Theorem cdj3lem2 32415

Description: Lemma for cdj3i 32421. Value of the first-component function 𝑆. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj3lem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
cdj3lem2.3	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem2	⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		cdj3lem2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shsvai 31344	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
4		eqeq1 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +ℎ 𝐷) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
5	4	rexbidv 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +ℎ 𝐷) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
6	5	riotabidv 7305	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +ℎ 𝐷) → (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
7		cdj3lem2.3	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
8		riotaex 7307	. . . . 5 ⊢ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6929	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
10	3, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
11	10	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
12		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝐷)
13		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐷 → (𝐶 +ℎ 𝑤) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
14	13	rspceeqv 3595	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝐷)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
15	12, 14	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
16	15	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
17		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝐶 ∈ 𝐴)
18	1, 2	cdjreui 32412	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
19	3, 18	stoic3 1777	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
20		oveq1 7353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
21	20	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ((𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤)))
22	21	rexbidv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤)))
23	22	riota2 7328	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∃!𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤) ↔ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = 𝐶))
24	17, 19, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤) ↔ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = 𝐶))
25	16, 24	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = 𝐶)
26	11, 25	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344   ∩ cin 3896   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  ℩crio 7302  (class class class)co 7346   +_ℎ cva 30900   S_ℋ csh 30908   +_ℋ cph 30911  0_ℋc0h 30915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvmulass 30987  ax-hvdistr1 30988  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-grpo 30473  df-ablo 30525  df-hvsub 30951  df-sh 31187  df-ch0 31233  df-shs 31288

This theorem is referenced by:  cdj3lem2a  32416  cdj3lem2b  32417  cdj3lem3  32418  cdj3i  32421