Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsequz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsequz 36920
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘š,𝐹,𝑛   𝐴,π‘š,𝑛

Proof of Theorem incsequz
Dummy variables π‘˜ 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜1))
21eleq2d 2818 . . . . . 6 (𝑝 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)))
32rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑝 = 1 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)))
43imbi2d 340 . . . 4 (𝑝 = 1 β†’ (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ↔ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))))
5 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑝 = π‘ž β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘ž))
65eleq2d 2818 . . . . . 6 (𝑝 = π‘ž β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)))
76rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑝 = π‘ž β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)))
87imbi2d 340 . . . 4 (𝑝 = π‘ž β†’ (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ↔ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž))))
9 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑝 = (π‘ž + 1) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)))
109eleq2d 2818 . . . . . 6 (𝑝 = (π‘ž + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
1110rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑝 = (π‘ž + 1) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
1211imbi2d 340 . . . 4 (𝑝 = (π‘ž + 1) β†’ (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ↔ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)))))
13 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐴 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π΄))
1413eleq2d 2818 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
1514rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑝 = 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
1615imbi2d 340 . . . 4 (𝑝 = 𝐴 β†’ (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ↔ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))))
17 1nn 12228 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
1817ne0ii 4337 . . . . . 6 β„• β‰  βˆ…
19 ffvelcdm 7083 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„•)
20 elnnuz 12871 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„• ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2119, 20sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2221ralrimiva 3145 . . . . . 6 (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
23 r19.2z 4494 . . . . . 6 ((β„• β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2418, 22, 23sylancr 586 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2524adantr 480 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
26 peano2nn 12229 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
2726adantl 481 . . . . . . . . 9 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
28 nnre 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ β„• β†’ π‘ž ∈ ℝ)
2928ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
3019nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
3130adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
3231adantll 711 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
33 1red 11220 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
3429, 32, 33leadd1d 11813 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ž ≀ (πΉβ€˜π‘›) ↔ (π‘ž + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘›) + 1)))
35 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘›))
36 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜(π‘š + 1)) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
3735, 36breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ↔ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
3837rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
3938imdistani 568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
40 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„•)
4126, 40sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„•)
42 nnltp1le 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
4319, 41, 42syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
4443biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4544anasss 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4639, 45sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4746anass1rs 652 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4847adantll 711 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
49 peano2re 11392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž ∈ ℝ β†’ (π‘ž + 1) ∈ ℝ)
5028, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž ∈ β„• β†’ (π‘ž + 1) ∈ ℝ)
5150ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ž ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ž + 1) ∈ ℝ)
52 peano2nn 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∈ β„•)
5319, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∈ β„•)
5453nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∈ ℝ)
5554adantll 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ž ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∈ ℝ)
5640nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5726, 56sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5857adantll 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ž ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
59 letr 11313 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ž + 1) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) β†’ (((π‘ž + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∧ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
6051, 55, 58, 59syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ž ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘ž + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∧ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
6160adantlrr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘ž + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ∧ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
6248, 61mpan2d 691 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ž + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘›) + 1) β†’ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
6334, 62sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ž ≀ (πΉβ€˜π‘›) β†’ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
64 nnz 12584 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ β„• β†’ π‘ž ∈ β„€)
6519nnzd 12590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€)
66 eluz 12841 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ž ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) ↔ π‘ž ≀ (πΉβ€˜π‘›)))
6764, 65, 66syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) ↔ π‘ž ≀ (πΉβ€˜π‘›)))
6867adantrlr 720 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ž ∈ β„• ∧ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) ∧ 𝑛 ∈ β„•)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) ↔ π‘ž ≀ (πΉβ€˜π‘›)))
6968anassrs 467 . . . . . . . . . 10 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) ↔ π‘ž ≀ (πΉβ€˜π‘›)))
7064peano2zd 12674 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ β„• β†’ (π‘ž + 1) ∈ β„€)
7140nnzd 12590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„€)
7226, 71sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„€)
73 eluz 12841 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ž + 1) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
7470, 72, 73syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
7574adantrlr 720 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ž ∈ β„• ∧ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) ∧ 𝑛 ∈ β„•)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
7675anassrs 467 . . . . . . . . . 10 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ (π‘ž + 1) ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
7763, 69, 763imtr4d 294 . . . . . . . . 9 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
78 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
7978eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
8079rspcev 3612 . . . . . . . . 9 (((𝑛 + 1) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)))
8127, 77, 80syl6an 681 . . . . . . . 8 (((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
8281rexlimdva 3154 . . . . . . 7 ((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
83 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
8483eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
8584cbvrexvw 3234 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)))
8682, 85imbitrdi 250 . . . . . 6 ((π‘ž ∈ β„• ∧ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1))))
8786ex 412 . . . . 5 (π‘ž ∈ β„• β†’ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)))))
8887a2d 29 . . . 4 (π‘ž ∈ β„• β†’ (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘ž + 1)))))
894, 8, 12, 16, 25, 88nnind 12235 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
9089com12 32 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ (𝐴 ∈ β„• β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
91903impia 1116 1 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„cr 11112  1c1 11114   + caddc 11116   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828
This theorem is referenced by:  incsequz2  36921
  Copyright terms: Public domain W3C validator