Theorem hgmapvs 42348

Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 6. Also line 15 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapvs.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapvs.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hgmapvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hgmapvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapvs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapvs.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hgmapvs.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hgmapvs.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapvs	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))

Proof of Theorem hgmapvs

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapvs.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		hgmapvs.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hgmapvs.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hgmapvs.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hgmapvs.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
6		hgmapvs.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
7		hgmapvs.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		hgmapvs.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		hgmapvs.e	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
10		hgmapvs.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hgmapvs.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
12		hgmapvs.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		hgmapvs.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	hgmapval 42344	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) = (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
15	14	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) = (𝐺‘𝐹))
16	2, 3, 6, 7, 11, 12, 13	hgmapcl 42346	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13	hdmap14lem15 42339	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))
18		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐹) → (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)))
19	18	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐹) → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥))))
20	19	ralbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥))))
21	20	riota2 7340	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) = (𝐺‘𝐹)))
22	16, 17, 21	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) = (𝐺‘𝐹)))
23	15, 22	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)))
24		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹 · 𝑥) = (𝐹 · 𝑋))
25	24	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)))
26		fveq2 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑋))
27	26	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))
28	25, 27	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋))))
29	28	rspcva 3563	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))
30	1, 23, 29	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃!wreu 3341  ‘cfv 6490  ℩crio 7314  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  Scalarcsca 17212   ·_𝑠 cvsca 17213  HLchlt 39807  LHypclh 40441  DVecHcdvh 41535  LCDualclcd 42043  HDMapchdma 42249  HGMapchg 42340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-riotaBAD 39410

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-undef 8214  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-0g 17393  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-oppg 19310  df-lsm 19600  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-nzr 20479  df-rlreg 20660  df-domn 20661  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-lvec 21088  df-lsatoms 39433  df-lshyp 39434  df-lcv 39476  df-lfl 39515  df-lkr 39543  df-ldual 39581  df-oposet 39633  df-ol 39635  df-oml 39636  df-covers 39723  df-ats 39724  df-atl 39755  df-cvlat 39779  df-hlat 39808  df-llines 39955  df-lplanes 39956  df-lvols 39957  df-lines 39958  df-psubsp 39960  df-pmap 39961  df-padd 40253  df-lhyp 40445  df-laut 40446  df-ldil 40561  df-ltrn 40562  df-trl 40616  df-tgrp 41200  df-tendo 41212  df-edring 41214  df-dveca 41460  df-disoa 41486  df-dvech 41536  df-dib 41596  df-dic 41630  df-dih 41686  df-doch 41805  df-djh 41852  df-lcdual 42044  df-mapd 42082  df-hvmap 42214  df-hdmap1 42250  df-hdmap 42251  df-hgmap 42341

This theorem is referenced by:  hgmapval0  42349  hgmapval1  42350  hgmapadd  42351  hgmapmul  42352  hgmaprnlem1N  42353  hgmap11  42359  hdmapglnm2  42368