Theorem caurcvg 15656

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The fourth hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caurcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caurcvg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
caurcvg.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
caurcvg	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝐹   𝑚,𝑀,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑥   𝑘,𝑍,𝑚,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem caurcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caurcvg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		uzssz 12874	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 4014	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
4		zssre 12596	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3989	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
7		caurcvg.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
8		1rp 13011	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
9	8	ne0ii 4338	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
10		caurcvg.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
11		r19.2z 4495	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
12	9, 10, 11	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
13		eluzel2 12858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13, 1	eleq2s 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
15	1	uzsup 13861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
17	16	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
18	17	rexlimiv 3145	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
19	18	rexlimivw 3148	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
20	12, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
21	3	sseli 3976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ)
22	3	sseli 3976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
23		eluz 12867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑚 ≤ 𝑘))
24	21, 22, 23	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑚 ≤ 𝑘))
25	24	biimprd 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
26	25	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
27	26	imim1d 82	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
28	27	exp4a 431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))))
29	28	ralimdv2 3160	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
30	29	reximia 3078	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
31	30	ralimi 3080	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
32	10, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
33	6, 7, 20, 32	caurcvgr 15653	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))
34	14	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ))
35	34	rexlimiv 3145	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
36	35	rexlimivw 3148	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
37	12, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38		ax-resscn 11196	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
39		fss 6739	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
40	7, 38, 39	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
41	1, 37, 40	rlimclim 15523	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
42	33, 41	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323   class class class wbr 5148  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  supcsup 9464  ℂcc 11137  ℝcr 11138  1c1 11140  +∞cpnf 11276  ℝ^*cxr 11278   < clt 11279   ≤ cle 11280   − cmin 11475  ℤcz 12589  ℤ_≥cuz 12853  ℝ⁺crp 13007  abscabs 15214  lim supclsp 15447   ⇝ cli 15461   ⇝_𝑟 crli 15462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466

This theorem is referenced by:  caurcvg2  15657  mbflimlem  25609  climlimsup  45148  ioodvbdlimc1lem1  45319