MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnnlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwnnlem3 16965
Description: Lemma for vdwnn 16966. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘…)
vdwnn.3 𝑆 = {π‘˜ ∈ β„• ∣ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})}
vdwnn.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 𝑆 β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem3 Β¬ πœ‘
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑐   πœ‘,π‘Ž,𝑐,𝑑   𝑅,π‘Ž,𝑐,𝑑   𝐹,π‘Ž   π‘˜,𝑐,𝐹,𝑑,π‘š   𝑆,π‘Ž,𝑑,π‘˜,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜,π‘š)   𝑅(π‘˜,π‘š)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwnn.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
2 vdwnn.3 . . . . . . 7 𝑆 = {π‘˜ ∈ β„• ∣ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})}
32ssrab3 4072 . . . . . 6 𝑆 βŠ† β„•
4 nnuz 12895 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
53, 4sseqtri 4009 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
6 vdwnn.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 𝑆 β‰  βˆ…)
76r19.21bi 3239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
8 infssuzcl 12946 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
95, 7, 8sylancr 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
103, 9sselid 3970 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ β„•)
1110nnred 12257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1211ralrimiva 3136 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
13 fimaxre3 12190 . . 3 ((𝑅 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯)
141, 12, 13syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯)
15 vdwnn.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘…)
16 1nn 12253 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
17 ffvelcdm 7086 . . . . . . . . 9 ((𝐹:β„•βŸΆπ‘… ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑅)
1815, 16, 17sylancl 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑅)
1918ne0d 4331 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
2019adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
21 r19.2z 4490 . . . . . . 7 ((𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯)
2221ex 411 . . . . . 6 (𝑅 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯))
2320, 22syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯))
24 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
25 fllep1 13798 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1))
2711adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2824flcld 13795 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
2928peano2zd 12699 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„€)
3029zred 12696 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ)
31 letr 11338 . . . . . . . . . 10 ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ) β†’ ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))
3227, 24, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))
3326, 32mpan2d 692 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))
3410adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ β„•)
3534nnzd 12615 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ β„€)
36 eluz 12866 . . . . . . . . . 10 ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ β„€ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„€) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))
3735, 29, 36syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))
38 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ πœ‘)
399adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
401, 15, 2vdwnnlem2 16964 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜inf(𝑆, ℝ, < ))) β†’ (inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆))
4140impancom 450 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜inf(𝑆, ℝ, < )) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆))
4238, 39, 41syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜inf(𝑆, ℝ, < )) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆))
4337, 42sylbird 259 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆))
4433, 43syld 47 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆))
453sseli 3968 . . . . . . . 8 (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•)
4645nnnn0d 12562 . . . . . . 7 (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0)
4744, 46syl6 35 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0))
4847rexlimdva 3145 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0))
491adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
5015adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘…)
51 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0)
52 vdwnnlem1 16963 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:β„•βŸΆπ‘… ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}))
5349, 50, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}))
5453ex 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
5554adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
5623, 48, 553syld 60 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
57 oveq1 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))
5857oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) β†’ (0...(π‘˜ βˆ’ 1)) = (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1)))
5958raleqdv 3315 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}) ↔ βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
60592rexbidv 3210 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
6160notbid 317 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}) ↔ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
6261, 2elrab2 3677 . . . . . . . 8 (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆 ↔ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„• ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
6362simprbi 495 . . . . . . 7 (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆 β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}))
6444, 63syl6 35 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
6564ralimdva 3157 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
66 ralnex 3062 . . . . 5 (βˆ€π‘ ∈ 𝑅 Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}) ↔ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}))
6765, 66imbitrdi 250 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
6856, 67pm2.65d 195 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯)
6968nrexdv 3139 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯)
7014, 69pm2.65i 193 1 Β¬ πœ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5143  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  infcinf 9464  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  βŒŠcfl 13787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fl 13789  df-hash 14322  df-vdwap 16936  df-vdwmc 16937  df-vdwpc 16938
This theorem is referenced by:  vdwnn  16966
  Copyright terms: Public domain W3C validator