MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flbi 12999
Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by NM, 11-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
flbi ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1))))

Proof of Theorem flbi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flval 12977 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
21eqeq1d 2773 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
32adantr 473 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
4 rebtwnz 12159 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
5 breq1 4928 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
6 oveq1 6981 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 + 1) = (𝐵 + 1))
76breq2d 4937 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < (𝐵 + 1)))
85, 7anbi12d 622 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1))))
98riota2 6957 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) → ((𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
104, 9sylan2 584 . . 3 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
1110ancoms 451 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
123, 11bitr4d 274 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  ∃!wreu 3083   class class class wbr 4925  cfv 6185  crio 6934  (class class class)co 6974  cr 10332  1c1 10334   + caddc 10336   < clt 10472  cle 10473  cz 11791  cfl 12973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fl 12975
This theorem is referenced by:  flbi2  13000  fladdz  13008  btwnzge0  13011  bitsfzolem  15641  bitsfzo  15642  bitsmod  15643  bitscmp  15645  pcfaclem  16088  mbfi1fseqlem4  24037  dvfsumlem1  24341  fsumharmonic  25306  ppiub  25497  chpub  25513  bposlem1  25577  bposlem2  25578  ex-fl  28019  subfacval3  32058  itg2addnclem2  34422  hashnzfz2  40107  oddfl  41006  halffl  41026  fourierdlem65  41921  sqrtpwpw2p  43102  flsqrt  43158  fldivexpfllog2  44027  nnlog2ge0lt1  44028  blen1b  44050
  Copyright terms: Public domain W3C validator