MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recp1lt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recp1lt1 12116
Description: Construct a number less than 1 from any nonnegative number. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
recp1lt1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด / (1 + ๐ด)) < 1)

Proof of Theorem recp1lt1
StepHypRef Expression
1 ltp1 12058 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด < (๐ด + 1))
2 recn 11202 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 ax-1cn 11170 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
4 addcom 11404 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
52, 3, 4sylancl 585 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
61, 5breqtrd 5167 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด < (1 + ๐ด))
76adantr 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด < (1 + ๐ด))
82adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9 1re 11218 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
10 readdcl 11195 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„)
119, 10mpan 687 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„)
1211adantr 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„)
1312recnd 11246 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
14 0lt1 11740 . . . . . . 7 0 < 1
15 addgtge0 11706 . . . . . . 7 (((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (0 < 1 โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โ†’ 0 < (1 + ๐ด))
1614, 15mpanr1 700 . . . . . 6 (((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 < (1 + ๐ด))
179, 16mpanl1 697 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 < (1 + ๐ด))
1817gt0ne0d 11782 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + ๐ด) โ‰  0)
198, 13, 18divcan1d 11995 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐ด / (1 + ๐ด)) ยท (1 + ๐ด)) = ๐ด)
2011recnd 11246 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2120mullidd 11236 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 ยท (1 + ๐ด)) = (1 + ๐ด))
2221adantr 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 ยท (1 + ๐ด)) = (1 + ๐ด))
237, 19, 223brtr4d 5173 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐ด / (1 + ๐ด)) ยท (1 + ๐ด)) < (1 ยท (1 + ๐ด)))
24 simpl 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2524, 12, 18redivcld 12046 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด / (1 + ๐ด)) โˆˆ โ„)
26 ltmul1 12068 . . . 4 (((๐ด / (1 + ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((1 + ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 + ๐ด))) โ†’ ((๐ด / (1 + ๐ด)) < 1 โ†” ((๐ด / (1 + ๐ด)) ยท (1 + ๐ด)) < (1 ยท (1 + ๐ด))))
279, 26mp3an2 1445 . . 3 (((๐ด / (1 + ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ((1 + ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 + ๐ด))) โ†’ ((๐ด / (1 + ๐ด)) < 1 โ†” ((๐ด / (1 + ๐ด)) ยท (1 + ๐ด)) < (1 ยท (1 + ๐ด))))
2825, 12, 17, 27syl12anc 834 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐ด / (1 + ๐ด)) < 1 โ†” ((๐ด / (1 + ๐ด)) ยท (1 + ๐ด)) < (1 ยท (1 + ๐ด))))
2923, 28mpbird 257 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด / (1 + ๐ด)) < 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator