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Theorem rolle 25507
Description: Rolle's theorem. If 𝐹 is a real continuous function on [𝐴, 𝐡] which is differentiable on (𝐴, 𝐡), and 𝐹(𝐴) = 𝐹(𝐡), then there is some π‘₯ ∈ (𝐴, 𝐡) such that (ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯ = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rolle.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
rolle.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
rolle.lt (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
rolle.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
rolle.d (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
rolle.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π΅))
Assertion
Ref Expression
rolle (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹

Proof of Theorem rolle
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rolle.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 rolle.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 rolle.lt . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
41, 2, 3ltled 11362 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
5 rolle.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
61, 2, 4, 5evthicc 24976 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
7 reeanv 3227 . . 3 (βˆƒπ‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆƒπ‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
86, 7sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆƒπ‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
9 r19.26 3112 . . . 4 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
101ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
112ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
123ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ 𝐴 < 𝐡)
135ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
14 rolle.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
1514ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
16 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’))
1716ralimi 3084 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’))
18 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑑 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘‘))
1918breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘’)))
2019cbvralvw 3235 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘’))
2117, 20sylib 217 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘’))
2221ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘’))
23 simplrl 776 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ 𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡))
24 simprr 772 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ Β¬ 𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡})
2510, 11, 12, 13, 15, 22, 23, 24rollelem 25506 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0)
2625expr 458 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (Β¬ 𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡} β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
271ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
282ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
293ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ 𝐴 < 𝐡)
30 cncff 24409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
315, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
3231ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ ℝ)
3332renegcld 11641 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ -(πΉβ€˜π‘’) ∈ ℝ)
3433fmpttd 7115 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
35 ax-resscn 11167 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† β„‚
36 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ βŠ† β„‚
37 cncfss 24415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
3835, 36, 37mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)
3938, 5sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
40 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)) = (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))
4140negfcncf 24439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
43 cncfcdm 24414 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
4435, 42, 43sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
4534, 44mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
4735a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
48 iccssre 13406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
491, 2, 48syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
50 fss 6735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
5131, 35, 50sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
5251ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚)
5352negcld 11558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ -(πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚)
54 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5554tgioo2 24319 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
56 iccntr 24337 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
571, 2, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
5847, 49, 53, 55, 54, 57dvmptntr 25488 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))) = (ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))))
59 reelprrecn 11202 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
61 ioossicc 13410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
6261sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡))
6362, 52sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚)
64 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’) ∈ V)
6531feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘’)))
6665oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘’))))
67 dvf 25424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
6814feq2d 6704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
6967, 68mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
7069feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’)))
7147, 49, 52, 55, 54, 57dvmptntr 25488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘’))) = (ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘’))))
7266, 70, 713eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘’))) = (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’)))
7360, 63, 64, 72dvmptneg 25483 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))) = (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’)))
7458, 73eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))) = (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’)))
7574dmeqd 5906 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))) = dom (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’)))
76 dmmptg 6242 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)-((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’) ∈ V β†’ dom (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’)) = (𝐴(,)𝐡))
77 negex 11458 . . . . . . . . . . . . 13 -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’) ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’) ∈ V)
7976, 78mprg 3068 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’)) = (𝐴(,)𝐡)
8075, 79eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))) = (𝐴(,)𝐡))
8180ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ dom (ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))) = (𝐴(,)𝐡))
82 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
8331ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
84 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))
8583, 84ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ ℝ)
8631adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
8786ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
8885, 87lenegd 11793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ -(πΉβ€˜π‘¦) ≀ -(πΉβ€˜π‘£)))
89 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘¦))
9089negeqd 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = 𝑦 β†’ -(πΉβ€˜π‘’) = -(πΉβ€˜π‘¦))
91 negex 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -(πΉβ€˜π‘¦) ∈ V
9290, 40, 91fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π‘¦))
9392adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π‘¦))
94 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝑣 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘£))
9594negeqd 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = 𝑣 β†’ -(πΉβ€˜π‘’) = -(πΉβ€˜π‘£))
96 negex 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -(πΉβ€˜π‘£) ∈ V
9795, 40, 96fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘£) = -(πΉβ€˜π‘£))
9884, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘£) = -(πΉβ€˜π‘£))
9993, 98breq12d 5162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘¦) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘£) ↔ -(πΉβ€˜π‘¦) ≀ -(πΉβ€˜π‘£)))
10088, 99bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘¦) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘£)))
10182, 100imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘¦) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘£)))
102101ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘¦) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘£)))
103102imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘¦) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘£))
104 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑑 β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘¦) = ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘‘))
105104breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑑 β†’ (((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘¦) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘£) ↔ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘‘) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘£)))
106105cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘¦) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘£) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘‘) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘£))
107103, 106sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘‘) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘£))
108107adantrr 716 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘‘) ≀ ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’))β€˜π‘£))
109 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))
