Theorem cdj3lem2 32464

Description: Lemma for cdj3i 32470. Value of the first-component function 𝑆. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj3lem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
cdj3lem2.3	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem2	⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		cdj3lem2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shsvai 31393	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
4		eqeq1 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +ℎ 𝐷) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
5	4	rexbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +ℎ 𝐷) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
6	5	riotabidv 7390	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +ℎ 𝐷) → (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
7		cdj3lem2.3	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
8		riotaex 7392	. . . . 5 ⊢ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 7016	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
10	3, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
11	10	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
12		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝐷)
13		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐷 → (𝐶 +ℎ 𝑤) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
14	13	rspceeqv 3645	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝐷)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
15	12, 14	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
16	15	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
17		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝐶 ∈ 𝐴)
18	1, 2	cdjreui 32461	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
19	3, 18	stoic3 1773	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
20		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
21	20	eqeq2d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ((𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤)))
22	21	rexbidv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤)))
23	22	riota2 7413	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∃!𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤) ↔ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = 𝐶))
24	17, 19, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤) ↔ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = 𝐶))
25	16, 24	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = 𝐶)
26	11, 25	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  ∃!wreu 3376   ∩ cin 3962   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  ℩crio 7387  (class class class)co 7431   +_ℎ cva 30949   S_ℋ csh 30957   +_ℋ cph 30960  0_ℋc0h 30964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-grpo 30522  df-ablo 30574  df-hvsub 31000  df-sh 31236  df-ch0 31282  df-shs 31337

This theorem is referenced by:  cdj3lem2a  32465  cdj3lem2b  32466  cdj3lem3  32467  cdj3i  32470