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Theorem frgrreg 29380
Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐾-regular, then 𝐾 must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgrreg ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))

Proof of Theorem frgrreg
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 462 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ↔ (𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝑉 ∈ Fin))
2 ancom 462 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ↔ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
31, 2anbi12i 628 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) ↔ ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )))
43biimpi 215 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )))
54ancomd 463 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝑉 ∈ Fin)))
6 frgrreggt1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
76numclwwlk7lem 29375 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝑉 ∈ Fin)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
85, 7syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
9 neanior 3038 . . . . . . . 8 ((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) ↔ Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
10 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
11 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
12 lenlt 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 ≀ 1 ↔ Β¬ 1 < 𝐾))
1310, 11, 12sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 1 ↔ Β¬ 1 < 𝐾))
1413adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ≀ 1 ↔ Β¬ 1 < 𝐾))
15 elnnne0 12434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ β„• ↔ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 β‰  0))
16 nnle1eq1 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ β„• β†’ (𝐾 ≀ 1 ↔ 𝐾 = 1))
1716biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ β„• β†’ (𝐾 ≀ 1 β†’ 𝐾 = 1))
1815, 17sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 β‰  0) β†’ (𝐾 ≀ 1 β†’ 𝐾 = 1))
1918a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 β‰  0) β†’ (𝐾 β‰  2 β†’ (𝐾 ≀ 1 β†’ 𝐾 = 1)))
2019expimpd 455 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) β†’ (𝐾 ≀ 1 β†’ 𝐾 = 1)))
2120impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ≀ 1 β†’ 𝐾 = 1))
2214, 21sylbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 1 < 𝐾 β†’ 𝐾 = 1))
236fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β™―β€˜π‘‰) = (β™―β€˜(Vtxβ€˜πΊ))
2423eqeq1i 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 ↔ (β™―β€˜(Vtxβ€˜πΊ)) = 1)
2524biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (β™―β€˜(Vtxβ€˜πΊ)) = 1)
26 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
28 rusgr1vtx 28578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜(Vtxβ€˜πΊ)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ 𝐾 = 0)
2925, 27, 28syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))) β†’ 𝐾 = 0)
3029orcd 872 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
3130ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
3231a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
33 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
346, 33rusgrprop0 28557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾))
35 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐺 ∈ FriendGraph )
36 hashnncl 14273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• ↔ 𝑉 β‰  βˆ…))
37 df-ne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β™―β€˜π‘‰) β‰  1 ↔ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1)
38 nngt1ne1 12189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) ↔ (β™―β€˜π‘‰) β‰  1))
3938biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘‰) β‰  1 β†’ 1 < (β™―β€˜π‘‰)))
4037, 39biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ 1 < (β™―β€˜π‘‰)))
4136, 40syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ 1 < (β™―β€˜π‘‰))))
4241imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ 1 < (β™―β€˜π‘‰)))
4342impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ 1 < (β™―β€˜π‘‰))
446vdgn1frgrv3 29283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1)
4535, 43, 443imp3i2an 1346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1)
46 r19.26 3115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾))
47 r19.2z 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾))
48 neeq1 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ↔ 𝐾 β‰  1))
4948biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 β†’ 𝐾 β‰  1))
5049impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ 𝐾 β‰  1)
51 eqneqall 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 β‰  1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5251com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐾 β‰  1 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5350, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5453rexlimivw 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5547, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾)) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5655ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5746, 56biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 β‰  βˆ… β†’ ((βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5857expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
5958com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6059adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
61603ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β‰  1 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6245, 61mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
63623exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6463com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
65643ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6634, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6766impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6867impcom 409 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 1 β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6968com13 88 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐾 = 1 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7032, 69pm2.61i 182 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 1 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7122, 70syl6 35 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 1 < 𝐾 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7271ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (Β¬ 1 < 𝐾 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7372com23 86 . . . . . . . 8 ((𝐾 β‰  0 ∧ 𝐾 β‰  2) β†’ (Β¬ 1 < 𝐾 β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
749, 73sylbir 234 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) β†’ (Β¬ 1 < 𝐾 β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7574impcom 409 . . . . . 6 ((Β¬ 1 < 𝐾 ∧ Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7675com13 88 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ ((Β¬ 1 < 𝐾 ∧ Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
778, 76mpd 15 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ ((Β¬ 1 < 𝐾 ∧ Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7877com12 32 . . 3 ((Β¬ 1 < 𝐾 ∧ Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) β†’ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7978exp4b 432 . 2 (Β¬ 1 < 𝐾 β†’ (Β¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
80 simprl 770 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ 𝐺 ∈ FriendGraph )
81 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
8281ad2antlr 726 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
83 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
8483ad2antlr 726 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
85 simpl 484 . . . . . 6 ((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ 1 < 𝐾)
8685, 26anim12ci 615 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾))
876frgrreggt1 29379 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) β†’ 𝐾 = 2))
8887imp 408 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾)) β†’ 𝐾 = 2)
8980, 82, 84, 86, 88syl31anc 1374 . . . 4 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ 𝐾 = 2)
9089olcd 873 . . 3 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
9190exp31 421 . 2 (1 < 𝐾 β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
92 2a1 28 . 2 ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) β†’ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
9379, 91, 92pm2.61ii 183 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  Fincfn 8890  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   < clt 11196   ≀ cle 11197  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„•0*cxnn0 12492  β™―chash 14237  Vtxcvtx 27989  USGraphcusgr 28142  VtxDegcvtxdg 28455   RegUSGraph crusgr 28546   FriendGraph cfrgr 29244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-reps 14664  df-csh 14684  df-s2 14744  df-s3 14745  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645  df-vtx 27991  df-iedg 27992  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-ushgr 28052  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-fusgr 28307  df-nbgr 28323  df-vtxdg 28456  df-rgr 28547  df-rusgr 28548  df-wlks 28589  df-wlkson 28590  df-trls 28682  df-trlson 28683  df-pths 28706  df-spths 28707  df-pthson 28708  df-spthson 28709  df-wwlks 28817  df-wwlksn 28818  df-wwlksnon 28819  df-wspthsn 28820  df-wspthsnon 28821  df-clwwlk 28968  df-clwwlkn 29011  df-clwwlknon 29074  df-frgr 29245
This theorem is referenced by:  frgrregord013  29381
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