MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgredg2vlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgredg2vlem2 28521
Description: Lemma 2 for usgredg2v 28522. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgredg2v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgredg2v.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
usgredg2v.a 𝐴 = {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)}
Assertion
Ref Expression
usgredg2vlem2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌𝐴) → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸,𝑧   𝑧,𝐺   𝑥,𝑁,𝑧   𝑧,𝑉   𝑥,𝑌,𝑧   𝑧,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem usgredg2vlem2
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝐸𝑥) = (𝐸𝑌))
21eleq2d 2819 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (𝑁 ∈ (𝐸𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))
3 usgredg2v.a . . . . 5 𝐴 = {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)}
42, 3elrab2 3686 . . . 4 (𝑌𝐴 ↔ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))
54biimpi 215 . . 3 (𝑌𝐴 → (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))
6 usgredg2v.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 usgredg2v.e . . . . . . . 8 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
86, 7usgredgreu 28513 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)) → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧})
983expb 1120 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌))) → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧})
106, 7, 3usgredg2vlem1 28520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉)
1110adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉)
1211ad4ant23 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉)
13 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐼𝑉 ↔ (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉))
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → (𝐼𝑉 ↔ (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) ∈ 𝑉))
1512, 14mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → 𝐼𝑉)
16 prcom 4736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑁, 𝑧} = {𝑧, 𝑁}
1716eqeq2i 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ↔ (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
1817reubii 3385 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
1918biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
2019ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})
21 preq1 4737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝐼 → {𝑧, 𝑁} = {𝐼, 𝑁})
2221eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐼 → ((𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁} ↔ (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))
2322riota2 7393 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ ∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → ((𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁} ↔ (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) = 𝐼))
2415, 20, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) ∧ 𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁})) → ((𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁} ↔ (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) = 𝐼))
2524exbiri 809 . . . . . . . . . 10 (((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → ((𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) = 𝐼 → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
2625com13 88 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) = 𝐼 → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
2726eqcoms 2740 . . . . . . . 8 (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
2827pm2.43i 52 . . . . . . 7 (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) ∧ 𝑌𝐴) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))
2928expdcom 415 . . . . . 6 ((∃!𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑁, 𝑧} ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)))) → (𝑌𝐴 → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
309, 29mpancom 686 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌))) → (𝑌𝐴 → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
3130expcom 414 . . . 4 ((𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)) → (𝐺 ∈ USGraph → (𝑌𝐴 → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))))
3231com23 86 . . 3 ((𝑌 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑌)) → (𝑌𝐴 → (𝐺 ∈ USGraph → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))))
335, 32mpcom 38 . 2 (𝑌𝐴 → (𝐺 ∈ USGraph → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁})))
3433impcom 408 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌𝐴) → (𝐼 = (𝑧𝑉 (𝐸𝑌) = {𝑧, 𝑁}) → (𝐸𝑌) = {𝐼, 𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  ∃!wreu 3374  {crab 3432  {cpr 4630  dom cdm 5676  cfv 6543  crio 7366  Vtxcvtx 28294  iEdgciedg 28295  USGraphcusgr 28447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-hash 14293  df-edg 28346  df-umgr 28381  df-usgr 28449
This theorem is referenced by:  usgredg2v  28522
  Copyright terms: Public domain W3C validator