Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbnd2 36271
Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isbnd2 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝑀   𝑋,π‘Ÿ,π‘₯

Proof of Theorem isbnd2
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbndx 36270 . . 3 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
21anbi1i 625 . 2 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…))
3 anass 470 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))
4 r19.2z 4457 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
54ancoms 460 . . . 4 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
6 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
76eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
8 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠))
98eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)))
107, 9cbvrex2vw 3231 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠))
11 2rp 12927 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
12 rpmulcl 12945 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
1311, 12mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
1413ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
16 rpcn 12932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
17 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 2 ∈ β„‚)
18 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 β‰  0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 2 β‰  0)
20 divcan3 11846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ ((2 Β· 𝑠) / 2) = 𝑠)
2120eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ 𝑠 = ((2 Β· 𝑠) / 2))
2216, 17, 19, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 𝑠 = ((2 Β· 𝑠) / 2))
2322oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))
2423eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) ↔ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
2625ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
2827imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))
29 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))
30 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↔ π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))))
3130biimpac 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))
32 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
33 rpre 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
34 remulcl 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ)
3532, 33, 34sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ)
36 blhalf 23774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ ((2 Β· 𝑠) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
3736expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠))))
3835, 37sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠))))
3938anasss 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠))))
4039imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4131, 40sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4241anassrs 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4329, 42eqsstrd 3987 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)((2 Β· 𝑠) / 2))) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4428, 43syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
4513adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+)
46 rpxr 12931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ*)
47 blssm 23787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
4846, 47syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
49483expa 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
5045, 49sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
5150an32s 651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
5251adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)) βŠ† 𝑋)
5344, 52eqssd 3966 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
54 oveq2 7370 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = (2 Β· 𝑠) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠)))
5554rspceeqv 3600 . . . . . . . . . 10 (((2 Β· 𝑠) ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)(2 Β· 𝑠))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
5615, 53, 55syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
5756ex 414 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
5857ralrimdva 3152 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
5958rexlimdvva 3206 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)𝑠) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
6010, 59biimtrid 241 . . . . 5 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
61 rexn0 4473 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6261a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…))
6360, 62jcad 514 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))
645, 63impbid2 225 . . 3 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
6564pm5.32i 576 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
662, 3, 653bitri 297 1 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   / cdiv 11819  2c2 12215  β„+crp 12922  βˆžMetcxmet 20797  ballcbl 20799  Bndcbnd 36255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-ec 8657  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-bnd 36267
This theorem is referenced by:  isbnd3  36272  blbnd  36275  ssbnd  36276
  Copyright terms: Public domain W3C validator