Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsequz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsequz 34087
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛   𝐴,𝑚,𝑛

Proof of Theorem incsequz
Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6434 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 → (ℤ𝑝) = (ℤ‘1))
21eleq2d 2893 . . . . . 6 (𝑝 = 1 → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1)))
32rexbidv 3263 . . . . 5 (𝑝 = 1 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1)))
43imbi2d 332 . . . 4 (𝑝 = 1 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))))
5 fveq2 6434 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → (ℤ𝑝) = (ℤ𝑞))
65eleq2d 2893 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞)))
76rexbidv 3263 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞)))
87imbi2d 332 . . . 4 (𝑝 = 𝑞 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞))))
9 fveq2 6434 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (ℤ𝑝) = (ℤ‘(𝑞 + 1)))
109eleq2d 2893 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
1110rexbidv 3263 . . . . 5 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
1211imbi2d 332 . . . 4 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))))
13 fveq2 6434 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐴 → (ℤ𝑝) = (ℤ𝐴))
1413eleq2d 2893 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐴 → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
1514rexbidv 3263 . . . . 5 (𝑝 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
1615imbi2d 332 . . . 4 (𝑝 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))))
17 1nn 11364 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
1817ne0ii 4154 . . . . . 6 ℕ ≠ ∅
19 ffvelrn 6607 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℕ)
20 elnnuz 12007 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) ∈ ℕ ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2119, 20sylib 210 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2221ralrimiva 3176 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
23 r19.2z 4283 . . . . . 6 ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2418, 22, 23sylancr 583 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2524adantr 474 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
26 peano2nn 11365 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2726adantl 475 . . . . . . . . 9 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
28 nnre 11359 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ)
2928ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℝ)
3019nnred 11368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3130adantlr 708 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3231adantll 707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
33 1red 10358 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
3429, 32, 33leadd1d 10947 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹𝑛) ↔ (𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1)))
35 fveq2 6434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑛))
36 fvoveq1 6929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
3735, 36breq12d 4887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
3837rspcv 3523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) → (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
3938imdistani 566 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
40 ffvelrn 6607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
4126, 40sylan2 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
42 nnltp1le 11762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
4319, 41, 42syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
4443biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4544anasss 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4639, 45sylan2 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4746anass1rs 647 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4847adantll 707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
49 peano2re 10529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℝ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
5028, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
5150ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
52 peano2nn 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑛) ∈ ℕ → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5319, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5453nnred 11368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
5554adantll 707 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
5640nnred 11368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5726, 56sylan2 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5857adantll 707 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
59 letr 10451 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6051, 55, 58, 59syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6160adantlrr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6248, 61mpan2d 687 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6334, 62sylbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹𝑛) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
64 nnz 11728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℤ)
6519nnzd 11810 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℤ)
66 eluz 11983 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
6764, 65, 66syl2an 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
6867adantrlr 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
6968anassrs 461 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
7064peano2zd 11814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℤ)
7140nnzd 11810 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
7226, 71sylan2 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
73 eluz 11983 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑞 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7470, 72, 73syl2an 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7574adantrlr 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7675anassrs 461 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7763, 69, 763imtr4d 286 . . . . . . . . 9 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
78 fveq2 6434 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
7978eleq1d 2892 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8079rspcev 3527 . . . . . . . . 9 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))
8127, 77, 80syl6an 676 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8281rexlimdva 3241 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
83 fveq2 6434 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
8483eleq1d 2892 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8584cbvrexv 3385 . . . . . . 7 (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))
8682, 85syl6ib 243 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8786ex 403 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))))
8887a2d 29 . . . 4 (𝑞 ∈ ℕ → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞)) → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))))
894, 8, 12, 16, 25, 88nnind 11371 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
9089com12 32 . 2 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
91903impia 1151 1 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  wral 3118  wrex 3119  c0 4145   class class class wbr 4874  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906  cr 10252  1c1 10254   + caddc 10256   < clt 10392  cle 10393  cn 11351  cz 11705  cuz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970
This theorem is referenced by:  incsequz2  34088
  Copyright terms: Public domain W3C validator