MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgredg2vlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgredg2vlem2 26396
Description: Lemma 2 for usgredg2v 26397. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgredg2v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgredg2v.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
usgredg2v.a 𝐴 = {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)}
Assertion
Ref Expression
usgredg2vlem2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌𝐴) → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸,𝑧   𝑧,𝐺   𝑥,𝑁,𝑧   𝑧,𝑉   𝑥,𝑌,𝑧   𝑧,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem usgredg2vlem2
StepHypRef Expression
1 fveq2 6375 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝐸𝑥) = (𝐸𝑌))
21eleq2d 2830 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (𝑁 ∈ (𝐸𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))
3 usgredg2v.a . . . . 5 𝐴 = {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)}
42, 3elrab2 3523 . . . 4 (𝑌𝐴 ↔ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))
54biimpi 207 . . 3 (𝑌𝐴 → (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))
6 usgredg2v.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 usgredg2v.e . . . . . . . 8 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
86, 7usgredgreu 26388 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)) → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧})
983expb 1149 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌))) → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧})
106, 7, 3usgredg2vlem1 26395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉)
1110adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉)
1211ad4ant23 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉)
13 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐼𝑉 ↔ (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉))
1413adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → (𝐼𝑉 ↔ (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉))
1512, 14mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → 𝐼𝑉)
16 prcom 4422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑁, 𝑧} = {𝑧, 𝑁}
1716eqeq2i 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ↔ (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
1817reubii 3276 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
1918biimpi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
2019ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . 12 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
21 preq1 4423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝐼 → {𝑧, 𝑁} = {𝐼, 𝑁})
2221eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐼 → ((𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁} ↔ (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))
2322riota2 6825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → ((𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁} ↔ (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) = 𝐼))
2415, 20, 23syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → ((𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁} ↔ (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) = 𝐼))
2524exbiri 845 . . . . . . . . . 10 (((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → ((𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) = 𝐼 → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
2625com13 88 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) = 𝐼 → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
2726eqcoms 2773 . . . . . . . 8 (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
2827pm2.43i 52 . . . . . . 7 (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))
2928expdcom 403 . . . . . 6 ((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) → (𝑌𝐴 → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
309, 29mpancom 679 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌))) → (𝑌𝐴 → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
3130expcom 402 . . . 4 ((𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)) → (𝐺 ∈ USGraph → (𝑌𝐴 → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))))
3231com23 86 . . 3 ((𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)) → (𝑌𝐴 → (𝐺 ∈ USGraph → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))))
335, 32mpcom 38 . 2 (𝑌𝐴 → (𝐺 ∈ USGraph → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
3433impcom 396 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌𝐴) → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  ∃!wreu 3057  {crab 3059  {cpr 4336  dom cdm 5277  cfv 6068  crio 6802  Vtxcvtx 26165  iEdgciedg 26166  USGraphcusgr 26322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-hash 13322  df-edg 26217  df-umgr 26255  df-usgr 26324
This theorem is referenced by:  usgredg2v  26397
  Copyright terms: Public domain W3C validator