Theorem caurcvg 15619

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The fourth hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caurcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caurcvg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
caurcvg.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
caurcvg	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝐹   𝑚,𝑀,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑥   𝑘,𝑍,𝑚,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem caurcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caurcvg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		uzssz 12839	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 4015	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
4		zssre 12561	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3990	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
7		caurcvg.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
8		1rp 12974	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
9	8	ne0ii 4336	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
10		caurcvg.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
11		r19.2z 4493	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
12	9, 10, 11	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
13		eluzel2 12823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13, 1	eleq2s 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
15	1	uzsup 13824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
17	16	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
18	17	rexlimiv 3148	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
19	18	rexlimivw 3151	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
20	12, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
21	3	sseli 3977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ)
22	3	sseli 3977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
23		eluz 12832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑚 ≤ 𝑘))
24	21, 22, 23	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑚 ≤ 𝑘))
25	24	biimprd 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
26	25	expimpd 454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
27	26	imim1d 82	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
28	27	exp4a 432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))))
29	28	ralimdv2 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
30	29	reximia 3081	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
31	30	ralimi 3083	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
32	10, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
33	6, 7, 20, 32	caurcvgr 15616	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))
34	14	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ))
35	34	rexlimiv 3148	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
36	35	rexlimivw 3151	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
37	12, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38		ax-resscn 11163	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
39		fss 6731	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
40	7, 38, 39	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
41	1, 37, 40	rlimclim 15486	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
42	33, 41	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  supcsup 9431  ℂcc 11104  ℝcr 11105  1c1 11107  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  ℝ⁺crp 12970  abscabs 15177  lim supclsp 15410   ⇝ cli 15424   ⇝_𝑟 crli 15425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429

This theorem is referenced by:  caurcvg2  15620  mbflimlem  25175  climlimsup  44462  ioodvbdlimc1lem1  44633