Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsequz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsequz 36257
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘š,𝐹,𝑛   𝐴,π‘š,𝑛

Proof of Theorem incsequz
Dummy variables π‘˜ 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜1))
21eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝑝 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)))
32rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑝 = 1 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)))
43imbi2d 341 . . . 4 (𝑝 = 1 β†’ (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ↔ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))))
5 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑝 = π‘ž β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘ž))
65eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝑝 = π‘ž β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)))
76rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑝 = π‘ž β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)))
87imbi2d 341 . . . 4 (𝑝 = π‘ž β†’ (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ↔ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž))))
9 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑝 = (π‘ž + 1) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)))
109eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝑝 = (π‘ž + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
1110rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑝 = (π‘ž + 1) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
1211imbi2d 341 . . . 4 (𝑝 = (π‘ž + 1) β†’ (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ↔ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)))))
13 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐴 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π΄))
1413eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
1514rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑝 = 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
1615imbi2d 341 . . . 4 (𝑝 = 𝐴 β†’ (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ↔ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))))
17 1nn 12172 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
1817ne0ii 4301 . . . . . 6 β„• β‰  βˆ…
19 ffvelcdm 7036 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„•)
20 elnnuz 12815 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„• ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2119, 20sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2221ralrimiva 3140 . . . . . 6 (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
23 r19.2z 4456 . . . . . 6 ((β„• β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2418, 22, 23sylancr 588 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2524adantr 482 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
26 peano2nn 12173 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
2726adantl 483 . . . . . . . . 9 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
28 nnre 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ β„• β†’ π‘ž ∈ ℝ)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
3019nnred 12176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
3130adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
3231adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
33 1red 11164 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
3429, 32, 33leadd1d 11757 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ž ≀ (πΉβ€˜π‘›) ↔ (π‘ž + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘›) + 1)))
35 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘›))
36 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜(π‘š + 1)) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
3735, 36breq12d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ↔ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
3837rspcv 3579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
3938imdistani 570 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
40 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„•)
4126, 40sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„•)
42 nnltp1le 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
4319, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
4443biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4544anasss 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4639, 45sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4746anass1rs 654 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4847adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
49 peano2re 11336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž ∈ ℝ β†’ (π‘ž + 1) ∈ ℝ)
5028, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž ∈ β„• β†’ (π‘ž + 1) ∈ ℝ)
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ž ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ž + 1) ∈ ℝ)
52 peano2nn 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∈ β„•)
5319, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∈ β„•)
5453nnred 12176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∈ ℝ)
5554adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ž ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∈ ℝ)
5640nnred 12176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5726, 56sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5857adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ž ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
59 letr 11257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ž + 1) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) β†’ (((π‘ž + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∧ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
6051, 55, 58, 59syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ž ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘ž + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∧ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
6160adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘ž + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∧ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
6248, 61mpan2d 693 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ž + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) β†’ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
6334, 62sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ž ≀ (πΉβ€˜π‘›) β†’ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
64 nnz 12528 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ β„• β†’ π‘ž ∈ β„€)
6519nnzd 12534 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€)
66 eluz 12785 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ž ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) ↔ π‘ž ≀ (πΉβ€˜π‘›)))
6764, 65, 66syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) ↔ π‘ž ≀ (πΉβ€˜π‘›)))
6867adantrlr 722 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ž ∈ β„• ∧ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) ∧ 𝑛 ∈ β„•)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) ↔ π‘ž ≀ (πΉβ€˜π‘›)))
6968anassrs 469 . . . . . . . . . 10 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) ↔ π‘ž ≀ (πΉβ€˜π‘›)))
7064peano2zd 12618 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ β„• β†’ (π‘ž + 1) ∈ β„€)
7140nnzd 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„€)
7226, 71sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„€)
73 eluz 12785 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ž + 1) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
7470, 72, 73syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
7574adantrlr 722 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ž ∈ β„• ∧ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) ∧ 𝑛 ∈ β„•)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
7675anassrs 469 . . . . . . . . . 10 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
7763, 69, 763imtr4d 294 . . . . . . . . 9 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
78 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
7978eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
8079rspcev 3583 . . . . . . . . 9 (((𝑛 + 1) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)))
8127, 77, 80syl6an 683 . . . . . . . 8 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
8281rexlimdva 3149 . . . . . . 7 ((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
83 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
8483eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
8584cbvrexvw 3225 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)))
8682, 85syl6ib 251 . . . . . 6 ((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
8786ex 414 . . . . 5 (π‘ž ∈ β„• β†’ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)))))
8887a2d 29 . . . 4 (π‘ž ∈ β„• β†’ (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)))))
894, 8, 12, 16, 25, 88nnind 12179 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
9089com12 32 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ (𝐴 ∈ β„• β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
91903impia 1118 1 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4286   class class class wbr 5109  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772
This theorem is referenced by:  incsequz2  36258
  Copyright terms: Public domain W3C validator