Theorem fllelt 13795

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fllelt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))

Proof of Theorem fllelt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flval 13792	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
2	1	eqcomd 2734	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴))
3		flcl 13793	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
4		rebtwnz 12962	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
5		breq1 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴))
6		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝐴) + 1))
7	6	breq2d 5160	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
8	5, 7	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))))
9	8	riota2 7402	. . 3 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
10	3, 4, 9	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
11	2, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃!wreu 3371   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  ℩crio 7375  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  1c1 11140   + caddc 11142   < clt 11279   ≤ cle 11280  ℤcz 12589  ⌊cfl 13788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fl 13790

This theorem is referenced by:  flle  13797  flltp1  13798  flltnz  13809  fldivle  13829  prmreclem3  16887  opnmbllem  25543  gausslemma2dlem3  27314  dya2icoseg  33897  opnmbllem0  37129  ioodvbdlimc1lem2  45320  ioodvbdlimc2lem  45322  dirkercncflem4  45494