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Theorem flflp1 13407
Description: Move floor function between strict and non-strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
flflp1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))

Proof of Theorem flflp1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flltp1 13400 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
21ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3 flval 13394 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))))
43ad3antlr 731 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))))
5 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
61adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
7 reflcl 13396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
8 peano2re 11030 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
109adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
11 lttr 10934 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
1210, 11mpd3an3 1464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
1312ancoms 462 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
146, 13mpan2d 694 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
1514imp 410 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))
1615adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))
17 flcl 13395 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
18 rebtwnz 12568 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1)))
19 breq1 5071 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥𝐵 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
20 oveq1 7239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝐴) + 1))
2120breq2d 5080 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝐵 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2219, 21anbi12d 634 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → ((𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1)) ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))))
2322riota2 7215 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
2417, 18, 23syl2an 599 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
2524ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
265, 16, 25mpbi2and 712 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐵𝐵 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴))
274, 26eqtrd 2778 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) = (⌊‘𝐴))
2827oveq1d 7247 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((⌊‘𝐵) + 1) = ((⌊‘𝐴) + 1))
292, 28breqtrrd 5096 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
3029ex 416 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
31 lenlt 10936 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
32 flltp1 13400 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1))
3332adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1))
34 reflcl 13396 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ∈ ℝ)
35 peano2re 11030 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐵) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
3736adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
38 lelttr 10948 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐵) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
3937, 38mpd3an3 1464 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
4033, 39mpan2d 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
4131, 40sylbird 263 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
4241adantr 484 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → (¬ 𝐵 < 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
4330, 42pm2.61d 182 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
44 flval 13394 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
4544ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
4634ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ∈ ℝ)
47 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
48 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 flle 13399 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
5049ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
51 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
5246, 48, 47, 50, 51lelttrd 11015 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) < 𝐴)
5346, 47, 52ltled 11005 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴)
5453adantlr 715 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴)
55 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))
56 flcl 13395 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ∈ ℤ)
57 rebtwnz 12568 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
58 breq1 5071 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝑥𝐴 ↔ (⌊‘𝐵) ≤ 𝐴))
59 oveq1 7239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝐵) + 1))
6059breq2d 5080 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (⌊‘𝐵) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
6158, 60anbi12d 634 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (⌊‘𝐵) → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1))))
6261riota2 7215 . . . . . . . . 9 (((⌊‘𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
6356, 57, 62syl2anr 600 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
6463ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((⌊‘𝐵) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵)))
6554, 55, 64mpbi2and 712 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐵))
6645, 65eqtrd 2778 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (⌊‘𝐵))
6749ad3antlr 731 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐵) ≤ 𝐵)
6866, 67eqbrtrd 5090 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
6968ex 416 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
70 flle 13399 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
7170adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
727adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
73 letr 10951 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
74733coml 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
7572, 74mpd3an3 1464 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
7671, 75mpand 695 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
7731, 76sylbird 263 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
7877adantr 484 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵))
7969, 78pm2.61d 182 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐵)
8043, 79impbida 801 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐵𝐴 < ((⌊‘𝐵) + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  ∃!wreu 3064   class class class wbr 5068  cfv 6398  crio 7188  (class class class)co 7232  cr 10753  1c1 10755   + caddc 10757   < clt 10892  cle 10893  cz 12201  cfl 13390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831  ax-pre-sup 10832
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-sup 9083  df-inf 9084  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-nn 11856  df-n0 12116  df-z 12202  df-uz 12464  df-fl 13392
This theorem is referenced by:  itg2addnclem2  35596  hashnzfzclim  41646  fllog2  45618
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