Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsequz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsequz 36207
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛   𝐴,𝑚,𝑛

Proof of Theorem incsequz
Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 → (ℤ𝑝) = (ℤ‘1))
21eleq2d 2823 . . . . . 6 (𝑝 = 1 → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1)))
32rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑝 = 1 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1)))
43imbi2d 340 . . . 4 (𝑝 = 1 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))))
5 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → (ℤ𝑝) = (ℤ𝑞))
65eleq2d 2823 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞)))
76rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞)))
87imbi2d 340 . . . 4 (𝑝 = 𝑞 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞))))
9 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (ℤ𝑝) = (ℤ‘(𝑞 + 1)))
109eleq2d 2823 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
1110rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
1211imbi2d 340 . . . 4 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))))
13 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐴 → (ℤ𝑝) = (ℤ𝐴))
1413eleq2d 2823 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐴 → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
1514rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑝 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
1615imbi2d 340 . . . 4 (𝑝 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))))
17 1nn 12164 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
1817ne0ii 4297 . . . . . 6 ℕ ≠ ∅
19 ffvelcdm 7032 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℕ)
20 elnnuz 12807 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) ∈ ℕ ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2119, 20sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2221ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
23 r19.2z 4452 . . . . . 6 ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2418, 22, 23sylancr 587 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2524adantr 481 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
26 peano2nn 12165 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2726adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
28 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ)
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℝ)
3019nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3130adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3231adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
33 1red 11156 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
3429, 32, 33leadd1d 11749 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹𝑛) ↔ (𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1)))
35 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑛))
36 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
3735, 36breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
3837rspcv 3577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) → (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
3938imdistani 569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
40 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
4126, 40sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
42 nnltp1le 12559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
4319, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
4443biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4544anasss 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4639, 45sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4746anass1rs 653 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4847adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
49 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℝ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
5028, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
5150ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
52 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑛) ∈ ℕ → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5319, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5453nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
5554adantll 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
5640nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5726, 56sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5857adantll 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
59 letr 11249 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6051, 55, 58, 59syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6160adantlrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6248, 61mpan2d 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6334, 62sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹𝑛) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
64 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℤ)
6519nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℤ)
66 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
6764, 65, 66syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
6867adantrlr 721 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
6968anassrs 468 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
7064peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℤ)
7140nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
7226, 71sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
73 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑞 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7470, 72, 73syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7574adantrlr 721 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7675anassrs 468 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7763, 69, 763imtr4d 293 . . . . . . . . 9 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
78 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
7978eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8079rspcev 3581 . . . . . . . . 9 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))
8127, 77, 80syl6an 682 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8281rexlimdva 3152 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
83 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
8483eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8584cbvrexvw 3226 . . . . . . 7 (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))
8682, 85syl6ib 250 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8786ex 413 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))))
8887a2d 29 . . . 4 (𝑞 ∈ ℕ → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞)) → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))))
894, 8, 12, 16, 25, 88nnind 12171 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
9089com12 32 . 2 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
91903impia 1117 1 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  c0 4282   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  cz 12499  cuz 12763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764
This theorem is referenced by:  incsequz2  36208
  Copyright terms: Public domain W3C validator