MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flbi 12861
Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by NM, 11-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
flbi ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1))))

Proof of Theorem flbi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flval 12839 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
21eqeq1d 2819 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
32adantr 468 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
4 rebtwnz 12026 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
5 breq1 4858 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
6 oveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 + 1) = (𝐵 + 1))
76breq2d 4867 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < (𝐵 + 1)))
85, 7anbi12d 618 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1))))
98riota2 6867 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) → ((𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
104, 9sylan2 582 . . 3 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
1110ancoms 448 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
123, 11bitr4d 273 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  ∃!wreu 3109   class class class wbr 4855  cfv 6111  crio 6844  (class class class)co 6884  cr 10230  1c1 10232   + caddc 10234   < clt 10369  cle 10370  cz 11663  cfl 12835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-sup 8597  df-inf 8598  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-nn 11316  df-n0 11580  df-z 11664  df-uz 11925  df-fl 12837
This theorem is referenced by:  flbi2  12862  fladdz  12870  btwnzge0  12873  bitsfzolem  15395  bitsfzo  15396  bitsmod  15397  bitscmp  15399  pcfaclem  15839  mbfi1fseqlem4  23722  dvfsumlem1  24026  fsumharmonic  24975  ppiub  25166  chpub  25182  bposlem1  25246  bposlem2  25247  ex-fl  27658  subfacval3  31516  itg2addnclem2  33793  hashnzfz2  39038  oddfl  39989  halffl  40009  fourierdlem65  40885  sqrtpwpw2p  42043  flsqrt  42101  fldivexpfllog2  42945  nnlog2ge0lt1  42946  blen1b  42968
  Copyright terms: Public domain W3C validator