MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caurcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caurcvg 15567
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The fourth hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvg.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
caurcvg.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
caurcvg.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)
Assertion
Ref Expression
caurcvg (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,π‘₯,𝐹   π‘š,𝑀,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘š,π‘₯   π‘˜,𝑍,π‘š,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑀(π‘˜)

Proof of Theorem caurcvg
StepHypRef Expression
1 caurcvg.1 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 uzssz 12789 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
31, 2eqsstri 3979 . . . . 5 𝑍 βŠ† β„€
4 zssre 12511 . . . . 5 β„€ βŠ† ℝ
53, 4sstri 3954 . . . 4 𝑍 βŠ† ℝ
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
7 caurcvg.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
8 1rp 12924 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
98ne0ii 4298 . . . . 5 ℝ+ β‰  βˆ…
10 caurcvg.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)
11 r19.2z 4453 . . . . 5 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)
129, 10, 11sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)
13 eluzel2 12773 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1413, 1eleq2s 2852 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ 𝑀 ∈ β„€)
151uzsup 13774 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„€ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1716a1d 25 . . . . . 6 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
1817rexlimiv 3142 . . . . 5 (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1918rexlimivw 3145 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
2012, 19syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
213sseli 3941 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ π‘š ∈ β„€)
223sseli 3941 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
23 eluz 12782 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) ↔ π‘š ≀ π‘˜))
2421, 22, 23syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) ↔ π‘š ≀ π‘˜))
2524biimprd 248 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘š ≀ π‘˜ β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
2625expimpd 455 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ π‘š ≀ π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
2726imim1d 82 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ π‘š ≀ π‘˜) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
2827exp4a 433 . . . . . . 7 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (π‘š ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))))
2928ralimdv2 3157 . . . . . 6 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘š ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
3029reximia 3081 . . . . 5 (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘š ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3130ralimi 3083 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘š ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3210, 31syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘š ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
336, 7, 20, 32caurcvgr 15564 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ (lim supβ€˜πΉ))
3414a1d 25 . . . . . 6 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ 𝑀 ∈ β„€))
3534rexlimiv 3142 . . . . 5 (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3635rexlimivw 3145 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3712, 36syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
38 ax-resscn 11113 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
39 fss 6686 . . . 4 ((𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
407, 38, 39sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
411, 37, 40rlimclim 15434 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ (lim supβ€˜πΉ) ↔ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)))
4233, 41mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  supcsup 9381  β„‚cc 11054  β„cr 11055  1c1 11057  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  abscabs 15125  lim supclsp 15358   ⇝ cli 15372   β‡π‘Ÿ crli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377
This theorem is referenced by:  caurcvg2  15568  mbflimlem  25047  climlimsup  44087  ioodvbdlimc1lem1  44258
  Copyright terms: Public domain W3C validator