MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oexpneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oexpneg 16162
Description: The exponential of the negative of a number, when the exponent is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
oexpneg ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (-๐ดโ†‘๐‘) = -(๐ดโ†‘๐‘))

Proof of Theorem oexpneg
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 12456 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2 odd2np1 16158 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
31, 2syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
43biimpa 478 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
543adant1 1131 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
6 simpl1 1192 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 simprr 772 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
8 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
98nncnd 12103 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
10 1cnd 11084 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
11 2z 12466 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„ค
12 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
13 zmulcl 12483 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
1411, 12, 13sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
1514zcnd 12541 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
169, 10, 15subadd2d 11465 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›) โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
177, 16mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
18 nnm1nn0 12388 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
198, 18syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2017, 19eqeltrrd 2840 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
216, 20expcld 13978 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
2221, 6mulneg2d 11543 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด) = -((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด))
23 sqneg 13950 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
246, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
2524oveq1d 7365 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((-๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›) = ((๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›))
266negcld 11433 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
27 2rp 12849 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„+
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
2912zred 12540 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
3020nn0ge0d 12410 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘›))
3128, 29, 30prodge0rd 12951 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘›)
32 elnn0z 12446 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘›))
3312, 31, 32sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
34 2nn0 12364 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•0
3534a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
3626, 33, 35expmuld 13981 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) = ((-๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›))
376, 33, 35expmuld 13981 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) = ((๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›))
3825, 36, 373eqtr4d 2788 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) = (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)))
3938oveq1d 7365 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด) = ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด))
4026, 20expp1d 13979 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = ((-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด))
417oveq2d 7366 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (-๐ดโ†‘๐‘))
4240, 41eqtr3d 2780 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด) = (-๐ดโ†‘๐‘))
4339, 42eqtr3d 2780 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด) = (-๐ดโ†‘๐‘))
4422, 43eqtr3d 2780 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ -((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด) = (-๐ดโ†‘๐‘))
456, 20expp1d 13979 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด))
467oveq2d 7366 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (๐ดโ†‘๐‘))
4745, 46eqtr3d 2780 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘๐‘))
4847negeqd 11329 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ -((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด) = -(๐ดโ†‘๐‘))
4944, 48eqtr3d 2780 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘๐‘) = -(๐ดโ†‘๐‘))
505, 49rexlimddv 3157 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (-๐ดโ†‘๐‘) = -(๐ดโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3072   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990   โ‰ค cle 11124   โˆ’ cmin 11319  -cneg 11320  โ„•cn 12087  2c2 12142  โ„•0cn0 12347  โ„คcz 12433  โ„+crp 12844  โ†‘cexp 13896   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-seq 13836  df-exp 13897  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  dcubic1lem  26115  dcubic2  26116  mcubic  26119  lgseisenlem1  26645  lgseisenlem4  26648  m1lgs  26658  oexpreposd  40654  dffltz  40806  stirlinglem5  44041  2pwp1prm  45499
  Copyright terms: Public domain W3C validator