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Theorem frgrreg 27808
Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐾-regular, then 𝐾 must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrreg ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))

Proof of Theorem frgrreg
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 454 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ↔ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
2 ancom 454 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ↔ (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
31, 2anbi12i 622 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) ↔ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph )))
43biimpi 208 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph )))
54ancomd 455 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)))
6 frgrreggt1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
76numclwwlk7lem 27803 . . . . . 6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
85, 7syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9 neanior 3090 . . . . . . . 8 ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ↔ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
10 nn0re 11627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
11 1re 10355 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
12 lenlt 10434 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
1310, 11, 12sylancl 582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
1413adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
15 elnnne0 11633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
16 nnle1eq1 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 = 1))
1716biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
1815, 17sylbir 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
1918a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ≠ 2 → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1)))
2019expimpd 447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1)))
2120impcom 398 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
2214, 21sylbird 252 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ 1 < 𝐾𝐾 = 1))
236fveq2i 6435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘𝑉) = (♯‘(Vtx‘𝐺))
2423eqeq1i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑉) = 1 ↔ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
2524biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
26 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
2726adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
28 rusgr1vtx 26885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → 𝐾 = 0)
2925, 27, 28syl2an 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾))) → 𝐾 = 0)
3029orcd 906 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾))) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
3130ex 403 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
3231a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
33 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
346, 33rusgrprop0 26864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺RegUSGraph𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
35 simp2 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
36 hashnncl 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑉 ≠ ∅))
37 df-ne 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑉) ≠ 1 ↔ ¬ (♯‘𝑉) = 1)
38 nngt1ne1 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (1 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≠ 1))
3938biimprd 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) ≠ 1 → 1 < (♯‘𝑉)))
4037, 39syl5bir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → 1 < (♯‘𝑉)))
4136, 40syl6bir 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → 1 < (♯‘𝑉))))
4241imp 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → 1 < (♯‘𝑉)))
4342impcom 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 < (♯‘𝑉))
446vdgn1frgrv3 27677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1)
4535, 43, 443imp3i2an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1)
46 r19.26 3273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) ↔ (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
47 r19.2z 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)) → ∃𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
48 neeq1 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ↔ 𝐾 ≠ 1))
4948biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → 𝐾 ≠ 1))
5049impcom 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ≠ 1)
51 eqneqall 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐾 = 1 → (𝐾 ≠ 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5251com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐾 ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5350, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5453rexlimivw 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∃𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5547, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5655ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5746, 56syl5bir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 ≠ ∅ → ((∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5857expd 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
5958com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6059adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
61603ad2ant3 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6245, 61mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
63623exp 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6463com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
65643ad2ant3 1171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6634, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺RegUSGraph𝐾 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6766impcom 398 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6867impcom 398 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 1 → (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6968com13 88 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (♯‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7032, 69pm2.61i 177 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7122, 70syl6 35 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ 1 < 𝐾 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7271ex 403 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 1 < 𝐾 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7372com23 86 . . . . . . . 8 ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
749, 73sylbir 227 . . . . . . 7 (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7574impcom 398 . . . . . 6 ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7675com13 88 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
778, 76mpd 15 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7877com12 32 . . 3 ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7978exp4b 423 . 2 (¬ 1 < 𝐾 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
80 simprl 789 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
81 simpl 476 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
8281ad2antlr 720 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → 𝑉 ∈ Fin)
83 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
8483ad2antlr 720 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → 𝑉 ≠ ∅)
85 simpl 476 . . . . . 6 ((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 < 𝐾)
8685, 26anim12ci 609 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 1 < 𝐾))
876frgrreggt1 27807 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
8887imp 397 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 1 < 𝐾)) → 𝐾 = 2)
8980, 82, 84, 86, 88syl31anc 1498 . . . 4 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → 𝐾 = 2)
9089olcd 907 . . 3 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
9190exp31 412 . 2 (1 < 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
92 2a1 28 . 2 ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
9379, 91, 92pm2.61ii 178 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 880  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998  wral 3116  wrex 3117  c0 4143   class class class wbr 4872  cfv 6122  Fincfn 8221  cr 10250  0cc0 10251  1c1 10252   < clt 10390  cle 10391  cn 11349  2c2 11405  0cn0 11617  0*cxnn0 11689  chash 13409  Vtxcvtx 26293  USGraphcusgr 26447  VtxDegcvtxdg 26762  RegUSGraphcrusgr 26853   FriendGraph cfrgr 27636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-ac2 9599  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-ifp 1092  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-disj 4841  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-ec 8010  df-qs 8014  df-map 8123  df-pm 8124  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-ac 9251  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-xnn0 11690  df-z 11704  df-uz 11968  df-rp 12112  df-xadd 12232  df-ico 12468  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-mod 12963  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-word 13574  df-lsw 13622  df-concat 13630  df-s1 13655  df-substr 13700  df-pfx 13749  df-reps 13884  df-csh 13905  df-s2 13968  df-s3 13969  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595  df-sum 14793  df-dvds 15357  df-gcd 15589  df-prm 15757  df-phi 15841  df-vtx 26295  df-iedg 26296  df-edg 26345  df-uhgr 26355  df-ushgr 26356  df-upgr 26379  df-umgr 26380  df-uspgr 26448  df-usgr 26449  df-fusgr 26613  df-nbgr 26629  df-vtxdg 26763  df-rgr 26854  df-rusgr 26855  df-wlks 26896  df-wlkson 26897  df-trls 26992  df-trlson 26993  df-pths 27017  df-spths 27018  df-pthson 27019  df-spthson 27020  df-wwlks 27128  df-wwlksn 27129  df-wwlksnon 27130  df-wspthsn 27131  df-wspthsnon 27132  df-clwwlk 27310  df-clwwlkn 27363  df-clwwlknon 27458  df-frgr 27637
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