MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fllelt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fllelt 13765
Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fllelt (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))

Proof of Theorem fllelt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flval 13762 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
21eqcomd 2732 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴))
3 flcl 13763 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
4 rebtwnz 12932 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
5 breq1 5144 . . . . 5 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥𝐴 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴))
6 oveq1 7411 . . . . . 6 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝐴) + 1))
76breq2d 5153 . . . . 5 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
85, 7anbi12d 630 . . . 4 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))))
98riota2 7386 . . 3 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
103, 4, 9syl2anc 583 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
112, 10mpbird 257 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  ∃!wreu 3368   class class class wbr 5141  cfv 6536  crio 7359  (class class class)co 7404  cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249  cle 11250  cz 12559  cfl 13758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fl 13760
This theorem is referenced by:  flle  13767  flltp1  13768  flltnz  13779  fldivle  13799  prmreclem3  16858  opnmbllem  25481  gausslemma2dlem3  27252  dya2icoseg  33806  opnmbllem0  37035  ioodvbdlimc1lem2  45201  ioodvbdlimc2lem  45203  dirkercncflem4  45375
  Copyright terms: Public domain W3C validator