Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmeasmono Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmeasmono 33323
Description: This theorem's hypotheses define a pre-measure. A pre-measure is monotone. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caraext.1 (𝜑𝑃:𝑅⟶(0[,]+∞))
caraext.2 (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
caraext.3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑃 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦))
pmeasmono.1 (𝜑𝐴𝑅)
pmeasmono.2 (𝜑𝐵𝑅)
pmeasmono.3 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑅)
pmeasmono.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pmeasmono (𝜑 → (𝑃𝐴) ≤ (𝑃𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem pmeasmono
StepHypRef Expression
1 eqimss 4041 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴))
2 ssdifeq0 4487 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 = ∅)
31, 2sylib 217 . . . . . 6 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 = ∅)
43fveq2d 6896 . . . . 5 (𝐴 = (𝐵𝐴) → (𝑃𝐴) = (𝑃‘∅))
54adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) = (𝑃‘∅))
6 caraext.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
76adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑃‘∅) = 0)
85, 7eqtrd 2773 . . 3 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) = 0)
9 caraext.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃:𝑅⟶(0[,]+∞))
10 pmeasmono.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑅)
119, 10ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]+∞))
12 elxrge0 13434 . . . . . 6 ((𝑃𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐵)))
1312simprbi 498 . . . . 5 ((𝑃𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑃𝐵))
1411, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑃𝐵))
1514adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → 0 ≤ (𝑃𝐵))
168, 15eqbrtrd 5171 . 2 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ≤ (𝑃𝐵))
17 iccssxr 13407 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
189adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → 𝑃:𝑅⟶(0[,]+∞))
19 pmeasmono.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑅)
2019adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → 𝐴𝑅)
2118, 20ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]+∞))
2217, 21sselid 3981 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ∈ ℝ*)
23 pmeasmono.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑅)
2423adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝐵𝐴) ∈ 𝑅)
2518, 24ffvelcdmd 7088 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
26 xrge0addge 31970 . . . 4 (((𝑃𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → (𝑃𝐴) ≤ ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃‘(𝐵𝐴))))
2722, 25, 26syl2anc 585 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ≤ ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃‘(𝐵𝐴))))
28 prct 31939 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑅 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑅) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
2919, 23, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
3029adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
31 prssi 4825 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑅 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑅) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅)
3219, 23, 31syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅)
3332adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅)
34 disjdif 4472 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
35 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → 𝐴 ≠ (𝐵𝐴))
36 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐵𝐴) → 𝑦 = (𝐵𝐴))
3836, 37disjprg 5145 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑅 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑅𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅))
3920, 24, 35, 38syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅))
4034, 39mpbiri 258 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)
4130, 33, 403jca 1129 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦))
42 prex 5433 . . . . . . 7 {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ V
43 biidd 262 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (𝜑𝜑))
44 breq1 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω))
45 sseq1 4008 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (𝑥𝑅 ↔ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅))
46 disjeq1 5121 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦))
4744, 45, 463anbi123d 1437 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → ((𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦) ↔ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)))
4843, 47anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → ((𝜑 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ↔ (𝜑 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦))))
49 unieq 4920 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → 𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)})
5049fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (𝑃 𝑥) = (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}))
51 esumeq1 33032 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))
5250, 51eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → ((𝑃 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦) ↔ (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦)))
5348, 52imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (((𝜑 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑃 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))))
54 caraext.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑃 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦))
5553, 54vtoclg 3557 . . . . . . 7 ({𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ V → ((𝜑 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦)))
5642, 55ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))
5756adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))
5841, 57mpdan 686 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))
59 uniprg 4926 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑅 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑅) → {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
6019, 23, 59syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
61 pmeasmono.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
62 undif 4482 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
6361, 62sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
6460, 63eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = 𝐵)
6564adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → {𝐴, (𝐵𝐴)} = 𝐵)
6665fveq2d 6896 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = (𝑃𝐵))
67 simpr 486 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
6867fveq2d 6896 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝑃𝑦) = (𝑃𝐴))
69 simpr 486 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝐵𝐴)) → 𝑦 = (𝐵𝐴))
7069fveq2d 6896 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝐵𝐴)) → (𝑃𝑦) = (𝑃‘(𝐵𝐴)))
7168, 70, 20, 24, 21, 25, 35esumpr 33064 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃‘(𝐵𝐴))))
7258, 66, 713eqtr3d 2781 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐵) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃‘(𝐵𝐴))))
7327, 72breqtrrd 5177 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ≤ (𝑃𝐵))
7416, 73pm2.61dane 3030 1 (𝜑 → (𝑃𝐴) ≤ (𝑃𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4323  {cpr 4631   cuni 4909  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7409  ωcom 7855  cdom 8937  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  *cxr 11247  cle 11249   +𝑒 cxad 13090  [,]cicc 13327  Σ*cesum 33025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-plusf 18560  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-abv 20425  df-lmod 20473  df-scaf 20474  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tmd 23576  df-tgp 23577  df-tsms 23631  df-trg 23664  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-ii 24393  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-esum 33026
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator