Theorem cdj3lem2 32421

Description: Lemma for cdj3i 32427. Value of the first-component function 𝑆. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj3lem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
cdj3lem2.3	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem2	⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		cdj3lem2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shsvai 31350	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
4		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +ℎ 𝐷) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
5	4	rexbidv 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +ℎ 𝐷) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
6	5	riotabidv 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +ℎ 𝐷) → (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
7		cdj3lem2.3	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
8		riotaex 7371	. . . . 5 ⊢ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6991	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
10	3, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
11	10	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
12		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝐷)
13		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐷 → (𝐶 +ℎ 𝑤) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
14	13	rspceeqv 3629	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝐷)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
15	12, 14	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
16	15	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
17		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝐶 ∈ 𝐴)
18	1, 2	cdjreui 32418	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
19	3, 18	stoic3 1776	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
20		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
21	20	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ((𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤)))
22	21	rexbidv 3165	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤)))
23	22	riota2 7392	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∃!𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤) ↔ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = 𝐶))
24	17, 19, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤) ↔ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = 𝐶))
25	16, 24	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = 𝐶)
26	11, 25	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061  ∃!wreu 3362   ∩ cin 3930   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  (class class class)co 7410   +_ℎ cva 30906   S_ℋ csh 30914   +_ℋ cph 30917  0_ℋc0h 30921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-hilex 30985  ax-hfvadd 30986  ax-hvcom 30987  ax-hvass 30988  ax-hv0cl 30989  ax-hvaddid 30990  ax-hfvmul 30991  ax-hvmulid 30992  ax-hvmulass 30993  ax-hvdistr1 30994  ax-hvdistr2 30995  ax-hvmul0 30996

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-grpo 30479  df-ablo 30531  df-hvsub 30957  df-sh 31193  df-ch0 31239  df-shs 31294

This theorem is referenced by:  cdj3lem2a  32422  cdj3lem2b  32423  cdj3lem3  32424  cdj3i  32427