MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oexpneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oexpneg 16292
Description: The exponential of the negative of a number, when the exponent is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
oexpneg ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (-๐ดโ†‘๐‘) = -(๐ดโ†‘๐‘))

Proof of Theorem oexpneg
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 12580 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2 odd2np1 16288 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
31, 2syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
43biimpa 476 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
543adant1 1127 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
6 simpl1 1188 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 simprr 770 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
8 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
98nncnd 12229 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
10 1cnd 11210 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
11 2z 12595 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„ค
12 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
13 zmulcl 12612 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
1411, 12, 13sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
1514zcnd 12668 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
169, 10, 15subadd2d 11591 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›) โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
177, 16mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
18 nnm1nn0 12514 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
198, 18syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2017, 19eqeltrrd 2828 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
216, 20expcld 14113 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
2221, 6mulneg2d 11669 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด) = -((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด))
23 sqneg 14083 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
246, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
2524oveq1d 7419 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((-๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›) = ((๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›))
266negcld 11559 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
27 2rp 12982 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„+
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
2912zred 12667 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
3020nn0ge0d 12536 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘›))
3128, 29, 30prodge0rd 13084 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘›)
32 elnn0z 12572 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘›))
3312, 31, 32sylanbrc 582 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
34 2nn0 12490 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•0
3534a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
3626, 33, 35expmuld 14116 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) = ((-๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›))
376, 33, 35expmuld 14116 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) = ((๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›))
3825, 36, 373eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) = (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)))
3938oveq1d 7419 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด) = ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด))
4026, 20expp1d 14114 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = ((-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด))
417oveq2d 7420 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (-๐ดโ†‘๐‘))
4240, 41eqtr3d 2768 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด) = (-๐ดโ†‘๐‘))
4339, 42eqtr3d 2768 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด) = (-๐ดโ†‘๐‘))
4422, 43eqtr3d 2768 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ -((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด) = (-๐ดโ†‘๐‘))
456, 20expp1d 14114 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด))
467oveq2d 7420 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (๐ดโ†‘๐‘))
4745, 46eqtr3d 2768 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘๐‘))
4847negeqd 11455 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ -((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด) = -(๐ดโ†‘๐‘))
4944, 48eqtr3d 2768 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘๐‘) = -(๐ดโ†‘๐‘))
505, 49rexlimddv 3155 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (-๐ดโ†‘๐‘) = -(๐ดโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  โ„•cn 12213  2c2 12268  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  โ„+crp 12977  โ†‘cexp 14029   โˆฅ cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-dvds 16202
This theorem is referenced by:  dcubic1lem  26725  dcubic2  26726  mcubic  26729  lgseisenlem1  27258  lgseisenlem4  27261  m1lgs  27271  oexpreposd  41759  dffltz  41936  stirlinglem5  45348  2pwp1prm  46811
  Copyright terms: Public domain W3C validator