MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recgt1i 11274
Description: The reciprocal of a number greater than 1 is positive and less than 1. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
recgt1i ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1))

Proof of Theorem recgt1i
StepHypRef Expression
1 0lt1 10897 . . . . 5 0 < 1
2 0re 10378 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3 1re 10376 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
4 lttr 10453 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
52, 3, 4mp3an12 1524 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
61, 5mpani 686 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
76imdistani 564 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
8 recgt0 11221 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
10 recgt1 11273 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (1 / 𝐴) < 1))
1110biimpa 470 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < 1)
127, 11sylancom 582 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < 1)
139, 12jca 507 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2107   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   < clt 10411   / cdiv 11032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033
This theorem is referenced by:  recnz  11804  xov1plusxeqvd  12635  log2tlbnd  25124  padicabvf  25772  rtprmirr  38172  stoweidlem34  41178  eenglngeehlnmlem2  43474
  Copyright terms: Public domain W3C validator