Theorem frgrreg 30928

Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐾-regular, then 𝐾 must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrreggt1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrreg	⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))

Proof of Theorem frgrreg

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ↔ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
2		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ↔ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
3	1, 2	anbi12i 640	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) ↔ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )))
4	3	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )))
5	4	ancomd 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)))
6		frgrreggt1.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7	6	numclwwlk7lem 30923	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	5, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9		neanior 3048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ↔ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
10		nn0re 12584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
11		1re 11279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		lenlt 11359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
13	10, 11, 12	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
15		elnnne0 12589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0))
16		nnle1eq1 12337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 = 1))
17	16	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
18	15, 17	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
19	18	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ≠ 2 → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1)))
20	19	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1)))
21	20	impcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
22	14, 21	sylbird 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ 1 < 𝐾 → 𝐾 = 1))
23	6	fveq2i 6876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (♯‘𝑉) = (♯‘(Vtx‘𝐺))
24	23	eqeq1i 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 ↔ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
25	24	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
26		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
27	26	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
28		rusgr1vtx 30102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 = 0)
29	25, 27, 28	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))) → 𝐾 = 0)
30	29	orcd 887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
31	30	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
32	31	a1d 26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
33		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
34	6, 33	rusgrprop0 30081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
35		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
36		hashnncl 14477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑉 ≠ ∅))
37		df-ne 2956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑉) ≠ 1 ↔ ¬ (♯‘𝑉) = 1)
38		nngt1ne1 12336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (1 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≠ 1))
39	38	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) ≠ 1 → 1 < (♯‘𝑉)))
40	37, 39	biimtrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → 1 < (♯‘𝑉)))
41	36, 40	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → 1 < (♯‘𝑉))))
42	41	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → 1 < (♯‘𝑉)))
43	42	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 < (♯‘𝑉))
44	6	vdgn1frgrv3 30831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1)
45	35, 43, 44	3imp3i2an 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1)
46		r19.26 3122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
47		r19.2z 4454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
48		neeq1 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ↔ 𝐾 ≠ 1))
49	48	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → 𝐾 ≠ 1))
50	49	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ≠ 1)
51		eqneqall 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐾 = 1 → (𝐾 ≠ 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
52	51	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐾 ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
53	50, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
54	53	rexlimivw 3159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
55	47, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
56	55	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
57	46, 56	biimtrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → ((∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
58	57	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
59	58	com34 92	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
60	59	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
61	60	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
62	45, 61	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝐾 = 1 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
63	62	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
64	63	com15 102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
65	64	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
66	34, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
67	66	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
68	67	impcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
69	68	com13 89	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
70	32, 69	pm2.61i 184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
71	22, 70	syl6 36	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ 1 < 𝐾 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
72	71	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 1 < 𝐾 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
73	72	com23 87	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
74	9, 73	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
75	74	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
76	75	com13 89	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
77	8, 76	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
78	77	com12 33	. . 3 ⊢ ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
79	78	exp4b 436	. 2 ⊢ (¬ 1 < 𝐾 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
80		simprl 783	. . . . 5 ⊢ (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
81		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
82	81	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝑉 ∈ Fin)
83		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
84	83	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝑉 ≠ ∅)
85		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 < 𝐾)
86	85, 26	anim12ci 626	. . . . 5 ⊢ (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾))
87	6	frgrreggt1 30927	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
88	87	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾)) → 𝐾 = 2)
89	80, 82, 84, 86, 88	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐾 = 2)
90	89	olcd 888	. . 3 ⊢ (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
91	90	exp31 425	. 2 ⊢ (1 < 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
92		2a1 29	. 2 ⊢ ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
93	79, 91, 92	pm2.61ii 185	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  Fincfn 8951  ℝcr 11170  0cc0 11171  1c1 11172   < clt 11314   ≤ cle 11315  ℕcn 12304  2c2 12366  ℕ₀cn0 12575  ℕ₀^*cxnn0 12648  ♯chash 14441  Vtxcvtx 29507  USGraphcusgr 29663  VtxDegcvtxdg 29979   RegUSGraph crusgr 30070   FriendGraph cfrgr 30792

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-rp 13090  df-xadd 13211  df-ico 13451  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-word 14626  df-lsw 14675  df-concat 14683  df-s1 14710  df-substr 14756  df-pfx 14788  df-reps 14887  df-csh 14907  df-s2 14966  df-s3 14967  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-clim 15622  df-sum 15821  df-dvds 16390  df-gcd 16632  df-prm 16809  df-phi 16904  df-vtx 29509  df-iedg 29510  df-edg 29559  df-uhgr 29569  df-ushgr 29570  df-upgr 29593  df-umgr 29594  df-uspgr 29664  df-usgr 29665  df-fusgr 29831  df-nbgr 29847  df-vtxdg 29980  df-rgr 30071  df-rusgr 30072  df-wlks 30113  df-wlkson 30114  df-trls 30208  df-trlson 30209  df-pths 30232  df-spths 30233  df-pthson 30234  df-spthson 30235  df-wwlks 30352  df-wwlksn 30353  df-wwlksnon 30354  df-wspthsn 30355  df-wspthsnon 30356  df-clwwlk 30506  df-clwwlkn 30549  df-clwwlknon 30612  df-frgr 30793

This theorem is used by:  frgrregord013  30929