Theorem recp1lt1 12116

Description: Construct a number less than 1 from any nonnegative number. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recp1lt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1)

Proof of Theorem recp1lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1 12058	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
2		recn 11202	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11170	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		addcom 11404	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
5	2, 3, 4	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
6	1, 5	breqtrd 5167	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (1 + 𝐴))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (1 + 𝐴))
8	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		1re 11218	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		readdcl 11195	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
11	9, 10	mpan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
14		0lt1 11740	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
15		addgtge0 11706	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (1 + 𝐴))
16	14, 15	mpanr1 700	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (1 + 𝐴))
17	9, 16	mpanl1 697	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (1 + 𝐴))
18	17	gt0ne0d 11782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) ≠ 0)
19	8, 13, 18	divcan1d 11995	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) = 𝐴)
20	11	recnd 11246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
21	20	mullidd 11236	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · (1 + 𝐴)) = (1 + 𝐴))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 · (1 + 𝐴)) = (1 + 𝐴))
23	7, 19, 22	3brtr4d 5173	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴)))
24		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24, 12, 18	redivcld 12046	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
26		ltmul1 12068	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / (1 + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝐴))) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴))))
27	9, 26	mp3an2 1445	. . 3 ⊢ (((𝐴 / (1 + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝐴))) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴))))
28	25, 12, 17, 27	syl12anc 834	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴))))
29	23, 28	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252   ≤ cle 11253   / cdiv 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876

This theorem is referenced by: (None)