MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgredg2vlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgredg2vlem2 28483
Description: Lemma 2 for usgredg2v 28484. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgredg2v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgredg2v.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
usgredg2v.a 𝐴 = {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)}
Assertion
Ref Expression
usgredg2vlem2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌𝐴) → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸,𝑧   𝑧,𝐺   𝑥,𝑁,𝑧   𝑧,𝑉   𝑥,𝑌,𝑧   𝑧,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem usgredg2vlem2
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝐸𝑥) = (𝐸𝑌))
21eleq2d 2820 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (𝑁 ∈ (𝐸𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))
3 usgredg2v.a . . . . 5 𝐴 = {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)}
42, 3elrab2 3687 . . . 4 (𝑌𝐴 ↔ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))
54biimpi 215 . . 3 (𝑌𝐴 → (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))
6 usgredg2v.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 usgredg2v.e . . . . . . . 8 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
86, 7usgredgreu 28475 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)) → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧})
983expb 1121 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌))) → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧})
106, 7, 3usgredg2vlem1 28482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉)
1110adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉)
1211ad4ant23 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉)
13 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐼𝑉 ↔ (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉))
1413adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → (𝐼𝑉 ↔ (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉))
1512, 14mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → 𝐼𝑉)
16 prcom 4737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑁, 𝑧} = {𝑧, 𝑁}
1716eqeq2i 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ↔ (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
1817reubii 3386 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
1918biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
2019ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
21 preq1 4738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝐼 → {𝑧, 𝑁} = {𝐼, 𝑁})
2221eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐼 → ((𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁} ↔ (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))
2322riota2 7391 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → ((𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁} ↔ (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) = 𝐼))
2415, 20, 23syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → ((𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁} ↔ (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) = 𝐼))
2524exbiri 810 . . . . . . . . . 10 (((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → ((𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) = 𝐼 → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
2625com13 88 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) = 𝐼 → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
2726eqcoms 2741 . . . . . . . 8 (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
2827pm2.43i 52 . . . . . . 7 (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))
2928expdcom 416 . . . . . 6 ((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) → (𝑌𝐴 → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
309, 29mpancom 687 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌))) → (𝑌𝐴 → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
3130expcom 415 . . . 4 ((𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)) → (𝐺 ∈ USGraph → (𝑌𝐴 → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))))
3231com23 86 . . 3 ((𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)) → (𝑌𝐴 → (𝐺 ∈ USGraph → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))))
335, 32mpcom 38 . 2 (𝑌𝐴 → (𝐺 ∈ USGraph → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
3433impcom 409 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌𝐴) → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ∃!wreu 3375  {crab 3433  {cpr 4631  dom cdm 5677  cfv 6544  crio 7364  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  USGraphcusgr 28409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291  df-edg 28308  df-umgr 28343  df-usgr 28411
This theorem is referenced by:  usgredg2v  28484
  Copyright terms: Public domain W3C validator