Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmeasmono Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmeasmono 32924
Description: This theorem's hypotheses define a pre-measure. A pre-measure is monotone. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caraext.1 (𝜑𝑃:𝑅⟶(0[,]+∞))
caraext.2 (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
caraext.3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑃 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦))
pmeasmono.1 (𝜑𝐴𝑅)
pmeasmono.2 (𝜑𝐵𝑅)
pmeasmono.3 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑅)
pmeasmono.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pmeasmono (𝜑 → (𝑃𝐴) ≤ (𝑃𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem pmeasmono
StepHypRef Expression
1 eqimss 4000 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴))
2 ssdifeq0 4444 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 = ∅)
31, 2sylib 217 . . . . . 6 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 = ∅)
43fveq2d 6846 . . . . 5 (𝐴 = (𝐵𝐴) → (𝑃𝐴) = (𝑃‘∅))
54adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) = (𝑃‘∅))
6 caraext.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑃‘∅) = 0)
85, 7eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) = 0)
9 caraext.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃:𝑅⟶(0[,]+∞))
10 pmeasmono.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑅)
119, 10ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]+∞))
12 elxrge0 13374 . . . . . 6 ((𝑃𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐵)))
1312simprbi 497 . . . . 5 ((𝑃𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑃𝐵))
1411, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑃𝐵))
1514adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → 0 ≤ (𝑃𝐵))
168, 15eqbrtrd 5127 . 2 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ≤ (𝑃𝐵))
17 iccssxr 13347 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
189adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → 𝑃:𝑅⟶(0[,]+∞))
19 pmeasmono.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑅)
2019adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → 𝐴𝑅)
2118, 20ffvelcdmd 7036 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]+∞))
2217, 21sselid 3942 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ∈ ℝ*)
23 pmeasmono.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑅)
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝐵𝐴) ∈ 𝑅)
2518, 24ffvelcdmd 7036 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
26 xrge0addge 31662 . . . 4 (((𝑃𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → (𝑃𝐴) ≤ ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃‘(𝐵𝐴))))
2722, 25, 26syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ≤ ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃‘(𝐵𝐴))))
28 prct 31631 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑅 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑅) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
2919, 23, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
3029adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
31 prssi 4781 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑅 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑅) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅)
3219, 23, 31syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅)
3332adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅)
34 disjdif 4431 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
35 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → 𝐴 ≠ (𝐵𝐴))
36 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐵𝐴) → 𝑦 = (𝐵𝐴))
3836, 37disjprg 5101 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑅 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑅𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅))
3920, 24, 35, 38syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅))
4034, 39mpbiri 257 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)
4130, 33, 403jca 1128 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦))
42 prex 5389 . . . . . . 7 {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ V
43 biidd 261 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (𝜑𝜑))
44 breq1 5108 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω))
45 sseq1 3969 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (𝑥𝑅 ↔ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅))
46 disjeq1 5077 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦))
4744, 45, 463anbi123d 1436 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → ((𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦) ↔ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)))
4843, 47anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → ((𝜑 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ↔ (𝜑 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦))))
49 unieq 4876 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → 𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)})
5049fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (𝑃 𝑥) = (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}))
51 esumeq1 32633 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))
5250, 51eqeq12d 2752 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → ((𝑃 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦) ↔ (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦)))
5348, 52imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝐴, (𝐵𝐴)} → (((𝜑 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑃 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))))
54 caraext.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥𝑅Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑃 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑃𝑦))
5553, 54vtoclg 3525 . . . . . . 7 ({𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ V → ((𝜑 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦)))
5642, 55ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))
5756adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑅Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))
5841, 57mpdan 685 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦))
59 uniprg 4882 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑅 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑅) → {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
6019, 23, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
61 pmeasmono.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
62 undif 4441 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
6361, 62sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
6460, 63eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = 𝐵)
6564adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → {𝐴, (𝐵𝐴)} = 𝐵)
6665fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = (𝑃𝐵))
67 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
6867fveq2d 6846 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝑃𝑦) = (𝑃𝐴))
69 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝐵𝐴)) → 𝑦 = (𝐵𝐴))
7069fveq2d 6846 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝐵𝐴)) → (𝑃𝑦) = (𝑃‘(𝐵𝐴)))
7168, 70, 20, 24, 21, 25, 35esumpr 32665 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑃𝑦) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃‘(𝐵𝐴))))
7258, 66, 713eqtr3d 2784 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐵) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃‘(𝐵𝐴))))
7327, 72breqtrrd 5133 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ (𝐵𝐴)) → (𝑃𝐴) ≤ (𝑃𝐵))
7416, 73pm2.61dane 3032 1 (𝜑 → (𝑃𝐴) ≤ (𝑃𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {cpr 4588   cuni 4865  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  ωcom 7802  cdom 8881  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  *cxr 11188  cle 11190   +𝑒 cxad 13031  [,]cicc 13267  Σ*cesum 32626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-ordt 17383  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-plusf 18496  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-lmod 20324  df-scaf 20325  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-tmd 23423  df-tgp 23424  df-tsms 23478  df-trg 23511  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nrg 23941  df-nlm 23942  df-ii 24240  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-esum 32627
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator