Theorem flflp1 13757

Description: Move floor function between strict and non-strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
flflp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))

Proof of Theorem flflp1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 13750	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
2	1	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3		flval 13744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))))
4	3	ad3antlr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))))
5		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
6	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
7		reflcl 13746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
8		peano2re 11310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
11		lttr 11213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
12	10, 11	mpd3an3 1465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
13	12	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
14	6, 13	mpan2d 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
15	14	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))
16	15	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))
17		flcl 13745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
18		rebtwnz 12888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1)))
19		breq1 5089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
20		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝐴) + 1))
21	20	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝐵 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
22	19, 21	anbi12d 633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1)) ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))))
23	22	riota2 7342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
24	17, 18, 23	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
25	24	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
26	5, 16, 25	mpbi2and 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴))
27	4, 26	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) = (⌊‘𝐴))
28	27	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((⌊‘𝐵) + 1) = ((⌊‘𝐴) + 1))
29	2, 28	breqtrrd 5114	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
30	29	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
31		lenlt 11215	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
32		flltp1 13750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1))
34		reflcl 13746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ∈ ℝ)
35		peano2re 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐵) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
38		lelttr 11227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
39	37, 38	mpd3an3 1465	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
40	33, 39	mpan2d 695	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
41	31, 40	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
43	30, 42	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
44		flval 13744	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
45	44	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
46	34	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ∈ ℝ)
47		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
48		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		flle 13749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
50	49	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
51		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
52	46, 48, 47, 50, 51	lelttrd 11295	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) < 𝐴)
53	46, 47, 52	ltled 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴)
54	53	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴)
55		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
56		flcl 13745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ∈ ℤ)
57		rebtwnz 12888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
58		breq1 5089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴))
59		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝐵) + 1))
60	59	breq2d 5098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
61	58, 60	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))))
62	61	riota2 7342	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
63	56, 57, 62	syl2anr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
64	63	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
65	54, 55, 64	mpbi2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵))
66	45, 65	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (⌊‘𝐵))
67	49	ad3antlr 732	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
68	66, 67	eqbrtrd 5108	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
70		flle 13749	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
71	70	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
72	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
73		letr 11231	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
74	73	3coml 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
75	72, 74	mpd3an3 1465	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
76	71, 75	mpand 696	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
77	31, 76	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
78	77	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
79	69, 78	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
80	43, 79	impbida 801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃!wreu 3341   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  ℩crio 7316  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℤcz 12515  ⌊cfl 13740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fl 13742

This theorem is referenced by:  itg2addnclem2  38007  hashnzfzclim  44767  fllog2  49056