MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evennn02n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evennn02n 15691
Description: A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
evennn02n (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem evennn02n
StepHypRef Expression
1 eleq1 2904 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
2 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
3 2rp 12387 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
5 zre 11977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
65adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
7 nn0ge0 11914 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2 · 𝑛))
87adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
94, 6, 8prodge0rd 12489 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑛)
10 elnn0z 11986 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
112, 9, 10sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
1211ex 413 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
131, 12syl6bir 255 . . . . . . 7 ((2 · 𝑛) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0)))
1413com13 88 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ0)))
1514impcom 408 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ0))
1615pm4.71rd 563 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
1716bicomd 224 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
1817rexbidva 3300 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
19 nn0ssz 11995 . . 3 0 ⊆ ℤ
20 rexss 4041 . . 3 (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
2119, 20mp1i 13 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
22 even2n 15683 . . 3 (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
2322a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
2418, 21, 233bitr4rd 313 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3143  wss 3939   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  cr 10528  0cc0 10529   · cmul 10534  cle 10668  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  +crp 12382  cdvds 15599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-rp 12383  df-dvds 15600
This theorem is referenced by:  wrdt2ind  30541
  Copyright terms: Public domain W3C validator