Theorem caurcvg 15824

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The fourth hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caurcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caurcvg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
caurcvg.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
caurcvg	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝐹   𝑚,𝑀,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑥   𝑘,𝑍,𝑚,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem caurcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caurcvg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		uzssz 12967	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 3977	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
4		zssre 12681	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3940	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
7		caurcvg.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
8		1rp 13105	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
9	8	ne0ii 4290	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
10		caurcvg.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
11		r19.2z 4455	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
12	9, 10, 11	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
13		eluzel2 12951	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13, 1	eleq2s 2879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
15	1	uzsup 13983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
17	16	a1d 26	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
18	17	rexlimiv 3157	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
19	18	rexlimivw 3160	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
20	12, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
21	3	sseli 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ)
22	3	sseli 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
23		eluz 12960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑚 ≤ 𝑘))
24	21, 22, 23	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑚 ≤ 𝑘))
25	24	biimprd 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
26	25	expimpd 459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
27	26	imim1d 83	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
28	27	exp4a 437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))))
29	28	ralimdv2 3172	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
30	29	reximia 3098	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
31	30	ralimi 3100	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
32	10, 31	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
33	6, 7, 20, 32	caurcvgr 15821	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))
34	14	a1d 26	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ))
35	34	rexlimiv 3157	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
36	35	rexlimivw 3160	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
37	12, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38		ax-resscn 11238	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
39		fss 6718	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
40	7, 38, 39	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
41	1, 37, 40	rlimclim 15693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
42	33, 41	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  supcsup 9416  ℂcc 11179  ℝcr 11180  1c1 11182  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ℝ⁺crp 13101  abscabs 15381  lim supclsp 15617   ⇝ cli 15631   ⇝_𝑟 crli 15632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-ico 13463  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636

This theorem is used by:  caurcvg2  15825  mbflimlem  25968  climlimsup  46714  ioodvbdlimc1lem1  46885