MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recp1lt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recp1lt1 12152
Description: Construct a number less than 1 from any nonnegative number. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
recp1lt1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด / (1 + ๐ด)) < 1)

Proof of Theorem recp1lt1
StepHypRef Expression
1 ltp1 12094 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด < (๐ด + 1))
2 recn 11238 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 ax-1cn 11206 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
4 addcom 11440 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
52, 3, 4sylancl 584 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
61, 5breqtrd 5178 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด < (1 + ๐ด))
76adantr 479 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด < (1 + ๐ด))
82adantr 479 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9 1re 11254 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
10 readdcl 11231 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„)
119, 10mpan 688 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„)
1211adantr 479 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„)
1312recnd 11282 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
14 0lt1 11776 . . . . . . 7 0 < 1
15 addgtge0 11742 . . . . . . 7 (((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (0 < 1 โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โ†’ 0 < (1 + ๐ด))
1614, 15mpanr1 701 . . . . . 6 (((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 < (1 + ๐ด))
179, 16mpanl1 698 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 < (1 + ๐ด))
1817gt0ne0d 11818 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + ๐ด) โ‰  0)
198, 13, 18divcan1d 12031 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐ด / (1 + ๐ด)) ยท (1 + ๐ด)) = ๐ด)
2011recnd 11282 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2120mullidd 11272 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 ยท (1 + ๐ด)) = (1 + ๐ด))
2221adantr 479 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 ยท (1 + ๐ด)) = (1 + ๐ด))
237, 19, 223brtr4d 5184 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐ด / (1 + ๐ด)) ยท (1 + ๐ด)) < (1 ยท (1 + ๐ด)))
24 simpl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2524, 12, 18redivcld 12082 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด / (1 + ๐ด)) โˆˆ โ„)
26 ltmul1 12104 . . . 4 (((๐ด / (1 + ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((1 + ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 + ๐ด))) โ†’ ((๐ด / (1 + ๐ด)) < 1 โ†” ((๐ด / (1 + ๐ด)) ยท (1 + ๐ด)) < (1 ยท (1 + ๐ด))))
279, 26mp3an2 1445 . . 3 (((๐ด / (1 + ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ((1 + ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 + ๐ด))) โ†’ ((๐ด / (1 + ๐ด)) < 1 โ†” ((๐ด / (1 + ๐ด)) ยท (1 + ๐ด)) < (1 ยท (1 + ๐ด))))
2825, 12, 17, 27syl12anc 835 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐ด / (1 + ๐ด)) < 1 โ†” ((๐ด / (1 + ๐ด)) ยท (1 + ๐ด)) < (1 ยท (1 + ๐ด))))
2923, 28mpbird 256 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด / (1 + ๐ด)) < 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   / cdiv 11911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator