MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flbi 13391
Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by NM, 11-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
flbi ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1))))

Proof of Theorem flbi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flval 13369 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
21eqeq1d 2739 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
32adantr 484 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
4 rebtwnz 12543 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
5 breq1 5056 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
6 oveq1 7220 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 + 1) = (𝐵 + 1))
76breq2d 5065 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < (𝐵 + 1)))
85, 7anbi12d 634 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1))))
98riota2 7196 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) → ((𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
104, 9sylan2 596 . . 3 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
1110ancoms 462 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
123, 11bitr4d 285 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  ∃!wreu 3063   class class class wbr 5053  cfv 6380  crio 7169  (class class class)co 7213  cr 10728  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867  cle 10868  cz 12176  cfl 13365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fl 13367
This theorem is referenced by:  flbi2  13392  fladdz  13400  btwnzge0  13403  bitsfzolem  15993  bitsfzo  15994  bitsmod  15995  bitscmp  15997  pcfaclem  16451  mbfi1fseqlem4  24616  dvfsumlem1  24923  fsumharmonic  25894  ppiub  26085  chpub  26101  bposlem1  26165  bposlem2  26166  ex-fl  28530  subfacval3  32864  itg2addnclem2  35566  aks4d1p1  39817  hashnzfz2  41612  oddfl  42488  halffl  42508  fourierdlem65  43387  sqrtpwpw2p  44663  flsqrt  44718  fldivexpfllog2  45584  nnlog2ge0lt1  45585  blen1b  45607
  Copyright terms: Public domain W3C validator