Theorem flval2 13268

Description: An alternate way to define the floor function. (Contributed by NM, 16-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
flval2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem flval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flle 13253	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
2		flge 13259	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ 𝑦 ≤ (⌊‘𝐴)))
3	2	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ (⌊‘𝐴)))
4	3	ralrimiva 3096	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ (⌊‘𝐴)))
5		flcl 13249	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
6		zmax 12420	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))
7		breq1 5030	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴))
8		breq2 5031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ (⌊‘𝐴)))
9	8	imbi2d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ (⌊‘𝐴))))
10	9	ralbidv 3109	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ (⌊‘𝐴))))
11	7, 10	anbi12d 634	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ (⌊‘𝐴)))))
12	11	riota2 7147	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ (⌊‘𝐴))) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))) = (⌊‘𝐴)))
13	5, 6, 12	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ (⌊‘𝐴))) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))) = (⌊‘𝐴)))
14	1, 4, 13	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))) = (⌊‘𝐴))
15	14	eqcomd 2744	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ∀wral 3053  ∃!wreu 3055   class class class wbr 5027  ‘cfv 6333  ℩crio 7120  ℝcr 10607   ≤ cle 10747  ℤcz 12055  ⌊cfl 13244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fl 13246

This theorem is referenced by: (None)