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Theorem isbnd2 36242
Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isbnd2 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑀   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem isbnd2
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbndx 36241 . . 3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
21anbi1i 624 . 2 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
3 anass 469 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅)))
4 r19.2z 4452 . . . . 5 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) → ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
54ancoms 459 . . . 4 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
6 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
76eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)))
8 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠))
98eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)))
107, 9cbvrex2vw 3228 . . . . . 6 (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ ∃𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠))
11 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
12 rpmulcl 12938 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
1311, 12mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
1413ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
1514ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
16 rpcn 12925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℂ)
17 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
18 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
20 divcan3 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑠) / 2) = 𝑠)
2120eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → 𝑠 = ((2 · 𝑠) / 2))
2216, 17, 19, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 = ((2 · 𝑠) / 2))
2322oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))
2423eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) ↔ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
2625ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
2827imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))
29 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))
30 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑥𝑋𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
3130biimpac 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))
32 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
33 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ)
34 remulcl 11136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ)
3532, 33, 34sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑠) ∈ ℝ)
36 blhalf 23758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ ((2 · 𝑠) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
3736expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))))
3835, 37sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))))
3938anasss 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))))
4039imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4131, 40sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4241anassrs 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4329, 42eqsstrd 3982 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → 𝑋 ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4428, 43syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → 𝑋 ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4513adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
46 rpxr 12924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑠) ∈ ℝ+ → (2 · 𝑠) ∈ ℝ*)
47 blssm 23771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
4846, 47syl3an3 1165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
49483expa 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
5045, 49sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
5150an32s 650 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
5251adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
5344, 52eqssd 3961 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
54 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (2 · 𝑠) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
5554rspceeqv 3595 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑠) ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
5615, 53, 55syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
5756ex 413 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
5857ralrimdva 3151 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
5958rexlimdvva 3205 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
6010, 59biimtrid 241 . . . . 5 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
61 rexn0 4468 . . . . . 6 (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑋 ≠ ∅)
6261a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑋 ≠ ∅))
6360, 62jcad 513 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅)))
645, 63impbid2 225 . . 3 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
6564pm5.32i 575 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
662, 3, 653bitri 296 1 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  c0 4282  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056  *cxr 11188   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783  Bndcbnd 36226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-ec 8650  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-bnd 36238
This theorem is referenced by:  isbnd3  36243  blbnd  36246  ssbnd  36247
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