Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbnd2 37256
Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isbnd2 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝑀   𝑋,π‘Ÿ,π‘₯

Proof of Theorem isbnd2
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbndx 37255 . . 3 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
21anbi1i 623 . 2 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…))
3 anass 468 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))
4 r19.2z 4495 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
54ancoms 458 . . . 4 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
6 oveq1 7427 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
76eqeq2d 2739 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
8 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠))
98eqeq2d 2739 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)))
107, 9cbvrex2vw 3236 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠))
11 2rp 13012 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
12 rpmulcl 13030 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
1311, 12mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
1413ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
16 rpcn 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
17 2cnd 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 2 ∈ β„‚)
18 2ne0 12347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 β‰  0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 2 β‰  0)
20 divcan3 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ ((2 Β· 𝑠) / 2) = 𝑠)
2120eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ 𝑠 = ((2 Β· 𝑠) / 2))
2216, 17, 19, 21syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 𝑠 = ((2 Β· 𝑠) / 2))
2322oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))
2423eqeq2d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) ↔ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
2625ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
2827imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))
30 eleq2 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↔ π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
3130biimpac 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))
32 2re 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
33 rpre 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
34 remulcl 11224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ)
3532, 33, 34sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ)
36 blhalf 24324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ ((2 Β· 𝑠) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
3736expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠))))
3835, 37sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠))))
3938anasss 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠))))
4039imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4131, 40sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4241anassrs 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4329, 42eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4428, 43syldan 590 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4513adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
46 rpxr 13016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ*)
47 blssm 24337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
4846, 47syl3an3 1163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
49483expa 1116 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
5045, 49sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
5150an32s 651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
5251adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
5344, 52eqssd 3997 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
54 oveq2 7428 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = (2 Β· 𝑠) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
5554rspceeqv 3631 . . . . . . . . . 10 (((2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
5615, 53, 55syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
5756ex 412 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
5857ralrimdva 3151 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
5958rexlimdvva 3208 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
6010, 59biimtrid 241 . . . . 5 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
61 rexn0 4511 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6261a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…))
6360, 62jcad 512 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))
645, 63impbid2 225 . . 3 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
6564pm5.32i 574 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
662, 3, 653bitri 297 1 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  β„cr 11138  0cc0 11139   Β· cmul 11144  β„*cxr 11278   / cdiv 11902  2c2 12298  β„+crp 13007  βˆžMetcxmet 21264  ballcbl 21266  Bndcbnd 37240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-ec 8727  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-2 12306  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-bnd 37252
This theorem is referenced by:  isbnd3  37257  blbnd  37260  ssbnd  37261
  Copyright terms: Public domain W3C validator