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Theorem frgrreg 29647
Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐾-regular, then 𝐾 must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgrreg ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))

Proof of Theorem frgrreg
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 462 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ↔ (𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝑉 ∈ Fin))
2 ancom 462 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ↔ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
31, 2anbi12i 628 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) ↔ ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )))
43biimpi 215 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )))
54ancomd 463 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝑉 ∈ Fin)))
6 frgrreggt1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
76numclwwlk7lem 29642 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝑉 ∈ Fin)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
85, 7syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
9 neanior 3036 . . . . . . . 8 ((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) ↔ Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
10 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
11 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
12 lenlt 11292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 ≀ 1 ↔ Β¬ 1 < 𝐾))
1310, 11, 12sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 1 ↔ Β¬ 1 < 𝐾))
1413adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ≀ 1 ↔ Β¬ 1 < 𝐾))
15 elnnne0 12486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ β„• ↔ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 β‰  0))
16 nnle1eq1 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ β„• β†’ (𝐾 ≀ 1 ↔ 𝐾 = 1))
1716biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ β„• β†’ (𝐾 ≀ 1 β†’ 𝐾 = 1))
1815, 17sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 β‰  0) β†’ (𝐾 ≀ 1 β†’ 𝐾 = 1))
1918a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 β‰  0) β†’ (𝐾 β‰  2 β†’ (𝐾 ≀ 1 β†’ 𝐾 = 1)))
2019expimpd 455 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) β†’ (𝐾 ≀ 1 β†’ 𝐾 = 1)))
2120impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ≀ 1 β†’ 𝐾 = 1))
2214, 21sylbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 1 < 𝐾 β†’ 𝐾 = 1))
236fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β™―β€˜π‘‰) = (β™―β€˜(Vtxβ€˜πΊ))
2423eqeq1i 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 ↔ (β™―β€˜(Vtxβ€˜πΊ)) = 1)
2524biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (β™―β€˜(Vtxβ€˜πΊ)) = 1)
26 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
28 rusgr1vtx 28845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜(Vtxβ€˜πΊ)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ 𝐾 = 0)
2925, 27, 28syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))) β†’ 𝐾 = 0)
3029orcd 872 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
3130ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
3231a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
33 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
346, 33rusgrprop0 28824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾))
35 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐺 ∈ FriendGraph )
36 hashnncl 14326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• ↔ 𝑉 β‰  βˆ…))
37 df-ne 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β™―β€˜π‘‰) β‰  1 ↔ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1)
38 nngt1ne1 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) ↔ (β™―β€˜π‘‰) β‰  1))
3938biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘‰) β‰  1 β†’ 1 < (β™―β€˜π‘‰)))
4037, 39biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ 1 < (β™―β€˜π‘‰)))
4136, 40syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ 1 < (β™―β€˜π‘‰))))
4241imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ 1 < (β™―β€˜π‘‰)))
4342impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ 1 < (β™―β€˜π‘‰))
446vdgn1frgrv3 29550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1)
4535, 43, 443imp3i2an 1346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1)
46 r19.26 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾))
47 r19.2z 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾))
48 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ↔ 𝐾 β‰  1))
4948biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 β†’ 𝐾 β‰  1))
5049impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ 𝐾 β‰  1)
51 eqneqall 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 β‰  1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5251com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐾 β‰  1 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5350, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5453rexlimivw 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5547, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾)) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5655ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5746, 56biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 β‰  βˆ… β†’ ((βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5857expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
5958com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6059adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
61603ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6245, 61mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
63623exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6463com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
65643ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6634, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6766impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6867impcom 409 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6968com13 88 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7032, 69pm2.61i 182 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 1 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7122, 70syl6 35 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 1 < 𝐾 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7271ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (Β¬ 1 < 𝐾 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7372com23 86 . . . . . . . 8 ((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) β†’ (Β¬ 1 < 𝐾 β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
749, 73sylbir 234 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) β†’ (Β¬ 1 < 𝐾 β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7574impcom 409 . . . . . 6 ((Β¬ 1 < 𝐾 ∧ Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7675com13 88 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ ((Β¬ 1 < 𝐾 ∧ Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
778, 76mpd 15 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ ((Β¬ 1 < 𝐾 ∧ Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7877com12 32 . . 3 ((Β¬ 1 < 𝐾 ∧ Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7978exp4b 432 . 2 (Β¬ 1 < 𝐾 β†’ (Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
80 simprl 770 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ 𝐺 ∈ FriendGraph )
81 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
8281ad2antlr 726 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
83 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
8483ad2antlr 726 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
85 simpl 484 . . . . . 6 ((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ 1 < 𝐾)
8685, 26anim12ci 615 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾))
876frgrreggt1 29646 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) β†’ 𝐾 = 2))
8887imp 408 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾)) β†’ 𝐾 = 2)
8980, 82, 84, 86, 88syl31anc 1374 . . . 4 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ 𝐾 = 2)
9089olcd 873 . . 3 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
9190exp31 421 . 2 (1 < 𝐾 β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
92 2a1 28 . 2 ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
9379, 91, 92pm2.61ii 183 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„•0*cxnn0 12544  β™―chash 14290  Vtxcvtx 28256  USGraphcusgr 28409  VtxDegcvtxdg 28722   RegUSGraph crusgr 28813   FriendGraph cfrgr 29511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-reps 14719  df-csh 14739  df-s2 14799  df-s3 14800  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-vtx 28258  df-iedg 28259  df-edg 28308  df-uhgr 28318  df-ushgr 28319  df-upgr 28342  df-umgr 28343  df-uspgr 28410  df-usgr 28411  df-fusgr 28574  df-nbgr 28590  df-vtxdg 28723  df-rgr 28814  df-rusgr 28815  df-wlks 28856  df-wlkson 28857  df-trls 28949  df-trlson 28950  df-pths 28973  df-spths 28974  df-pthson 28975  df-spthson 28976  df-wwlks 29084  df-wwlksn 29085  df-wwlksnon 29086  df-wspthsn 29087  df-wspthsnon 29088  df-clwwlk 29235  df-clwwlkn 29278  df-clwwlknon 29341  df-frgr 29512
This theorem is referenced by:  frgrregord013  29648
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