26463  coeffccoe 26465  degcdgr 26466  𝔸caa 26600

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-clim 15622  df-rlim 15623  df-sum 15821  df-0p 25952  df-ply 26467  df-coe 26469  df-dgr 26470  df-aa 26601

This theorem is used by:  preimaaa  26609  qaa  26610  dgraalem  44090  dgraaub  44093  aaitgo  44107  sqrtnzqaa  47836  aacllem  50861