HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3lem2 32577
Description: Lemma for cdj3i 32583. Value of the first-component function 𝑆. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1 𝐴S
cdj3lem2.2 𝐵S
cdj3lem2.3 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
Assertion
Ref Expression
cdj3lem2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem2
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . . . 5 𝐴S
2 cdj3lem2.2 . . . . 5 𝐵S
31, 2shsvai 31506 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵))
4 eqeq1 2760 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐶 + 𝐷) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ↔ (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
54rexbidv 3180 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐶 + 𝐷) → (∃𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
65riotabidv 7344 . . . . 5 (𝑥 = (𝐶 + 𝐷) → (𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) = (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
7 cdj3lem2.3 . . . . 5 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
8 riotaex 7346 . . . . 5 (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6964 . . . 4 ((𝐶 + 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
103, 9syl 17 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
11103adant3 1141 . 2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
12 eqid 2756 . . . . 5 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝐷)
13 oveq2 7393 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐷 → (𝐶 + 𝑤) = (𝐶 + 𝐷))
1413rspceeqv 3599 . . . . 5 ((𝐷𝐵 ∧ (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝐷)) → ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤))
1512, 14mpan2 699 . . . 4 (𝐷𝐵 → ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤))
16153ad2ant2 1143 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤))
17 simp1 1145 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → 𝐶𝐴)
181, 2cdjreui 32574 . . . . 5 (((𝐶 + 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ∃!𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤))
193, 18stoic3 1790 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ∃!𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤))
20 oveq1 7392 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 + 𝑤) = (𝐶 + 𝑤))
2120eqeq2d 2767 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐶 → ((𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤) ↔ (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤)))
2221rexbidv 3180 . . . . 5 (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤)))
2322riota2 7367 . . . 4 ((𝐶𝐴 ∧ ∃!𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) → (∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤) ↔ (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) = 𝐶))
2417, 19, 23syl2anc 592 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤) ↔ (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) = 𝐶))
2516, 24mpbid 234 . 2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) = 𝐶)
2611, 25eqtrd 2791 1 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1095   = wceq 1554  wcel 2136  wrex 3080  ∃!wreu 3359  cin 3898  cmpt 5175  cfv 6510  crio 7341  (class class class)co 7385   + cva 31062   S csh 31070   + cph 31073  0c0h 31077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-hilex 31141  ax-hfvadd 31142  ax-hvcom 31143  ax-hvass 31144  ax-hv0cl 31145  ax-hvaddid 31146  ax-hfvmul 31147  ax-hvmulid 31148  ax-hvmulass 31149  ax-hvdistr1 31150  ax-hvdistr2 31151  ax-hvmul0 31152
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-grpo 30635  df-ablo 30687  df-hvsub 31113  df-sh 31349  df-ch0 31395  df-shs 31450
This theorem is referenced by:  cdj3lem2a  32578  cdj3lem2b  32579  cdj3lem3  32580  cdj3i  32583
  Copyright terms: Public domain W3C validator