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Theorem flflp1 13775
Description: Move floor function between strict and non-strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
flflp1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))

Proof of Theorem flflp1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flltp1 13768 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
21ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3 flval 13762 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))))
43ad3antlr 728 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))))
5 simplr 766 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
61adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
7 reflcl 13764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
8 peano2re 11388 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
11 lttr 11291 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
1210, 11mpd3an3 1458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
1312ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
146, 13mpan2d 691 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
1514imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))
1615adantlr 712 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))
17 flcl 13763 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
18 rebtwnz 12932 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1)))
19 breq1 5144 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥𝐵 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
20 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝐴) + 1))
2120breq2d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝐵 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2219, 21anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → ((𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1)) ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))))
2322riota2 7386 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
2417, 18, 23syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
2524ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
265, 16, 25mpbi2and 709 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴))
274, 26eqtrd 2766 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) = (⌊‘𝐴))
2827oveq1d 7419 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((⌊‘𝐵) + 1) = ((⌊‘𝐴) + 1))
292, 28breqtrrd 5169 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
3029ex 412 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
31 lenlt 11293 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
32 flltp1 13768 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1))
3332adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1))
34 reflcl 13764 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ∈ ℝ)
35 peano2re 11388 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐵) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
3736adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
38 lelttr 11305 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
3937, 38mpd3an3 1458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
4033, 39mpan2d 691 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
4131, 40sylbird 260 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
4241adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → (¬ 𝐵 < 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
4330, 42pm2.61d 179 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
44 flval 13762 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
4544ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
4634ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ∈ ℝ)
47 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
48 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 flle 13767 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
5049ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
51 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
5246, 48, 47, 50, 51lelttrd 11373 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) < 𝐴)
5346, 47, 52ltled 11363 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴)
5453adantlr 712 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴)
55 simplr 766 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
56 flcl 13763 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ∈ ℤ)
57 rebtwnz 12932 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
58 breq1 5144 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝑥𝐴 ↔ (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴))
59 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝐵) + 1))
6059breq2d 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
6158, 60anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (⌊‘𝐵) → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))))
6261riota2 7386 . . . . . . . . 9 (((⌊‘𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
6356, 57, 62syl2anr 596 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
6463ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
6554, 55, 64mpbi2and 709 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵))
6645, 65eqtrd 2766 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (⌊‘𝐵))
6749ad3antlr 728 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
6866, 67eqbrtrd 5163 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
6968ex 412 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
70 flle 13767 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
7170adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
727adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
73 letr 11309 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
74733coml 1124 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
7572, 74mpd3an3 1458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
7671, 75mpand 692 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
7731, 76sylbird 260 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
7877adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
7969, 78pm2.61d 179 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
8043, 79impbida 798 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  ∃!wreu 3368   class class class wbr 5141  cfv 6536  crio 7359  (class class class)co 7404  cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249  cle 11250  cz 12559  cfl 13758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fl 13760
This theorem is referenced by:  itg2addnclem2  37051  hashnzfzclim  43638  fllog2  47510
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