MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnnlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwnnlem3 16959
Description: Lemma for vdwnn 16960. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})}
vdwnn.4 (𝜑 → ∀𝑐𝑅 𝑆 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem3 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝑐   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)   𝑅(𝑘,𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwnn.1 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
2 vdwnn.3 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})}
32ssrab3 4076 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℕ
4 nnuz 12889 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
53, 4sseqtri 4014 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℤ‘1)
6 vdwnn.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑐𝑅 𝑆 ≠ ∅)
76r19.21bi 3244 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝑅) → 𝑆 ≠ ∅)
8 infssuzcl 12940 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
95, 7, 8sylancr 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
103, 9sselid 3976 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
1110nnred 12251 . . . 4 ((𝜑𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1211ralrimiva 3142 . . 3 (𝜑 → ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
13 fimaxre3 12184 . . 3 ((𝑅 ∈ Fin ∧ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
141, 12, 13syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
15 vdwnn.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑅)
16 1nn 12247 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
17 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
1815, 16, 17sylancl 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
1918ne0d 4331 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ ∅)
21 r19.2z 4490 . . . . . . 7 ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥) → ∃𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
2221ex 412 . . . . . 6 (𝑅 ≠ ∅ → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
2320, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
24 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ)
25 fllep1 13792 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
2711adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2824flcld 13789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
2928peano2zd 12693 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
3029zred 12690 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
31 letr 11332 . . . . . . . . . 10 ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
3227, 24, 30, 31syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
3326, 32mpan2d 693 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
3410adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
3534nnzd 12609 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ)
36 eluz 12860 . . . . . . . . . 10 ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
3735, 29, 36syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
38 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → 𝜑)
399adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
401, 15, 2vdwnnlem2 16958 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < ))) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
4140impancom 451 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
4238, 39, 41syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
4337, 42sylbird 260 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
4433, 43syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
453sseli 3974 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
4645nnnn0d 12556 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
4744, 46syl6 35 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
4847rexlimdva 3151 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
491adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
5015adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
51 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
52 vdwnnlem1 16957 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
5349, 50, 51, 52syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
5453ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
5554adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
5623, 48, 553syld 60 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
57 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (𝑘 − 1) = (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))
5857oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
5958raleqdv 3321 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
60592rexbidv 3215 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6160notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6261, 2elrab2 3684 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 ↔ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6362simprbi 496 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
6444, 63syl6 35 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6564ralimdva 3163 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑐𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
66 ralnex 3068 . . . . 5 (∀𝑐𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
6765, 66imbitrdi 250 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6856, 67pm2.65d 195 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
6968nrexdv 3145 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
7014, 69pm2.65i 193 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  wral 3057  wrex 3066  {crab 3428  wss 3945  c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5142  ccnv 5671  cima 5675  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8957  infcinf 9458  cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137   < clt 11272  cle 11273  cmin 11468  cn 12236  0cn0 12496  cz 12582  cuz 12846  ...cfz 13510  cfl 13781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fl 13783  df-hash 14316  df-vdwap 16930  df-vdwmc 16931  df-vdwpc 16932
This theorem is referenced by:  vdwnn  16960
  Copyright terms: Public domain W3C validator