MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caurcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caurcvg 15709
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The fourth hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caurcvg.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
caurcvg.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
Assertion
Ref Expression
caurcvg (𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝐹   𝑚,𝑀,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑥   𝑘,𝑍,𝑚,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem caurcvg
StepHypRef Expression
1 caurcvg.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 uzssz 12896 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
31, 2eqsstri 4029 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
4 zssre 12617 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
53, 4sstri 4004 . . . 4 𝑍 ⊆ ℝ
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
7 caurcvg.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
8 1rp 13035 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
98ne0ii 4349 . . . . 5 + ≠ ∅
10 caurcvg.4 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
11 r19.2z 4500 . . . . 5 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
129, 10, 11sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
13 eluzel2 12880 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1413, 1eleq2s 2856 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍𝑀 ∈ ℤ)
151uzsup 13899 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1716a1d 25 . . . . . 6 (𝑚𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
1817rexlimiv 3145 . . . . 5 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1918rexlimivw 3148 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
2012, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
213sseli 3990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝑍𝑚 ∈ ℤ)
223sseli 3990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
23 eluz 12889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑚𝑘))
2421, 22, 23syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑍𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑚𝑘))
2524biimprd 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝑍𝑘𝑍) → (𝑚𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
2625expimpd 453 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑍 → ((𝑘𝑍𝑚𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
2726imim1d 82 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝑘𝑍𝑚𝑘) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
2827exp4a 431 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → (𝑘𝑍 → (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))))
2928ralimdv2 3160 . . . . . 6 (𝑚𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘𝑍 (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
3029reximia 3078 . . . . 5 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∃𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3130ralimi 3080 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3210, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
336, 7, 20, 32caurcvgr 15706 . 2 (𝜑𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹))
3414a1d 25 . . . . . 6 (𝑚𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ))
3534rexlimiv 3145 . . . . 5 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
3635rexlimivw 3148 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
3712, 36syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
38 ax-resscn 11209 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
39 fss 6752 . . . 4 ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
407, 38, 39sylancl 586 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
411, 37, 40rlimclim 15578 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
4233, 41mpbid 232 1 (𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  supcsup 9477  cc 11150  cr 11151  1c1 11153  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  abscabs 15269  lim supclsp 15502  cli 15516  𝑟 crli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521
This theorem is referenced by:  caurcvg2  15710  mbflimlem  25715  climlimsup  45715  ioodvbdlimc1lem1  45886
  Copyright terms: Public domain W3C validator