Theorem incsequz 38343

Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
incsequz	⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛   𝐴,𝑚,𝑛

Proof of Theorem incsequz

Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘1))
2	1	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1)))
3	2	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 1 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1)))
4	3	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 1 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))))
5		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘𝑞))
6	5	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞)))
7	6	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞)))
8	7	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞))))
9		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))
10	9	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
11	10	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
12	11	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))))
13		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘𝐴))
14	13	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
15	14	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
16	15	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))))
17		1nn 12243	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
18	17	ne0ii 4296	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≠ ∅
19		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℕ)
20		elnnuz 12901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
21	19, 20	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
22	21	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
23		r19.2z 4459	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
24	18, 22, 23	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
25	24	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
26		peano2nn 12244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
27	26	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
28		nnre 12239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ)
29	28	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℝ)
30	19	nnred 12247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
31	30	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
32	31	adantll 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
33		1red 11208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
34	29, 32, 33	leadd1d 11807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1)))
35		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑛))
36		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
37	35, 36	breq12d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
38	37	rspcv 3576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) → (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
39	38	imdistani 578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
40		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
41	26, 40	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
42		nnltp1le 12651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
43	19, 41, 42	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
44	43	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
45	44	anasss 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
46	39, 45	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
47	46	anass1rs 667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
48	47	adantll 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
49		peano2re 11382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 ∈ ℝ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
50	28, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
51	50	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
52		peano2nn 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℕ)
53	19, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℕ)
54	53	nnred 12247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
55	54	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
56	40	nnred 12247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
57	26, 56	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
58	57	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
59		letr 11303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
60	51, 55, 58, 59	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
61	60	adantlrr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
62	48, 61	mpan2d 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
63	34, 62	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
64		nnz 12611	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℤ)
65	19	nnzd 12616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ)
66		eluz 12875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
67	64, 65, 66	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
68	67	adantrlr 735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
69	68	anassrs 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
70	64	peano2zd 12702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℤ)
71	40	nnzd 12616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
72	26, 71	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
73		eluz 12875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑞 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
74	70, 72, 73	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
75	74	adantrlr 735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
76	75	anassrs 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
77	63, 69, 76	3imtr4d 297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
78		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
79	78	eleq1d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
80	79	rspcev 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))
81	27, 77, 80	syl6an 696	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
82	81	rexlimdva 3164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
83		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
84	83	eleq1d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
85	84	cbvrexvw 3242	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))
86	82, 85	imbitrdi 254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
87	86	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))))
88	87	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞)) → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))))
89	4, 8, 12, 16, 25, 88	nnind 12250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
90	89	com12 33	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
91	90	3impia 1133	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  1c1 11100   + caddc 11102   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℕcn 12232  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862

This theorem is referenced by:  incsequz2  38344