Theorem incsequz 38321

Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
incsequz	⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛   𝐴,𝑚,𝑛

Proof of Theorem incsequz

Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘1))
2	1	eleq2d 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1)))
3	2	rexbidv 3195	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 1 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1)))
4	3	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 1 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))))
5		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘𝑞))
6	5	eleq2d 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞)))
7	6	rexbidv 3195	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞)))
8	7	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞))))
9		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))
10	9	eleq2d 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
11	10	rexbidv 3195	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
12	11	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))))
13		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘𝐴))
14	13	eleq2d 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
15	14	rexbidv 3195	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
16	15	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))))
17		1nn 12244	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
18	17	ne0ii 4305	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≠ ∅
19		ffvelcdm 7077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℕ)
20		elnnuz 12902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
21	19, 20	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
22	21	ralrimiva 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
23		r19.2z 4465	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
24	18, 22, 23	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
25	24	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
26		peano2nn 12245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
27	26	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
28		nnre 12240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ)
29	28	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℝ)
30	19	nnred 12248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
31	30	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
32	31	adantll 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
33		1red 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
34	29, 32, 33	leadd1d 11808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1)))
35		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑛))
36		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
37	35, 36	breq12d 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
38	37	rspcv 3586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) → (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
39	38	imdistani 578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
40		ffvelcdm 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
41	26, 40	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
42		nnltp1le 12652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
43	19, 41, 42	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
44	43	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
45	44	anasss 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
46	39, 45	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
47	46	anass1rs 667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
48	47	adantll 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
49		peano2re 11383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 ∈ ℝ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
50	28, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
51	50	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
52		peano2nn 12245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℕ)
53	19, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℕ)
54	53	nnred 12248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
55	54	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
56	40	nnred 12248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
57	26, 56	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
58	57	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
59		letr 11304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
60	51, 55, 58, 59	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
61	60	adantlrr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
62	48, 61	mpan2d 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
63	34, 62	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
64		nnz 12612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℤ)
65	19	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ)
66		eluz 12876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
67	64, 65, 66	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
68	67	adantrlr 735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
69	68	anassrs 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
70	64	peano2zd 12703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℤ)
71	40	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
72	26, 71	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
73		eluz 12876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑞 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
74	70, 72, 73	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
75	74	adantrlr 735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
76	75	anassrs 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
77	63, 69, 76	3imtr4d 297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
78		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
79	78	eleq1d 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
80	79	rspcev 3590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))
81	27, 77, 80	syl6an 696	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
82	81	rexlimdva 3172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
83		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
84	83	eleq1d 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
85	84	cbvrexvw 3250	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))
86	82, 85	imbitrdi 254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
87	86	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))))
88	87	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞)) → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))))
89	4, 8, 12, 16, 25, 88	nnind 12251	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
90	89	com12 33	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
91	90	3impia 1133	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  1c1 11101   + caddc 11103   < clt 11243   ≤ cle 11244  ℕcn 12233  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863

This theorem is referenced by:  incsequz2  38322