MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnnlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwnnlem3 16939
Description: Lemma for vdwnn 16940. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘…)
vdwnn.3 𝑆 = {π‘˜ ∈ β„• ∣ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})}
vdwnn.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 𝑆 β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem3 Β¬ πœ‘
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑐   πœ‘,π‘Ž,𝑐,𝑑   𝑅,π‘Ž,𝑐,𝑑   𝐹,π‘Ž   π‘˜,𝑐,𝐹,𝑑,π‘š   𝑆,π‘Ž,𝑑,π‘˜,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜,π‘š)   𝑅(π‘˜,π‘š)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwnn.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
2 vdwnn.3 . . . . . . 7 𝑆 = {π‘˜ ∈ β„• ∣ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})}
32ssrab3 4075 . . . . . 6 𝑆 βŠ† β„•
4 nnuz 12869 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
53, 4sseqtri 4013 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
6 vdwnn.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 𝑆 β‰  βˆ…)
76r19.21bi 3242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
8 infssuzcl 12920 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
95, 7, 8sylancr 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
103, 9sselid 3975 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ β„•)
1110nnred 12231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1211ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
13 fimaxre3 12164 . . 3 ((𝑅 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯)
141, 12, 13syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯)
15 vdwnn.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘…)
16 1nn 12227 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
17 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . 9 ((𝐹:β„•βŸΆπ‘… ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑅)
1815, 16, 17sylancl 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑅)
1918ne0d 4330 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
21 r19.2z 4489 . . . . . . 7 ((𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯)
2221ex 412 . . . . . 6 (𝑅 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯))
2320, 22syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯))
24 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
25 fllep1 13772 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1))
2711adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2824flcld 13769 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
2928peano2zd 12673 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„€)
3029zred 12670 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ)
31 letr 11312 . . . . . . . . . 10 ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ) β†’ ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))
3227, 24, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))
3326, 32mpan2d 691 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))
3410adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ β„•)
3534nnzd 12589 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ β„€)
36 eluz 12840 . . . . . . . . . 10 ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ β„€ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„€) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))
3735, 29, 36syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))
38 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ πœ‘)
399adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
401, 15, 2vdwnnlem2 16938 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜inf(𝑆, ℝ, < ))) β†’ (inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆))
4140impancom 451 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜inf(𝑆, ℝ, < )) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆))
4238, 39, 41syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜inf(𝑆, ℝ, < )) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆))
4337, 42sylbird 260 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆))
4433, 43syld 47 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆))
453sseli 3973 . . . . . . . 8 (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•)
4645nnnn0d 12536 . . . . . . 7 (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0)
4744, 46syl6 35 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0))
4847rexlimdva 3149 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0))
491adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
5015adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘…)
51 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0)
52 vdwnnlem1 16937 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:β„•βŸΆπ‘… ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}))
5349, 50, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}))
5453ex 412 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
5554adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
5623, 48, 553syld 60 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
57 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))
5857oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) β†’ (0...(π‘˜ βˆ’ 1)) = (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1)))
5958raleqdv 3319 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}) ↔ βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
60592rexbidv 3213 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
6160notbid 318 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}) ↔ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
6261, 2elrab2 3681 . . . . . . . 8 (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆 ↔ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„• ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
6362simprbi 496 . . . . . . 7 (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ 𝑆 β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}))
6444, 63syl6 35 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
6564ralimdva 3161 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
66 ralnex 3066 . . . . 5 (βˆ€π‘ ∈ 𝑅 Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}) ↔ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐}))
6765, 66imbitrdi 250 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯ β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ (0...(((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ 1))(π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
6856, 67pm2.65d 195 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯)
6968nrexdv 3143 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≀ π‘₯)
7014, 69pm2.65i 193 1 Β¬ πœ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  infcinf 9438  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  βŒŠcfl 13761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-hash 14296  df-vdwap 16910  df-vdwmc 16911  df-vdwpc 16912
This theorem is referenced by:  vdwnn  16940
  Copyright terms: Public domain W3C validator