Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsequz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsequz 33969
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛   𝐴,𝑚,𝑛

Proof of Theorem incsequz
Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6377 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 → (ℤ𝑝) = (ℤ‘1))
21eleq2d 2830 . . . . . 6 (𝑝 = 1 → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1)))
32rexbidv 3199 . . . . 5 (𝑝 = 1 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1)))
43imbi2d 331 . . . 4 (𝑝 = 1 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))))
5 fveq2 6377 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → (ℤ𝑝) = (ℤ𝑞))
65eleq2d 2830 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞)))
76rexbidv 3199 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞)))
87imbi2d 331 . . . 4 (𝑝 = 𝑞 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞))))
9 fveq2 6377 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (ℤ𝑝) = (ℤ‘(𝑞 + 1)))
109eleq2d 2830 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
1110rexbidv 3199 . . . . 5 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
1211imbi2d 331 . . . 4 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))))
13 fveq2 6377 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐴 → (ℤ𝑝) = (ℤ𝐴))
1413eleq2d 2830 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐴 → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
1514rexbidv 3199 . . . . 5 (𝑝 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
1615imbi2d 331 . . . 4 (𝑝 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))))
17 1nn 11289 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
1817ne0ii 4090 . . . . . 6 ℕ ≠ ∅
19 ffvelrn 6549 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℕ)
20 elnnuz 11927 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) ∈ ℕ ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2119, 20sylib 209 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2221ralrimiva 3113 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
23 r19.2z 4221 . . . . . 6 ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2418, 22, 23sylancr 581 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2524adantr 472 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
26 peano2nn 11290 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2726adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
28 nnre 11284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ)
2928ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℝ)
3019nnred 11293 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3130adantlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3231adantll 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
33 1red 10296 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
3429, 32, 33leadd1d 10877 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹𝑛) ↔ (𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1)))
35 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑛))
36 fvoveq1 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
3735, 36breq12d 4824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
3837rspcv 3458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) → (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
3938imdistani 564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
40 ffvelrn 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
4126, 40sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
42 nnltp1le 11683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
4319, 41, 42syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
4443biimpa 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4544anasss 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4639, 45sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4746anass1rs 645 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4847adantll 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
49 peano2re 10465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℝ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
5028, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
5150ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
52 peano2nn 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑛) ∈ ℕ → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5319, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5453nnred 11293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
5554adantll 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
5640nnred 11293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5726, 56sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5857adantll 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
59 letr 10387 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6051, 55, 58, 59syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6160adantlrr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6248, 61mpan2d 685 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6334, 62sylbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹𝑛) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
64 nnz 11649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℤ)
6519nnzd 11731 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℤ)
66 eluz 11903 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
6764, 65, 66syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
6867adantrlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
6968anassrs 459 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
7064peano2zd 11735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℤ)
7140nnzd 11731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
7226, 71sylan2 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
73 eluz 11903 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑞 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7470, 72, 73syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7574adantrlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7675anassrs 459 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7763, 69, 763imtr4d 285 . . . . . . . . 9 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
78 fveq2 6377 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
7978eleq1d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8079rspcev 3462 . . . . . . . . 9 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))
8127, 77, 80syl6an 674 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8281rexlimdva 3178 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
83 fveq2 6377 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
8483eleq1d 2829 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8584cbvrexv 3320 . . . . . . 7 (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))
8682, 85syl6ib 242 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8786ex 401 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))))
8887a2d 29 . . . 4 (𝑞 ∈ ℕ → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞)) → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))))
894, 8, 12, 16, 25, 88nnind 11296 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
9089com12 32 . 2 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
91903impia 1145 1 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  c0 4081   class class class wbr 4811  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  cr 10190  1c1 10192   + caddc 10194   < clt 10330  cle 10331  cn 11276  cz 11626  cuz 11889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890
This theorem is referenced by:  incsequz2  33970
  Copyright terms: Public domain W3C validator