Theorem vdwnnlem3 16323

Description: Lemma for vdwnn 16324. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwnn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3	⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}
vdwnn.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem3	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝑐   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)   𝑅(𝑘,𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwnn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
2		vdwnn.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}
3	2	ssrab3 4008	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ
4		nnuz 12269	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	sseqtri 3951	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘1)
6		vdwnn.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 𝑆 ≠ ∅)
7	6	r19.21bi 3173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑆 ≠ ∅)
8		infssuzcl 12320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
9	5, 7, 8	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
10	3, 9	sseldi 3913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
11	10	nnred 11640	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
12	11	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
13		fimaxre3 11575	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
14	1, 12, 13	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
15		vdwnn.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
16		1nn 11636	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
17		ffvelrn 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
18	15, 16, 17	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
19	18	ne0d 4251	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
20	19	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ ∅)
21		r19.2z 4398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
22	21	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
23	20, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
24		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ)
25		fllep1 13166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
27	11	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
28	24	flcld 13163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
29	28	peano2zd 12078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
30	29	zred 12075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
31		letr 10723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
32	27, 24, 30, 31	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
33	26, 32	mpan2d 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
34	10	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ)
36		eluz 12245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
37	35, 29, 36	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
38		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝜑)
39	9	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
40	1, 15, 2	vdwnnlem2 16322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < ))) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
41	40	impancom 455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
42	38, 39, 41	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
43	37, 42	sylbird 263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
44	33, 43	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
45	3	sseli 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
46	45	nnnn0d 11943	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
47	44, 46	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
48	47	rexlimdva 3243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
49	1	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
50	15	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
51		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
52		vdwnnlem1 16321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
54	53	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
55	54	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
56	23, 48, 55	3syld 60	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
57		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (𝑘 − 1) = (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))
58	57	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
59	58	raleqdv 3364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
60	59	2rexbidv 3259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
61	60	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
62	61, 2	elrab2 3631	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 ↔ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
63	62	simprbi 500	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
64	44, 63	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
65	64	ralimdva 3144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
66		ralnex 3199	. . . . 5 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
67	65, 66	syl6ib 254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
68	56, 67	pm2.65d 199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
69	68	nrexdv 3229	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
70	14, 69	pm2.65i 197	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5030  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  infcinf 8889  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  ⌊cfl 13155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fl 13157  df-hash 13687  df-vdwap 16294  df-vdwmc 16295  df-vdwpc 16296

This theorem is referenced by:  vdwnn  16324