Theorem vdwnnlem3 16335

Description: Lemma for vdwnn 16336. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwnn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3	⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}
vdwnn.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem3	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝑐   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)   𝑅(𝑘,𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwnn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
2		vdwnn.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}
3	2	ssrab3 4059	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ
4		nnuz 12284	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	sseqtri 4005	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘1)
6		vdwnn.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 𝑆 ≠ ∅)
7	6	r19.21bi 3210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑆 ≠ ∅)
8		infssuzcl 12335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
9	5, 7, 8	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
10	3, 9	sseldi 3967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
11	10	nnred 11655	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
12	11	ralrimiva 3184	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
13		fimaxre3 11589	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
14	1, 12, 13	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
15		vdwnn.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
16		1nn 11651	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
17		ffvelrn 6851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
18	15, 16, 17	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
19	18	ne0d 4303	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
20	19	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ ∅)
21		r19.2z 4442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
22	21	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
23	20, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
24		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ)
25		fllep1 13174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
27	11	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
28	24	flcld 13171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
29	28	peano2zd 12093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
30	29	zred 12090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
31		letr 10736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
32	27, 24, 30, 31	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
33	26, 32	mpan2d 692	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
34	10	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ)
36		eluz 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
37	35, 29, 36	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
38		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝜑)
39	9	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
40	1, 15, 2	vdwnnlem2 16334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < ))) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
41	40	impancom 454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
42	38, 39, 41	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
43	37, 42	sylbird 262	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
44	33, 43	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
45	3	sseli 3965	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
46	45	nnnn0d 11958	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
47	44, 46	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
48	47	rexlimdva 3286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
49	1	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
50	15	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
51		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
52		vdwnnlem1 16333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
54	53	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
55	54	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
56	23, 48, 55	3syld 60	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
57		oveq1 7165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (𝑘 − 1) = (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))
58	57	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
59	58	raleqdv 3417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
60	59	2rexbidv 3302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
61	60	notbid 320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
62	61, 2	elrab2 3685	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 ↔ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
63	62	simprbi 499	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
64	44, 63	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
65	64	ralimdva 3179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
66		ralnex 3238	. . . . 5 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
67	65, 66	syl6ib 253	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
68	56, 67	pm2.65d 198	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
69	68	nrexdv 3272	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
70	14, 69	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  {crab 3144   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  {csn 4569   class class class wbr 5068  ^◡ccnv 5556   “ cima 5560  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  infcinf 8907  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  ⌊cfl 13163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fl 13165  df-hash 13694  df-vdwap 16306  df-vdwmc 16307  df-vdwpc 16308

This theorem is referenced by:  vdwnn  16336