Theorem flflp1 13172

Description: Move floor function between strict and non-strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
flflp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))

Proof of Theorem flflp1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 13165	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
2	1	ad3antrrr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3		flval 13159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))))
4	3	ad3antlr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))))
5		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
6	1	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
7		reflcl 13161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
8		peano2re 10802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
10	9	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
11		lttr 10706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
12	10, 11	mpd3an3 1459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
13	12	ancoms 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
14	6, 13	mpan2d 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
15	14	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))
16	15	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))
17		flcl 13160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
18		rebtwnz 12335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1)))
19		breq1 5033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
20		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝐴) + 1))
21	20	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝐵 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
22	19, 21	anbi12d 633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1)) ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))))
23	22	riota2 7118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
24	17, 18, 23	syl2an 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
25	24	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
26	5, 16, 25	mpbi2and 711	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴))
27	4, 26	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) = (⌊‘𝐴))
28	27	oveq1d 7150	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((⌊‘𝐵) + 1) = ((⌊‘𝐴) + 1))
29	2, 28	breqtrrd 5058	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
30	29	ex 416	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
31		lenlt 10708	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
32		flltp1 13165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1))
33	32	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1))
34		reflcl 13161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ∈ ℝ)
35		peano2re 10802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐵) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
37	36	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
38		lelttr 10720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
39	37, 38	mpd3an3 1459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
40	33, 39	mpan2d 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
41	31, 40	sylbird 263	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
42	41	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
43	30, 42	pm2.61d 182	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
44		flval 13159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
45	44	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
46	34	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ∈ ℝ)
47		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
48		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		flle 13164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
50	49	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
51		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
52	46, 48, 47, 50, 51	lelttrd 10787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) < 𝐴)
53	46, 47, 52	ltled 10777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴)
54	53	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴)
55		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
56		flcl 13160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ∈ ℤ)
57		rebtwnz 12335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
58		breq1 5033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴))
59		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝐵) + 1))
60	59	breq2d 5042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
61	58, 60	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))))
62	61	riota2 7118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
63	56, 57, 62	syl2anr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
64	63	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
65	54, 55, 64	mpbi2and 711	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵))
66	45, 65	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (⌊‘𝐵))
67	49	ad3antlr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
68	66, 67	eqbrtrd 5052	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
69	68	ex 416	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
70		flle 13164	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
71	70	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
72	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
73		letr 10723	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
74	73	3coml 1124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
75	72, 74	mpd3an3 1459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
76	71, 75	mpand 694	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
77	31, 76	sylbird 263	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
78	77	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
79	69, 78	pm2.61d 182	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
80	43, 79	impbida 800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃!wreu 3108   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  ℩crio 7092  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ⌊cfl 13155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fl 13157

This theorem is referenced by:  itg2addnclem2  35109  hashnzfzclim  41026  fllog2  44982