Theorem incsequz 37742

Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
incsequz	⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛   𝐴,𝑚,𝑛

Proof of Theorem incsequz

Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘1))
2	1	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1)))
3	2	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 1 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1)))
4	3	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 1 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))))
5		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘𝑞))
6	5	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞)))
7	6	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞)))
8	7	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞))))
9		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))
10	9	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
11	10	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))))
13		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘𝐴))
14	13	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
15	14	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
16	15	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))))
17		1nn 12197	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
18	17	ne0ii 4307	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≠ ∅
19		ffvelcdm 7053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℕ)
20		elnnuz 12837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
21	19, 20	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
22	21	ralrimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
23		r19.2z 4458	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
24	18, 22, 23	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
26		peano2nn 12198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
28		nnre 12193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ)
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℝ)
30	19	nnred 12201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
31	30	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
32	31	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
33		1red 11175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
34	29, 32, 33	leadd1d 11772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1)))
35		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑛))
36		fvoveq1 7410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
37	35, 36	breq12d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
38	37	rspcv 3584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) → (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
39	38	imdistani 568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
40		ffvelcdm 7053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
41	26, 40	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
42		nnltp1le 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
43	19, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
44	43	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
45	44	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
46	39, 45	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
47	46	anass1rs 655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
48	47	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
49		peano2re 11347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 ∈ ℝ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
50	28, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
52		peano2nn 12198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℕ)
53	19, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℕ)
54	53	nnred 12201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
55	54	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
56	40	nnred 12201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
57	26, 56	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
58	57	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
59		letr 11268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
60	51, 55, 58, 59	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
61	60	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
62	48, 61	mpan2d 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
63	34, 62	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
64		nnz 12550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℤ)
65	19	nnzd 12556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ)
66		eluz 12807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
67	64, 65, 66	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
68	67	adantrlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
69	68	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
70	64	peano2zd 12641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℤ)
71	40	nnzd 12556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
72	26, 71	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
73		eluz 12807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑞 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
74	70, 72, 73	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
75	74	adantrlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
76	75	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
77	63, 69, 76	3imtr4d 294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
78		fveq2 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
79	78	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
80	79	rspcev 3588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))
81	27, 77, 80	syl6an 684	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
82	81	rexlimdva 3134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
83		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
84	83	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
85	84	cbvrexvw 3216	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))
86	82, 85	imbitrdi 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
87	86	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))))
88	87	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞)) → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))))
89	4, 8, 12, 16, 25, 88	nnind 12204	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
90	89	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
91	90	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  incsequz2  37743