Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbnd2 37162
Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isbnd2 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝑀   𝑋,π‘Ÿ,π‘₯

Proof of Theorem isbnd2
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbndx 37161 . . 3 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
21anbi1i 623 . 2 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…))
3 anass 468 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))
4 r19.2z 4489 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
54ancoms 458 . . . 4 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
6 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
76eqeq2d 2737 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
8 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠))
98eqeq2d 2737 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)))
107, 9cbvrex2vw 3233 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠))
11 2rp 12982 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
12 rpmulcl 13000 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
1311, 12mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
1413ad2antll 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
1514ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
16 rpcn 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
17 2cnd 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 2 ∈ β„‚)
18 2ne0 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 β‰  0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 2 β‰  0)
20 divcan3 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ ((2 Β· 𝑠) / 2) = 𝑠)
2120eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ 𝑠 = ((2 Β· 𝑠) / 2))
2216, 17, 19, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 𝑠 = ((2 Β· 𝑠) / 2))
2322oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))
2423eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) ↔ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
2625ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
2827imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))
30 eleq2 2816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↔ π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
3130biimpac 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))
32 2re 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
33 rpre 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
34 remulcl 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ)
3532, 33, 34sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ)
36 blhalf 24262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ ((2 Β· 𝑠) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
3736expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠))))
3835, 37sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠))))
3938anasss 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠))))
4039imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4131, 40sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4241anassrs 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4329, 42eqsstrd 4015 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4428, 43syldan 590 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4513adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
46 rpxr 12986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ*)
47 blssm 24275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
4846, 47syl3an3 1162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
49483expa 1115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
5045, 49sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
5150an32s 649 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
5251adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
5344, 52eqssd 3994 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
54 oveq2 7412 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = (2 Β· 𝑠) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
5554rspceeqv 3628 . . . . . . . . . 10 (((2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
5615, 53, 55syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
5756ex 412 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
5857ralrimdva 3148 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
5958rexlimdvva 3205 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
6010, 59biimtrid 241 . . . . 5 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
61 rexn0 4505 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6261a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…))
6360, 62jcad 512 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))
645, 63impbid2 225 . . 3 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
6564pm5.32i 574 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
662, 3, 653bitri 297 1 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   Β· cmul 11114  β„*cxr 11248   / cdiv 11872  2c2 12268  β„+crp 12977  βˆžMetcxmet 21221  ballcbl 21223  Bndcbnd 37146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-ec 8704  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-bnd 37158
This theorem is referenced by:  isbnd3  37163  blbnd  37166  ssbnd  37167
  Copyright terms: Public domain W3C validator