Theorem oexpnegALTV 47960

Description: The exponential of the negative of a number, when the exponent is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.) (Revised by AV, 19-Jun-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oexpnegALTV	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem oexpnegALTV

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 47914	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
2		odd2np1ALTV 47957	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ Odd ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 ∈ Odd ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
4	3	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
5	4	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
6		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
8		simpl2 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10		1cnd 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
11		2z 12525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
13		zmulcl 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
14	11, 12, 13	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
16	9, 10, 15	subadd2d 11513	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝑁 − 1) = (2 · 𝑛) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
17	7, 16	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) = (2 · 𝑛))
18		nnm1nn0 12444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
19	8, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
20	17, 19	eqeltrrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
21	6, 20	expcld 14071	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
22	21, 6	mulneg2d 11593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴))
23		sqneg 14040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
25	24	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑2)↑𝑛) = ((𝐴↑2)↑𝑛))
26	6	negcld 11481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -𝐴 ∈ ℂ)
27		2rp 12912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 2 ∈ ℝ+)
29	12	zred 12598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ)
30	20	nn0ge0d 12467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
31	28, 29, 30	prodge0rd 13016	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 ≤ 𝑛)
32		elnn0z 12503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
33	12, 31, 32	sylanbrc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
34		2nn0 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
35	34	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 2 ∈ ℕ0)
36	26, 33, 35	expmuld 14074	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑(2 · 𝑛)) = ((-𝐴↑2)↑𝑛))
37	6, 33, 35	expmuld 14074	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑(2 · 𝑛)) = ((𝐴↑2)↑𝑛))
38	25, 36, 37	3eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑(2 · 𝑛)) = (𝐴↑(2 · 𝑛)))
39	38	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴))
40	26, 20	expp1d 14072	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴))
41	7	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = (-𝐴↑𝑁))
42	40, 41	eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = (-𝐴↑𝑁))
43	39, 42	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = (-𝐴↑𝑁))
44	22, 43	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = (-𝐴↑𝑁))
45	6, 20	expp1d 14072	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴))
46	7	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐴↑𝑁))
47	45, 46	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = (𝐴↑𝑁))
48	47	negeqd 11376	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = -(𝐴↑𝑁))
49	44, 48	eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
50	5, 49	rexlimddv 3142	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059   class class class wbr 5097  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   ≤ cle 11169   − cmin 11366  -cneg 11367  ℕcn 12147  2c2 12202  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ℝ⁺crp 12907  ↑cexp 13986   Odd codd 47908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-seq 13927  df-exp 13987  df-odd 47910

This theorem is referenced by: (None)