Theorem flflp1 13715

Description: Move floor function between strict and non-strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
flflp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))

Proof of Theorem flflp1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 13708	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
2	1	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3		flval 13702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))))
4	3	ad3antlr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))))
5		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
6	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
7		reflcl 13704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
8		peano2re 11295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
11		lttr 11198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
12	10, 11	mpd3an3 1464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
13	12	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
14	6, 13	mpan2d 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
15	14	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))
16	15	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))
17		flcl 13703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
18		rebtwnz 12849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1)))
19		breq1 5098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
20		oveq1 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝐴) + 1))
21	20	breq2d 5107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝐵 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
22	19, 21	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1)) ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))))
23	22	riota2 7336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
24	17, 18, 23	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
26	5, 16, 25	mpbi2and 712	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴))
27	4, 26	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) = (⌊‘𝐴))
28	27	oveq1d 7369	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((⌊‘𝐵) + 1) = ((⌊‘𝐴) + 1))
29	2, 28	breqtrrd 5123	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
30	29	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
31		lenlt 11200	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
32		flltp1 13708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1))
34		reflcl 13704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ∈ ℝ)
35		peano2re 11295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐵) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
38		lelttr 11212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
39	37, 38	mpd3an3 1464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
40	33, 39	mpan2d 694	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
41	31, 40	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
43	30, 42	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
44		flval 13702	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
45	44	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
46	34	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ∈ ℝ)
47		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
48		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		flle 13707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
50	49	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
51		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
52	46, 48, 47, 50, 51	lelttrd 11280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) < 𝐴)
53	46, 47, 52	ltled 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴)
54	53	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴)
55		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
56		flcl 13703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ∈ ℤ)
57		rebtwnz 12849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
58		breq1 5098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴))
59		oveq1 7361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝐵) + 1))
60	59	breq2d 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
61	58, 60	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))))
62	61	riota2 7336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
63	56, 57, 62	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
64	63	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
65	54, 55, 64	mpbi2and 712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵))
66	45, 65	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (⌊‘𝐵))
67	49	ad3antlr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
68	66, 67	eqbrtrd 5117	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
70		flle 13707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
71	70	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
72	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
73		letr 11216	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
74	73	3coml 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
75	72, 74	mpd3an3 1464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
76	71, 75	mpand 695	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
77	31, 76	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
78	77	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
79	69, 78	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
80	43, 79	impbida 800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃!wreu 3345   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488  ℩crio 7310  (class class class)co 7354  ℝcr 11014  1c1 11016   + caddc 11018   < clt 11155   ≤ cle 11156  ℤcz 12477  ⌊cfl 13698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fl 13700

This theorem is referenced by:  itg2addnclem2  37735  hashnzfzclim  44442  fllog2  48696