Theorem evennn02n 15987

Description: A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
evennn02n	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem evennn02n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
2		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
3		2rp 12664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
5		zre 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
7		nn0ge0 12188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2 · 𝑛))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
9	4, 6, 8	prodge0rd 12766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑛)
10		elnn0z 12262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
11	2, 9, 10	sylanbrc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
12	11	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
13	1, 12	syl6bir 253	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0)))
14	13	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0)))
15	14	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0))
16	15	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
17	16	bicomd 222	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
18	17	rexbidva 3224	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
19		nn0ssz 12271	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
20		rexss 3988	. . 3 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
21	19, 20	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
22		even2n 15979	. . 3 ⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
24	18, 21, 23	3bitr4rd 311	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807   ≤ cle 10941  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-rp 12660  df-dvds 15892

This theorem is referenced by:  wrdt2ind  31127