Theorem vdwnnlem3 16869

Description: Lemma for vdwnn 16870. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwnn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3	⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}
vdwnn.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem3	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝑐   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)   𝑅(𝑘,𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwnn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
2		vdwnn.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}
3	2	ssrab3 4040	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ
4		nnuz 12806	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	sseqtri 3980	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘1)
6		vdwnn.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 𝑆 ≠ ∅)
7	6	r19.21bi 3234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑆 ≠ ∅)
8		infssuzcl 12857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
9	5, 7, 8	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
10	3, 9	sselid 3942	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
11	10	nnred 12168	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
12	11	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
13		fimaxre3 12101	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
14	1, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
15		vdwnn.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
16		1nn 12164	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
17		ffvelcdm 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
18	15, 16, 17	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
19	18	ne0d 4295	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
20	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ ∅)
21		r19.2z 4452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
22	21	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
23	20, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
24		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ)
25		fllep1 13706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
27	11	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
28	24	flcld 13703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
29	28	peano2zd 12610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
30	29	zred 12607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
31		letr 11249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
32	27, 24, 30, 31	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
33	26, 32	mpan2d 692	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
34	10	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ)
36		eluz 12777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
37	35, 29, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
38		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝜑)
39	9	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
40	1, 15, 2	vdwnnlem2 16868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < ))) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
41	40	impancom 452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
42	38, 39, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
43	37, 42	sylbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
44	33, 43	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
45	3	sseli 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
46	45	nnnn0d 12473	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
47	44, 46	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
48	47	rexlimdva 3152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
49	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
50	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
51		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
52		vdwnnlem1 16867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
54	53	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
55	54	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
56	23, 48, 55	3syld 60	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
57		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (𝑘 − 1) = (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))
58	57	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
59	58	raleqdv 3313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
60	59	2rexbidv 3213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
61	60	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
62	61, 2	elrab2 3648	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 ↔ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
63	62	simprbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
64	44, 63	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
65	64	ralimdva 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
66		ralnex 3075	. . . . 5 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
67	65, 66	syl6ib 250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
68	56, 67	pm2.65d 195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
69	68	nrexdv 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
70	14, 69	pm2.65i 193	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  {crab 3407   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  ^◡ccnv 5632   “ cima 5636  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  infcinf 9377  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13424  ⌊cfl 13695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-hash 14231  df-vdwap 16840  df-vdwmc 16841  df-vdwpc 16842

This theorem is referenced by:  vdwnn  16870