MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caurcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caurcvg 15713
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The fourth hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caurcvg.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
caurcvg.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
Assertion
Ref Expression
caurcvg (𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝐹   𝑚,𝑀,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑥   𝑘,𝑍,𝑚,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem caurcvg
StepHypRef Expression
1 caurcvg.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 uzssz 12899 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
31, 2eqsstri 4030 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
4 zssre 12620 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3993 . . . 4 𝑍 ⊆ ℝ
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
7 caurcvg.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
8 1rp 13038 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
98ne0ii 4344 . . . . 5 + ≠ ∅
10 caurcvg.4 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
11 r19.2z 4495 . . . . 5 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
129, 10, 11sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
13 eluzel2 12883 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1413, 1eleq2s 2859 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍𝑀 ∈ ℤ)
151uzsup 13903 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1716a1d 25 . . . . . 6 (𝑚𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
1817rexlimiv 3148 . . . . 5 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1918rexlimivw 3151 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
2012, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
213sseli 3979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝑍𝑚 ∈ ℤ)
223sseli 3979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
23 eluz 12892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑚𝑘))
2421, 22, 23syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑍𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑚𝑘))
2524biimprd 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝑍𝑘𝑍) → (𝑚𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
2625expimpd 453 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑍 → ((𝑘𝑍𝑚𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
2726imim1d 82 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝑘𝑍𝑚𝑘) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
2827exp4a 431 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → (𝑘𝑍 → (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))))
2928ralimdv2 3163 . . . . . 6 (𝑚𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘𝑍 (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
3029reximia 3081 . . . . 5 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∃𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3130ralimi 3083 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3210, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
336, 7, 20, 32caurcvgr 15710 . 2 (𝜑𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹))
3414a1d 25 . . . . . 6 (𝑚𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ))
3534rexlimiv 3148 . . . . 5 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
3635rexlimivw 3151 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
3712, 36syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
38 ax-resscn 11212 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
39 fss 6752 . . . 4 ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
407, 38, 39sylancl 586 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
411, 37, 40rlimclim 15582 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
4233, 41mpbid 232 1 (𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  1c1 11156  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  abscabs 15273  lim supclsp 15506  cli 15520  𝑟 crli 15521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525
This theorem is referenced by:  caurcvg2  15714  mbflimlem  25702  climlimsup  45775  ioodvbdlimc1lem1  45946
  Copyright terms: Public domain W3C validator