Theorem caurcvg 15691

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The fourth hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caurcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caurcvg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
caurcvg.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
caurcvg	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝐹   𝑚,𝑀,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑥   𝑘,𝑍,𝑚,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem caurcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caurcvg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		uzssz 12871	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 4005	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
4		zssre 12593	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3968	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
7		caurcvg.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
8		1rp 13010	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
9	8	ne0ii 4319	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
10		caurcvg.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
11		r19.2z 4470	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
12	9, 10, 11	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
13		eluzel2 12855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13, 1	eleq2s 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
15	1	uzsup 13878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
17	16	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
18	17	rexlimiv 3134	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
19	18	rexlimivw 3137	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
20	12, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
21	3	sseli 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ)
22	3	sseli 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
23		eluz 12864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑚 ≤ 𝑘))
24	21, 22, 23	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑚 ≤ 𝑘))
25	24	biimprd 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
26	25	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
27	26	imim1d 82	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
28	27	exp4a 431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))))
29	28	ralimdv2 3149	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
30	29	reximia 3071	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
31	30	ralimi 3073	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
32	10, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
33	6, 7, 20, 32	caurcvgr 15688	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))
34	14	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ))
35	34	rexlimiv 3134	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
36	35	rexlimivw 3137	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
37	12, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38		ax-resscn 11184	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
39		fss 6721	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
40	7, 38, 39	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
41	1, 37, 40	rlimclim 15560	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
42	33, 41	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  supcsup 9450  ℂcc 11125  ℝcr 11126  1c1 11128  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11464  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  ℝ⁺crp 13006  abscabs 15251  lim supclsp 15484   ⇝ cli 15498   ⇝_𝑟 crli 15499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-ico 13366  df-fl 13807  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503

This theorem is referenced by:  caurcvg2  15692  mbflimlem  25618  climlimsup  45737  ioodvbdlimc1lem1  45908