Theorem cdj3lem2 30797

Description: Lemma for cdj3i 30803. Value of the first-component function 𝑆. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj3lem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
cdj3lem2.3	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem2	⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		cdj3lem2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shsvai 29726	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
4		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +ℎ 𝐷) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
5	4	rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +ℎ 𝐷) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
6	5	riotabidv 7234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +ℎ 𝐷) → (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
7		cdj3lem2.3	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
8		riotaex 7236	. . . . 5 ⊢ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6875	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
10	3, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
11	10	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
12		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝐷)
13		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐷 → (𝐶 +ℎ 𝑤) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
14	13	rspceeqv 3575	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝐷)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
15	12, 14	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
16	15	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
17		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝐶 ∈ 𝐴)
18	1, 2	cdjreui 30794	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
19	3, 18	stoic3 1779	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
20		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝐶 +ℎ 𝑤))
21	20	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ((𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤)))
22	21	rexbidv 3226	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤)))
23	22	riota2 7258	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∃!𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤) ↔ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = 𝐶))
24	17, 19, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝑤) ↔ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = 𝐶))
25	16, 24	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) = 𝐶)
26	11, 25	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066   ∩ cin 3886   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275   +_ℎ cva 29282   S_ℋ csh 29290   +_ℋ cph 29293  0_ℋc0h 29297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-grpo 28855  df-ablo 28907  df-hvsub 29333  df-sh 29569  df-ch0 29615  df-shs 29670

This theorem is referenced by:  cdj3lem2a  30798  cdj3lem2b  30799  cdj3lem3  30800  cdj3i  30803