Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > evennn02n | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
evennn02n | โข (๐ โ โ0 โ (2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โ0 (2 ยท ๐) = ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eleq1 2826 | . . . . . . . 8 โข ((2 ยท ๐) = ๐ โ ((2 ยท ๐) โ โ0 โ ๐ โ โ0)) | |
2 | simpr 486 | . . . . . . . . . 10 โข (((2 ยท ๐) โ โ0 โง ๐ โ โค) โ ๐ โ โค) | |
3 | 2rp 12849 | . . . . . . . . . . . 12 โข 2 โ โ+ | |
4 | 3 | a1i 11 | . . . . . . . . . . 11 โข (((2 ยท ๐) โ โ0 โง ๐ โ โค) โ 2 โ โ+) |
5 | zre 12437 | . . . . . . . . . . . 12 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
6 | 5 | adantl 483 | . . . . . . . . . . 11 โข (((2 ยท ๐) โ โ0 โง ๐ โ โค) โ ๐ โ โ) |
7 | nn0ge0 12372 | . . . . . . . . . . . 12 โข ((2 ยท ๐) โ โ0 โ 0 โค (2 ยท ๐)) | |
8 | 7 | adantr 482 | . . . . . . . . . . 11 โข (((2 ยท ๐) โ โ0 โง ๐ โ โค) โ 0 โค (2 ยท ๐)) |
9 | 4, 6, 8 | prodge0rd 12951 | . . . . . . . . . 10 โข (((2 ยท ๐) โ โ0 โง ๐ โ โค) โ 0 โค ๐) |
10 | elnn0z 12446 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ โค โง 0 โค ๐)) | |
11 | 2, 9, 10 | sylanbrc 584 | . . . . . . . . 9 โข (((2 ยท ๐) โ โ0 โง ๐ โ โค) โ ๐ โ โ0) |
12 | 11 | ex 414 | . . . . . . . 8 โข ((2 ยท ๐) โ โ0 โ (๐ โ โค โ ๐ โ โ0)) |
13 | 1, 12 | syl6bir 254 | . . . . . . 7 โข ((2 ยท ๐) = ๐ โ (๐ โ โ0 โ (๐ โ โค โ ๐ โ โ0))) |
14 | 13 | com13 88 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ (๐ โ โ0 โ ((2 ยท ๐) = ๐ โ ๐ โ โ0))) |
15 | 14 | impcom 409 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โค) โ ((2 ยท ๐) = ๐ โ ๐ โ โ0)) |
16 | 15 | pm4.71rd 564 | . . . 4 โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โค) โ ((2 ยท ๐) = ๐ โ (๐ โ โ0 โง (2 ยท ๐) = ๐))) |
17 | 16 | bicomd 222 | . . 3 โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โค) โ ((๐ โ โ0 โง (2 ยท ๐) = ๐) โ (2 ยท ๐) = ๐)) |
18 | 17 | rexbidva 3172 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (โ๐ โ โค (๐ โ โ0 โง (2 ยท ๐) = ๐) โ โ๐ โ โค (2 ยท ๐) = ๐)) |
19 | nn0ssz 12455 | . . 3 โข โ0 โ โค | |
20 | rexss 4014 | . . 3 โข (โ0 โ โค โ (โ๐ โ โ0 (2 ยท ๐) = ๐ โ โ๐ โ โค (๐ โ โ0 โง (2 ยท ๐) = ๐))) | |
21 | 19, 20 | mp1i 13 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (โ๐ โ โ0 (2 ยท ๐) = ๐ โ โ๐ โ โค (๐ โ โ0 โง (2 ยท ๐) = ๐))) |
22 | even2n 16159 | . . 3 โข (2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (2 ยท ๐) = ๐) | |
23 | 22 | a1i 11 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (2 ยท ๐) = ๐)) |
24 | 18, 21, 23 | 3bitr4rd 312 | 1 โข (๐ โ โ0 โ (2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โ0 (2 ยท ๐) = ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3072 โ wss 3909 class class class wbr 5104 (class class class)co 7350 โcr 10984 0cc0 10985 ยท cmul 10990 โค cle 11124 2c2 12142 โ0cn0 12347 โคcz 12433 โ+crp 12844 โฅ cdvds 16071 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2709 ax-sep 5255 ax-nul 5262 ax-pow 5319 ax-pr 5383 ax-un 7663 ax-resscn 11042 ax-1cn 11043 ax-icn 11044 ax-addcl 11045 ax-addrcl 11046 ax-mulcl 11047 ax-mulrcl 11048 ax-mulcom 11049 ax-addass 11050 ax-mulass 11051 ax-distr 11052 ax-i2m1 11053 ax-1ne0 11054 ax-1rid 11055 ax-rnegex 11056 ax-rrecex 11057 ax-cnre 11058 ax-pre-lttri 11059 ax-pre-lttrn 11060 ax-pre-ltadd 11061 ax-pre-mulgt0 11062 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3064 df-rex 3073 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3739 df-csb 3855 df-dif 3912 df-un 3914 df-in 3916 df-ss 3926 df-pss 3928 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4865 df-iun 4955 df-br 5105 df-opab 5167 df-mpt 5188 df-tr 5222 df-id 5529 df-eprel 5535 df-po 5543 df-so 5544 df-fr 5586 df-we 5588 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6250 df-ord 6317 df-on 6318 df-lim 6319 df-suc 6320 df-iota 6444 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7306 df-ov 7353 df-oprab 7354 df-mpo 7355 df-om 7794 df-2nd 7913 df-frecs 8180 df-wrecs 8211 df-recs 8285 df-rdg 8324 df-er 8582 df-en 8818 df-dom 8819 df-sdom 8820 df-pnf 11125 df-mnf 11126 df-xr 11127 df-ltxr 11128 df-le 11129 df-sub 11321 df-neg 11322 df-nn 12088 df-2 12150 df-n0 12348 df-z 12434 df-rp 12845 df-dvds 16072 |
This theorem is referenced by: wrdt2ind 31589 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |