Theorem hgmapvs 37965

Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 6. Also line 15 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapvs.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapvs.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hgmapvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hgmapvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapvs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapvs.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hgmapvs.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvs.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hgmapvs.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapvs	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))

Proof of Theorem hgmapvs

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapvs.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		hgmapvs.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hgmapvs.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hgmapvs.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hgmapvs.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
6		hgmapvs.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
7		hgmapvs.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		hgmapvs.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		hgmapvs.e	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
10		hgmapvs.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hgmapvs.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
12		hgmapvs.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		hgmapvs.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	hgmapval 37961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) = (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
15	14	eqcomd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) = (𝐺‘𝐹))
16	2, 3, 6, 7, 11, 12, 13	hgmapcl 37963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13	hdmap14lem15 37956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))
18		oveq1 6917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐹) → (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)))
19	18	eqeq2d 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐹) → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥))))
20	19	ralbidv 3195	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥))))
21	20	riota2 6893	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) = (𝐺‘𝐹)))
22	16, 17, 21	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))) = (𝐺‘𝐹)))
23	15, 22	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)))
24		oveq2 6918	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹 · 𝑥) = (𝐹 · 𝑋))
25	24	fveq2d 6441	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)))
26		fveq2 6437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑋))
27	26	oveq2d 6926	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))
28	25, 27	eqeq12d 2840	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋))))
29	28	rspcva 3524	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑥))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))
30	1, 23, 29	syl2anc 579	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = ((𝐺‘𝐹) ∙ (𝑆‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ∃!wreu 3119  ‘cfv 6127  ℩crio 6870  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  Scalarcsca 16315   ·_𝑠 cvsca 16316  HLchlt 35424  LHypclh 36058  DVecHcdvh 37152  LCDualclcd 37660  HDMapchdma 37866  HGMapchg 37957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-riotaBAD 35027

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-ot 4408  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-undef 7669  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-0g 16462  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-cntz 18107  df-oppg 18133  df-lsm 18409  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-drng 19112  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lvec 19469  df-lsatoms 35050  df-lshyp 35051  df-lcv 35093  df-lfl 35132  df-lkr 35160  df-ldual 35198  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tgrp 36817  df-tendo 36829  df-edring 36831  df-dveca 37077  df-disoa 37103  df-dvech 37153  df-dib 37213  df-dic 37247  df-dih 37303  df-doch 37422  df-djh 37469  df-lcdual 37661  df-mapd 37699  df-hvmap 37831  df-hdmap1 37867  df-hdmap 37868  df-hgmap 37958

This theorem is referenced by:  hgmapval0  37966  hgmapval1  37967  hgmapadd  37968  hgmapmul  37969  hgmaprnlem1N  37970  hgmap11  37976  hdmapglnm2  37985