Theorem hgmapvs 41848

Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 6. Also line 15 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapvs.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapvs.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hgmapvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hgmapvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapvs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapvs.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hgmapvs.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hgmapvs.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapvs	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))

Proof of Theorem hgmapvs

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapvs.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		hgmapvs.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hgmapvs.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hgmapvs.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hgmapvs.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
6		hgmapvs.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
7		hgmapvs.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		hgmapvs.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		hgmapvs.e	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
10		hgmapvs.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hgmapvs.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
12		hgmapvs.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		hgmapvs.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	hgmapval 41844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) = (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
15	14	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) = (𝐺‘𝐹))
16	2, 3, 6, 7, 11, 12, 13	hgmapcl 41846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13	hdmap14lem15 41839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))
18		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐹) → (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)))
19	18	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐹) → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥))))
20	19	ralbidv 3184	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥))))
21	20	riota2 7430	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) = (𝐺‘𝐹)))
22	16, 17, 21	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) = (𝐺‘𝐹)))
23	15, 22	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)))
24		oveq2 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹 · 𝑥) = (𝐹 · 𝑋))
25	24	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)))
26		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑋))
27	26	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))
28	25, 27	eqeq12d 2756	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋))))
29	28	rspcva 3633	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))
30	1, 23, 29	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃!wreu 3386  ‘cfv 6573  ℩crio 7403  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DVecHcdvh 41035  LCDualclcd 41543  HDMapchdma 41749  HGMapchg 41840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-undef 8314  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-nzr 20539  df-rlreg 20716  df-domn 20717  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lsatoms 38932  df-lshyp 38933  df-lcv 38975  df-lfl 39014  df-lkr 39042  df-ldual 39080  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tgrp 40700  df-tendo 40712  df-edring 40714  df-dveca 40960  df-disoa 40986  df-dvech 41036  df-dib 41096  df-dic 41130  df-dih 41186  df-doch 41305  df-djh 41352  df-lcdual 41544  df-mapd 41582  df-hvmap 41714  df-hdmap1 41750  df-hdmap 41751  df-hgmap 41841

This theorem is referenced by:  hgmapval0  41849  hgmapval1  41850  hgmapadd  41851  hgmapmul  41852  hgmaprnlem1N  41853  hgmap11  41859  hdmapglnm2  41868