110 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ Β¬ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡})
11127, 28, 29, 46, 81, 108, 109, 110rollelem 25506 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)))β€˜π‘₯) = 0)
11274fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)))β€˜π‘₯) = ((𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’))β€˜π‘₯))
113 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = π‘₯ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
114113negeqd 11454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = π‘₯ β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
115 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’)) = (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’))
116 negex 11458 . . . . . . . . . . . . . 14 -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ V
117114, 115, 116fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’))β€˜π‘₯) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
118112, 117sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)))β€˜π‘₯) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
119118eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)))β€˜π‘₯) = 0 ↔ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
12014eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)))
121120biimpar 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
12267ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
124123negeq0d 11563 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0 ↔ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
125119, 124bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)))β€˜π‘₯) = 0 ↔ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
126125rexbidva 3177 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)))β€˜π‘₯) = 0 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
127126ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘’)))β€˜π‘₯) = 0 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
128111, 127mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0)
129128expr 458 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (Β¬ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡} β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
130 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑒 ∈ V
131130elpr 4652 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡} ↔ (𝑒 = 𝐴 ∨ 𝑒 = 𝐡))
132 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄))
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑒 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄)))
134 rolle.e . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π΅))
135134eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) = (πΉβ€˜π΄))
136 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) ↔ (πΉβ€˜π΅) = (πΉβ€˜π΄)))
137135, 136syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑒 = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄)))
138133, 137jaod 858 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑒 = 𝐴 ∨ 𝑒 = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄)))
139131, 138biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡} β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄)))
140 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑣 β†’ (𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡} ↔ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡}))
141 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) ↔ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄)))
142140, 141imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑣 β†’ ((𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡} β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄)) ↔ (𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡} β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄))))
143142imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑣 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡} β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡} β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄)))))
144143, 139chvarvv 2003 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡} β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄)))
145139, 144anim12d 610 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡} ∧ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡}) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄))))
146145ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ ((𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡} ∧ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡}) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄))))
1471rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1482rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
149 lbicc2 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
150147, 148, 4, 149syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
15131, 150ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
152151ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
15387, 152letri3d 11356 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
154 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π΄)))
155 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄) β†’ ((πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
156154, 155bi2anan9 638 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄)) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
157156bibi2d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄)) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))))
158153, 157syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))))
159158impancom 453 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄))) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))))
160159imp 408 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
161160ralbidva 3176 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
16231ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐡))
163 fnconstg 6780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) Fn (𝐴[,]𝐡))
164151, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) Fn (𝐴[,]𝐡))
165 eqfnfv 7033 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐡) ∧ ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) Fn (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) = (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘¦)))
166162, 164, 165syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) = (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘¦)))
167 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πΉβ€˜π΄) ∈ V
168167fvconst2 7205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
169168eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄)))
170169ralbiia 3092 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) = (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
171166, 170bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄)))
172 ioon0 13350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… ↔ 𝐴 < 𝐡))
173147, 148, 172syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… ↔ 𝐴 < 𝐡))
1743, 173mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…)
175 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) = (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π΄))
176175eqeq2i 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) ↔ 𝐹 = (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π΄)))
177176biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) β†’ 𝐹 = (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π΄)))
178177oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) β†’ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π΄))))
179151recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
180179adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
181 0cnd 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„‚)
18260, 179dvmptc 25475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑒 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π΄))) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ 0))
18360, 180, 181, 182, 49, 55, 54, 57dvmptres2 25479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π΄))) = (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0))
184178, 183sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})) β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0))
185184fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = ((𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0)β€˜π‘₯))
186 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = π‘₯ β†’ 0 = 0)
187 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0) = (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0)
188 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
189186, 187, 188fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0)β€˜π‘₯) = 0)
190185, 189sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0)
191190ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0)
192 r19.2z 4495 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0)
193174, 191, 192syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0)
194193ex 414 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
195171, 194sylbird 260 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
196195ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
197161, 196sylbird 260 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
198197impancom 453 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
199146, 198syld 47 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ ((𝑒 ∈ {𝐴, 𝐡} ∧ 𝑣 ∈ {𝐴, 𝐡}) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
20026, 129, 199ecased 1034 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0)
201200ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
2029, 201biimtrrid 242 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
203202rexlimdvva 3212 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆƒπ‘£ ∈ (𝐴[,]𝐡)(βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘’) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘£) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0))
2048, 203mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  -cneg 11445  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  intcnt 22521  β€“cnβ†’ccncf 24392   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  cmvth  25508  lhop1lem  25530  gg-cmvth  35181
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