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Theorem frgrreg 30276
Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐾-regular, then 𝐾 must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrreg ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))

Proof of Theorem frgrreg
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 459 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ↔ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
2 ancom 459 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ↔ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
31, 2anbi12i 626 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) ↔ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph )))
43biimpi 215 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph )))
54ancomd 460 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)))
6 frgrreggt1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
76numclwwlk7lem 30271 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
85, 7syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9 neanior 3024 . . . . . . . 8 ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ↔ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
10 nn0re 12514 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
11 1re 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
12 lenlt 11324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
1310, 11, 12sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
1413adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
15 elnnne0 12519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
16 nnle1eq1 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 = 1))
1716biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
1815, 17sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
1918a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ≠ 2 → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1)))
2019expimpd 452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1)))
2120impcom 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
2214, 21sylbird 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ 1 < 𝐾𝐾 = 1))
236fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘𝑉) = (♯‘(Vtx‘𝐺))
2423eqeq1i 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑉) = 1 ↔ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
2524biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
26 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2726adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
28 rusgr1vtx 29474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 = 0)
2925, 27, 28syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))) → 𝐾 = 0)
3029orcd 871 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
3130ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
3231a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
33 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
346, 33rusgrprop0 29453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
35 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
36 hashnncl 14361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑉 ≠ ∅))
37 df-ne 2930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑉) ≠ 1 ↔ ¬ (♯‘𝑉) = 1)
38 nngt1ne1 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (1 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≠ 1))
3938biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) ≠ 1 → 1 < (♯‘𝑉)))
4037, 39biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → 1 < (♯‘𝑉)))
4136, 40biimtrrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → 1 < (♯‘𝑉))))
4241imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → 1 < (♯‘𝑉)))
4342impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 < (♯‘𝑉))
446vdgn1frgrv3 30179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1)
4535, 43, 443imp3i2an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1)
46 r19.26 3100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) ↔ (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
47 r19.2z 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)) → ∃𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
48 neeq1 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ↔ 𝐾 ≠ 1))
4948biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → 𝐾 ≠ 1))
5049impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ≠ 1)
51 eqneqall 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐾 = 1 → (𝐾 ≠ 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5251com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐾 ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5350, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5453rexlimivw 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∃𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5547, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5655ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5746, 56biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 ≠ ∅ → ((∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5857expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
5958com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6059adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
61603ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6245, 61mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
63623exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6463com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
65643ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6634, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6766impcom 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6867impcom 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6968com13 88 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7032, 69pm2.61i 182 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7122, 70syl6 35 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ 1 < 𝐾 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7271ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 1 < 𝐾 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7372com23 86 . . . . . . . 8 ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
749, 73sylbir 234 . . . . . . 7 (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7574impcom 406 . . . . . 6 ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7675com13 88 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
778, 76mpd 15 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7877com12 32 . . 3 ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7978exp4b 429 . 2 (¬ 1 < 𝐾 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
80 simprl 769 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
81 simpl 481 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
8281ad2antlr 725 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝑉 ∈ Fin)
83 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
8483ad2antlr 725 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝑉 ≠ ∅)
85 simpl 481 . . . . . 6 ((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 < 𝐾)
8685, 26anim12ci 612 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾))
876frgrreggt1 30275 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
8887imp 405 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾)) → 𝐾 = 2)
8980, 82, 84, 86, 88syl31anc 1370 . . . 4 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐾 = 2)
9089olcd 872 . . 3 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
9190exp31 418 . 2 (1 < 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
92 2a1 28 . 2 ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
9379, 91, 92pm2.61ii 183 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  c0 4322   class class class wbr 5149  cfv 6549  Fincfn 8964  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   < clt 11280  cle 11281  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  0*cxnn0 12577  chash 14325  Vtxcvtx 28881  USGraphcusgr 29034  VtxDegcvtxdg 29351   RegUSGraph crusgr 29442   FriendGraph cfrgr 30140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-ac2 10488  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-ac 10141  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-xadd 13128  df-ico 13365  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-word 14501  df-lsw 14549  df-concat 14557  df-s1 14582  df-substr 14627  df-pfx 14657  df-reps 14755  df-csh 14775  df-s2 14835  df-s3 14836  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-prm 16646  df-phi 16738  df-vtx 28883  df-iedg 28884  df-edg 28933  df-uhgr 28943  df-ushgr 28944  df-upgr 28967  df-umgr 28968  df-uspgr 29035  df-usgr 29036  df-fusgr 29202  df-nbgr 29218  df-vtxdg 29352  df-rgr 29443  df-rusgr 29444  df-wlks 29485  df-wlkson 29486  df-trls 29578  df-trlson 29579  df-pths 29602  df-spths 29603  df-pthson 29604  df-spthson 29605  df-wwlks 29713  df-wwlksn 29714  df-wwlksnon 29715  df-wspthsn 29716  df-wspthsnon 29717  df-clwwlk 29864  df-clwwlkn 29907  df-clwwlknon 29970  df-frgr 30141
This theorem is referenced by:  frgrregord013  30277
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