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Theorem isbnd2 36039
Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isbnd2 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑀   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem isbnd2
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbndx 36038 . . 3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
21anbi1i 624 . 2 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
3 anass 469 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅)))
4 r19.2z 4438 . . . . 5 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) → ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
54ancoms 459 . . . 4 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
6 oveq1 7336 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
76eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)))
8 oveq2 7337 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠))
98eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)))
107, 9cbvrex2vw 3224 . . . . . 6 (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ ∃𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠))
11 2rp 12828 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
12 rpmulcl 12846 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
1311, 12mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
1413ad2antll 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
1514ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
16 rpcn 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℂ)
17 2cnd 12144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
18 2ne0 12170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
20 divcan3 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑠) / 2) = 𝑠)
2120eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → 𝑠 = ((2 · 𝑠) / 2))
2216, 17, 19, 21syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 = ((2 · 𝑠) / 2))
2322oveq2d 7345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))
2423eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) ↔ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
2625ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
2827imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))
29 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))
30 eleq2 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑥𝑋𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
3130biimpac 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))
32 2re 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
33 rpre 12831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ)
34 remulcl 11049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ)
3532, 33, 34sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑠) ∈ ℝ)
36 blhalf 23656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ ((2 · 𝑠) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
3736expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))))
3835, 37sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))))
3938anasss 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))))
4039imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4131, 40sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4241anassrs 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4329, 42eqsstrd 3969 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → 𝑋 ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4428, 43syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → 𝑋 ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4513adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
46 rpxr 12832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑠) ∈ ℝ+ → (2 · 𝑠) ∈ ℝ*)
47 blssm 23669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
4846, 47syl3an3 1164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
49483expa 1117 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
5045, 49sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
5150an32s 649 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
5251adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
5344, 52eqssd 3948 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
54 oveq2 7337 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (2 · 𝑠) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
5554rspceeqv 3584 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑠) ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
5615, 53, 55syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
5756ex 413 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
5857ralrimdva 3147 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
5958rexlimdvva 3201 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
6010, 59biimtrid 241 . . . . 5 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
61 rexn0 4454 . . . . . 6 (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑋 ≠ ∅)
6261a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑋 ≠ ∅))
6360, 62jcad 513 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅)))
645, 63impbid2 225 . . 3 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
6564pm5.32i 575 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
662, 3, 653bitri 296 1 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3897  c0 4268  cfv 6473  (class class class)co 7329  cc 10962  cr 10963  0cc0 10964   · cmul 10969  *cxr 11101   / cdiv 11725  2c2 12121  +crp 12823  ∞Metcxmet 20680  ballcbl 20682  Bndcbnd 36023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-er 8561  df-ec 8563  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-2 12129  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-bnd 36035
This theorem is referenced by:  isbnd3  36040  blbnd  36043  ssbnd  36044
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