MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flbi 13718
Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by NM, 11-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
flbi ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1))))

Proof of Theorem flbi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flval 13696 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
21eqeq1d 2738 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
32adantr 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
4 rebtwnz 12869 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
5 breq1 5107 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
6 oveq1 7361 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 + 1) = (𝐵 + 1))
76breq2d 5116 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < (𝐵 + 1)))
85, 7anbi12d 631 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1))))
98riota2 7336 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) → ((𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
104, 9sylan2 593 . . 3 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
1110ancoms 459 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
123, 11bitr4d 281 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐴𝐴 < (𝐵 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  ∃!wreu 3350   class class class wbr 5104  cfv 6494  crio 7309  (class class class)co 7354  cr 11047  1c1 11049   + caddc 11051   < clt 11186  cle 11187  cz 12496  cfl 13692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-sup 9375  df-inf 9376  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-fl 13694
This theorem is referenced by:  flbi2  13719  fladdz  13727  btwnzge0  13730  bitsfzolem  16311  bitsfzo  16312  bitsmod  16313  bitscmp  16315  pcfaclem  16767  mbfi1fseqlem4  25079  dvfsumlem1  25386  fsumharmonic  26357  ppiub  26548  chpub  26564  bposlem1  26628  bposlem2  26629  ex-fl  29289  subfacval3  33674  itg2addnclem2  36119  aks4d1p1  40522  hashnzfz2  42581  oddfl  43485  halffl  43504  fourierdlem65  44382  sqrtpwpw2p  45700  flsqrt  45755  fldivexpfllog2  46621  nnlog2ge0lt1  46622  blen1b  46644
  Copyright terms: Public domain W3C validator