HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3lem2 29645
Description: Lemma for cdj3i 29651. Value of the first-component function 𝑆. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1 𝐴S
cdj3lem2.2 𝐵S
cdj3lem2.3 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
Assertion
Ref Expression
cdj3lem2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem2
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . . . 5 𝐴S
2 cdj3lem2.2 . . . . 5 𝐵S
31, 2shsvai 28574 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵))
4 eqeq1 2821 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐶 + 𝐷) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ↔ (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
54rexbidv 3251 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐶 + 𝐷) → (∃𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
65riotabidv 6847 . . . . 5 (𝑥 = (𝐶 + 𝐷) → (𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) = (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
7 cdj3lem2.3 . . . . 5 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
8 riotaex 6849 . . . . 5 (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6513 . . . 4 ((𝐶 + 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
103, 9syl 17 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
11103adant3 1155 . 2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
12 eqid 2817 . . . . 5 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝐷)
13 oveq2 6892 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐷 → (𝐶 + 𝑤) = (𝐶 + 𝐷))
1413rspceeqv 3531 . . . . 5 ((𝐷𝐵 ∧ (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝐷)) → ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤))
1512, 14mpan2 674 . . . 4 (𝐷𝐵 → ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤))
16153ad2ant2 1157 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤))
17 simp1 1159 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → 𝐶𝐴)
181, 2cdjreui 29642 . . . . 5 (((𝐶 + 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ∃!𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤))
193, 18stoic3 1856 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ∃!𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤))
20 oveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 + 𝑤) = (𝐶 + 𝑤))
2120eqeq2d 2827 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐶 → ((𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤) ↔ (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤)))
2221rexbidv 3251 . . . . 5 (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤)))
2322riota2 6867 . . . 4 ((𝐶𝐴 ∧ ∃!𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) → (∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤) ↔ (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) = 𝐶))
2417, 19, 23syl2anc 575 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤) ↔ (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) = 𝐶))
2516, 24mpbid 223 . 2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) = 𝐶)
2611, 25eqtrd 2851 1 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wrex 3108  ∃!wreu 3109  cin 3779  cmpt 4934  cfv 6111  crio 6844  (class class class)co 6884   + cva 28128   S csh 28136   + cph 28139  0c0h 28143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-hilex 28207  ax-hfvadd 28208  ax-hvcom 28209  ax-hvass 28210  ax-hv0cl 28211  ax-hvaddid 28212  ax-hfvmul 28213  ax-hvmulid 28214  ax-hvmulass 28215  ax-hvdistr1 28216  ax-hvdistr2 28217  ax-hvmul0 28218
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5232  df-po 5245  df-so 5246  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-grpo 27699  df-ablo 27751  df-hvsub 28179  df-sh 28415  df-ch0 28461  df-shs 28518
This theorem is referenced by:  cdj3lem2a  29646  cdj3lem2b  29647  cdj3lem3  29648  cdj3i  29651
  Copyright terms: Public domain W3C validator