Theorem recp1lt1 12137

Description: Construct a number less than 1 from any nonnegative number. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recp1lt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1)

Proof of Theorem recp1lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1 12079	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
2		recn 11214	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11182	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		addcom 11420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
6	1, 5	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (1 + 𝐴))
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (1 + 𝐴))
8	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		1re 11232	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		readdcl 11207	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
11	9, 10	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11261	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
14		0lt1 11760	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
15		addgtge0 11726	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (1 + 𝐴))
16	14, 15	mpanr1 716	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (1 + 𝐴))
17	9, 16	mpanl1 713	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (1 + 𝐴))
18	17	gt0ne0d 11802	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) ≠ 0)
19	8, 13, 18	divcan1d 12016	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) = 𝐴)
20	11	recnd 11261	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
21	20	mullidd 11251	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · (1 + 𝐴)) = (1 + 𝐴))
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 · (1 + 𝐴)) = (1 + 𝐴))
23	7, 19, 22	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴)))
24		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24, 12, 18	redivcld 12067	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
26		ltmul1 12089	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / (1 + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝐴))) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴))))
27	9, 26	mp3an2 1478	. . 3 ⊢ (((𝐴 / (1 + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝐴))) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴))))
28	25, 12, 17, 27	syl12anc 850	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴))))
29	23, 28	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268   / cdiv 11895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896

This theorem is used by: (None)