MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caurcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caurcvg 15626
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The fourth hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvg.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
caurcvg.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
caurcvg.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)
Assertion
Ref Expression
caurcvg (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,π‘₯,𝐹   π‘š,𝑀,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘š,π‘₯   π‘˜,𝑍,π‘š,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑀(π‘˜)

Proof of Theorem caurcvg
StepHypRef Expression
1 caurcvg.1 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 uzssz 12844 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
31, 2eqsstri 4011 . . . . 5 𝑍 βŠ† β„€
4 zssre 12566 . . . . 5 β„€ βŠ† ℝ
53, 4sstri 3986 . . . 4 𝑍 βŠ† ℝ
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
7 caurcvg.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
8 1rp 12981 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
98ne0ii 4332 . . . . 5 ℝ+ β‰  βˆ…
10 caurcvg.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)
11 r19.2z 4489 . . . . 5 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)
129, 10, 11sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)
13 eluzel2 12828 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1413, 1eleq2s 2845 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ 𝑀 ∈ β„€)
151uzsup 13831 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„€ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1716a1d 25 . . . . . 6 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
1817rexlimiv 3142 . . . . 5 (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1918rexlimivw 3145 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
2012, 19syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
213sseli 3973 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ π‘š ∈ β„€)
223sseli 3973 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
23 eluz 12837 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) ↔ π‘š ≀ π‘˜))
2421, 22, 23syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) ↔ π‘š ≀ π‘˜))
2524biimprd 247 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘š ≀ π‘˜ β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
2625expimpd 453 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ π‘š ≀ π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
2726imim1d 82 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ π‘š ≀ π‘˜) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
2827exp4a 431 . . . . . . 7 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (π‘š ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))))
2928ralimdv2 3157 . . . . . 6 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘š ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
3029reximia 3075 . . . . 5 (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘š ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3130ralimi 3077 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘š ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3210, 31syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘š ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
336, 7, 20, 32caurcvgr 15623 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ (lim supβ€˜πΉ))
3414a1d 25 . . . . . 6 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ 𝑀 ∈ β„€))
3534rexlimiv 3142 . . . . 5 (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3635rexlimivw 3145 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3712, 36syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
38 ax-resscn 11166 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
39 fss 6727 . . . 4 ((𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
407, 38, 39sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
411, 37, 40rlimclim 15493 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ (lim supβ€˜πΉ) ↔ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)))
4233, 41mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  1c1 11110  +∞cpnf 11246  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  β„+crp 12977  abscabs 15184  lim supclsp 15417   ⇝ cli 15431   β‡π‘Ÿ crli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436
This theorem is referenced by:  caurcvg2  15627  mbflimlem  25546  climlimsup  45030  ioodvbdlimc1lem1  45201
  Copyright terms: Public domain W3C validator