Theorem flbi 13722

Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by NM, 11-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
flbi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1))))

Proof of Theorem flbi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flval 13700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
2	1	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
4		rebtwnz 12847	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
5		breq1 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
6		oveq1 7359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 + 1) = (𝐵 + 1))
7	6	breq2d 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < (𝐵 + 1)))
8	5, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1))))
9	8	riota2 7334	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
10	4, 9	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
11	10	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
12	3, 11	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃!wreu 3345   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  ℩crio 7308  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  1c1 11014   + caddc 11016   < clt 11153   ≤ cle 11154  ℤcz 12475  ⌊cfl 13696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fl 13698

This theorem is referenced by:  flbi2  13723  fladdz  13731  btwnzge0  13734  bitsfzolem  16347  bitsfzo  16348  bitsmod  16349  bitscmp  16351  pcfaclem  16812  mbfi1fseqlem4  25647  dvfsumlem1  25960  fsumharmonic  26950  ppiub  27143  chpub  27159  bposlem1  27223  bposlem2  27224  ex-fl  30429  subfacval3  35254  itg2addnclem2  37732  aks4d1p1  42189  hashnzfz2  44438  oddfl  45403  halffl  45421  fourierdlem65  46293  ceilbi  47457  sqrtpwpw2p  47662  flsqrt  47717  fldivexpfllog2  48690  nnlog2ge0lt1  48691  blen1b  48713