Theorem flbi 13833

Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by NM, 11-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
flbi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1))))

Proof of Theorem flbi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flval 13811	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
2	1	eqeq1d 2737	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
4		rebtwnz 12963	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
5		breq1 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
6		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 + 1) = (𝐵 + 1))
7	6	breq2d 5131	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < (𝐵 + 1)))
8	5, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1))))
9	8	riota2 7387	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
10	4, 9	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
11	10	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
12	3, 11	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃!wreu 3357   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  ℩crio 7361  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℤcz 12588  ⌊cfl 13807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fl 13809

This theorem is referenced by:  flbi2  13834  fladdz  13842  btwnzge0  13845  bitsfzolem  16453  bitsfzo  16454  bitsmod  16455  bitscmp  16457  pcfaclem  16918  mbfi1fseqlem4  25671  dvfsumlem1  25984  fsumharmonic  26974  ppiub  27167  chpub  27183  bposlem1  27247  bposlem2  27248  ex-fl  30428  subfacval3  35211  itg2addnclem2  37696  aks4d1p1  42089  hashnzfz2  44345  oddfl  45306  halffl  45325  fourierdlem65  46200  ceilbi  47362  sqrtpwpw2p  47552  flsqrt  47607  fldivexpfllog2  48545  nnlog2ge0lt1  48546  blen1b  48568