Theorem vdwnnlem3 17114

Description: Lemma for vdwnn 17115. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwnn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3	⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}
vdwnn.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem3	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝑐   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘, 𝑚)   𝑅(𝑘, 𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwnn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
2		vdwnn.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})}
3	2	ssrab3 4030	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ
4		nnuz 12951	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	sseqtri 3979	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘1)
6		vdwnn.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 𝑆 ≠ ∅)
7	6	r19.21bi 3254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑆 ≠ ∅)
8		infssuzcl 13006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
9	5, 7, 8	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
10	3, 9	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
11	10	nnred 12297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
12	11	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
13		fimaxre3 12210	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
14	1, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
15		vdwnn.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
16		1nn 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
17		ffvelcdm 7077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
18	15, 16, 17	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
19	18	ne0d 4288	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ ∅)
21		r19.2z 4455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
22	21	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
23	20, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
24		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ)
25		fllep1 13887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
27	11	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
28	24	flcld 13884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
29	28	peano2zd 12753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
30	29	zred 12750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
31		letr 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
32	27, 24, 30, 31	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
33	26, 32	mpan2d 707	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
34	10	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ)
36		eluz 12926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
37	35, 29, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
38		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝜑)
39	9	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
40	1, 15, 2	vdwnnlem2 17113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < ))) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
41	40	impancom 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
42	38, 39, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ≥‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
43	37, 42	sylbird 263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
44	33, 43	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
45	3	sseli 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
46	45	nnnn0d 12614	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
47	44, 46	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
48	47	rexlimdva 3163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
49	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
50	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
51		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
52		vdwnnlem1 17112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
54	53	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
55	54	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
56	23, 48, 55	3syld 61	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
57		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (𝑘 − 1) = (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))
58	57	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
59	58	raleqdv 3319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
60	59	2rexbidv 3227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
61	60	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
62	61, 2	elrab2 3649	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 ↔ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
63	62	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
64	44, 63	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
65	64	ralimdva 3174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑐 ∈ 𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
66		ralnex 3088	. . . . 5 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
67	65, 66	imbitrdi 254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
68	56, 67	pm2.65d 199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
69	68	nrexdv 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ 𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
70	14, 69	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝜑

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Fincfn 8959  infcinf 9418  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11490  ℕcn 12282  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12640  ℤ_≥cuz 12912  ...cfz 13586  ⌊cfl 13876

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-inf 9420  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-n0 12554  df-xnn0 12627  df-z 12641  df-uz 12913  df-rp 13068  df-fz 13587  df-fl 13878  df-hash 14420  df-vdwap 17085  df-vdwmc 17086  df-vdwpc 17087

This theorem is used by:  vdwnn  17115