Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmeasmono Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmeasmono 33880
Description: This theorem's hypotheses define a pre-measure. A pre-measure is monotone. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caraext.1 (𝜑𝑃:𝑅⟶(0[,]+∞))
caraext.2 (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
caraext.3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑃 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦))
pmeasmono.1 (𝜑𝐴𝑅)
pmeasmono.2 (𝜑𝐵𝑅)
pmeasmono.3 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑅)
pmeasmono.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pmeasmono (𝜑 → (𝑃𝐴) ≤ (𝑃𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem pmeasmono
StepHypRef Expression
1 eqimss 4036 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴))
2 ssdifeq0 4482 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 = ∅)
31, 2sylib 217 . . . . . 6 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 = ∅)
43fveq2d 6895 . . . . 5 (𝐴 = (𝐵𝐴) → (𝑃𝐴) = (𝑃‘∅))
54adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) = (𝑃‘∅))
6 caraext.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑃‘∅) = 0)
85, 7eqtrd 2767 . . 3 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) = 0)
9 caraext.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃:𝑅⟶(0[,]+∞))
10 pmeasmono.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑅)
119, 10ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]+∞))
12 elxrge0 13458 . . . . . 6 ((𝑃𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐵)))
1312simprbi 496 . . . . 5 ((𝑃𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑃𝐵))
1411, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑃𝐵))
1514adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → 0 ≤ (𝑃𝐵))
168, 15eqbrtrd 5164 . 2 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ≤ (𝑃𝐵))
17 iccssxr 13431 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
189adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → 𝑃:𝑅⟶(0[,]+∞))
19 pmeasmono.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑅)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → 𝐴𝑅)
2118, 20ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]+∞))
2217, 21sselid 3976 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ∈ ℝ*)
23 pmeasmono.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑅)
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝐵𝐴) ∈ 𝑅)
2518, 24ffvelcdmd 7089 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
26 xrge0addge 32511 . . . 4 (((𝑃𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → (𝑃𝐴) ≤ ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃‘(𝐵𝐴))))
2722, 25, 26syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ≤ ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃‘(𝐵𝐴))))
28 prct 32480 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑅 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑅) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
2919, 23, 28syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
3029adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
31 prssi 4820 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑅 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑅) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅)
3219, 23, 31syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅)
3332adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅)
34 disjdif 4467 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
35 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → 𝐴 ≠ (𝐵𝐴))
36 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐵𝐴) → 𝑦 = (𝐵𝐴))
3836, 37disjprg 5138 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑅 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑅𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅))
3920, 24, 35, 38syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅))
4034, 39mpbiri 258 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)
4130, 33, 403jca 1126 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦))
42 prex 5428 . . . . . . 7 {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ V
43 biidd 262 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (𝜑𝜑))
44 breq1 5145 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω))
45 sseq1 4003 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (𝑥𝑅 ↔ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅))
46 disjeq1 5114 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦))
4744, 45, 463anbi123d 1433 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → ((𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦) ↔ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)))
4843, 47anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → ((𝜑 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ↔ (𝜑 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦))))
49 unieq 4914 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → 𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)})
5049fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (𝑃 𝑥) = (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}))
51 esumeq1 33589 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))
5250, 51eqeq12d 2743 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → ((𝑃 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦) ↔ (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦)))
5348, 52imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (((𝜑 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑃 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))))
54 caraext.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑃 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦))
5553, 54vtoclg 3538 . . . . . . 7 ({𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ V → ((𝜑 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦)))
5642, 55ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))
5756adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))
5841, 57mpdan 686 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))
59 uniprg 4919 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑅 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑅) → {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
6019, 23, 59syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
61 pmeasmono.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
62 undif 4477 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
6361, 62sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
6460, 63eqtrd 2767 . . . . . 6 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = 𝐵)
6564adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → {𝐴, (𝐵𝐴)} = 𝐵)
6665fveq2d 6895 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = (𝑃𝐵))
67 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
6867fveq2d 6895 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝑃𝑦) = (𝑃𝐴))
69 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝐵𝐴)) → 𝑦 = (𝐵𝐴))
7069fveq2d 6895 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝐵𝐴)) → (𝑃𝑦) = (𝑃‘(𝐵𝐴)))
7168, 70, 20, 24, 21, 25, 35esumpr 33621 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃‘(𝐵𝐴))))
7258, 66, 713eqtr3d 2775 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐵) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃‘(𝐵𝐴))))
7327, 72breqtrrd 5170 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ≤ (𝑃𝐵))
7416, 73pm2.61dane 3024 1 (𝜑 → (𝑃𝐴) ≤ (𝑃𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  Vcvv 3469  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4318  {cpr 4626   cuni 4903  Disj wdisj 5107   class class class wbr 5142  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  ωcom 7864  cdom 8953  0cc0 11130  +∞cpnf 11267  *cxr 11269  cle 11271   +𝑒 cxad 13114  [,]cicc 13351  Σ*cesum 33582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-ordt 17474  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-ps 18549  df-tsr 18550  df-plusf 18590  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-abv 20686  df-lmod 20734  df-scaf 20735  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-tmd 23963  df-tgp 23964  df-tsms 24018  df-trg 24051  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-nm 24478  df-ngp 24479  df-nrg 24481  df-nlm 24482  df-ii 24784  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-esum 33583
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator