MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recgt1i 12112
Description: The reciprocal of a number greater than 1 is positive and less than 1. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
recgt1i ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1))

Proof of Theorem recgt1i
StepHypRef Expression
1 0lt1 11737 . . . . 5 0 < 1
2 0re 11217 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3 1re 11215 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
4 lttr 11291 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
52, 3, 4mp3an12 1447 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
61, 5mpani 693 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
76imdistani 568 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
8 recgt0 12061 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
10 recgt1 12111 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (1 / 𝐴) < 1))
1110biimpa 476 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < 1)
127, 11sylancom 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < 1)
139, 12jca 511 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11249   / cdiv 11872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873
This theorem is referenced by:  recnz  12638  xov1plusxeqvd  13478  log2tlbnd  26828  padicabvf  27515  rtprmirr  41783  stoweidlem34  45303  eenglngeehlnmlem2  47680  sepfsepc  47815
  Copyright terms: Public domain W3C validator