Theorem hgmapvs 43140

Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 6. Also line 15 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapvs.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapvs.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hgmapvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hgmapvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapvs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapvs.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hgmapvs.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hgmapvs.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapvs	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))

Proof of Theorem hgmapvs

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapvs.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		hgmapvs.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hgmapvs.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hgmapvs.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hgmapvs.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
6		hgmapvs.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
7		hgmapvs.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		hgmapvs.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		hgmapvs.e	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
10		hgmapvs.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hgmapvs.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
12		hgmapvs.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		hgmapvs.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	hgmapval 43136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) = (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
15	14	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) = (𝐺‘𝐹))
16	2, 3, 6, 7, 11, 12, 13	hgmapcl 43138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13	hdmap14lem15 43131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))
18		oveq1 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐹) → (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)))
19	18	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐹) → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥))))
20	19	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥))))
21	20	riota2 7425	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) = (𝐺‘𝐹)))
22	16, 17, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) = (𝐺‘𝐹)))
23	15, 22	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)))
24		oveq2 7451	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹 · 𝑥) = (𝐹 · 𝑋))
25	24	fveq2d 6912	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)))
26		fveq2 6908	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑋))
27	26	oveq2d 7459	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))
28	25, 27	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋))))
29	28	rspcva 3578	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))
30	1, 23, 29	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃!wreu 3367  ‘cfv 6558  ℩crio 7399  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  Scalarcsca 17460   ·_𝑠 cvsca 17461  HLchlt 40599  LHypclh 41233  DVecHcdvh 42327  LCDualclcd 42835  HDMapchdma 43041  HGMapchg 43132

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-riotaBAD 40202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-undef 8318  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-0g 17641  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-p1 18627  df-lat 18635  df-clat 18702  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cntz 19561  df-oppg 19590  df-lsm 19880  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-dvr 20661  df-nzr 20793  df-rlreg 20976  df-domn 20977  df-drng 21012  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-lvec 21408  df-lsatoms 40225  df-lshyp 40226  df-lcv 40268  df-lfl 40307  df-lkr 40335  df-ldual 40373  df-oposet 40425  df-ol 40427  df-oml 40428  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600  df-llines 40747  df-lplanes 40748  df-lvols 40749  df-lines 40750  df-psubsp 40752  df-pmap 40753  df-padd 41045  df-lhyp 41237  df-laut 41238  df-ldil 41353  df-ltrn 41354  df-trl 41408  df-tgrp 41992  df-tendo 42004  df-edring 42006  df-dveca 42252  df-disoa 42278  df-dvech 42328  df-dib 42388  df-dic 42422  df-dih 42478  df-doch 42597  df-djh 42644  df-lcdual 42836  df-mapd 42874  df-hvmap 43006  df-hdmap1 43042  df-hdmap 43043  df-hgmap 43133

This theorem is used by:  hgmapval0  43141  hgmapval1  43142  hgmapadd  43143  hgmapmul  43144  hgmaprnlem1N  43145  hgmap11  43151  hdmapglnm2  43160