Theorem evennn02n 16374

Description: A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
evennn02n	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem evennn02n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
2		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
3		2rp 13018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
5		zre 12597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
7		nn0ge0 12531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2 · 𝑛))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
9	4, 6, 8	prodge0rd 13121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑛)
10		elnn0z 12606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
11	2, 9, 10	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
12	11	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
13	1, 12	biimtrrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0)))
14	13	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0)))
15	14	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0))
16	15	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
17	16	bicomd 223	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
18	17	rexbidva 3163	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
19		nn0ssz 12616	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
20		rexss 4039	. . 3 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
21	19, 20	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
22		even2n 16366	. . 3 ⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
24	18, 21, 23	3bitr4rd 312	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134   · cmul 11139   ≤ cle 11275  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℝ⁺crp 13013   ∥ cdvds 16277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-rp 13014  df-dvds 16278

This theorem is referenced by:  expevenpos  32830  wrdt2ind  32934