MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismidb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismidb 27606
Description: Property of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismid.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
ismid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ismid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
midcl.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
ismidb.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
ismidb.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
ismidb (πœ‘ β†’ (𝐡 = ((π‘†β€˜π‘€)β€˜π΄) ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) = 𝑀))

Proof of Theorem ismidb
Dummy variables π‘š π‘Ž 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismidb.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
2 ismid.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 ismid.d . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
4 ismid.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5 eqid 2736 . . . 4 (LineGβ€˜πΊ) = (LineGβ€˜πΊ)
6 ismid.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 ismidb.s . . . 4 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
8 midcl.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
9 midcl.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 ismid.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mideu 27566 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘š ∈ 𝑃 𝐡 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄))
12 fveq2 6839 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ (π‘†β€˜π‘š) = (π‘†β€˜π‘€))
1312fveq1d 6841 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄) = ((π‘†β€˜π‘€)β€˜π΄))
1413eqeq2d 2747 . . . 4 (π‘š = 𝑀 β†’ (𝐡 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄) ↔ 𝐡 = ((π‘†β€˜π‘€)β€˜π΄)))
1514riota2 7335 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ βˆƒ!π‘š ∈ 𝑃 𝐡 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄)) β†’ (𝐡 = ((π‘†β€˜π‘€)β€˜π΄) ↔ (β„©π‘š ∈ 𝑃 𝐡 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄)) = 𝑀))
161, 11, 15syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 = ((π‘†β€˜π‘€)β€˜π΄) ↔ (β„©π‘š ∈ 𝑃 𝐡 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄)) = 𝑀))
17 df-mid 27602 . . . . 5 midG = (𝑔 ∈ V ↦ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘”), 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘”) ↦ (β„©π‘š ∈ (Baseβ€˜π‘”)𝑏 = (((pInvGβ€˜π‘”)β€˜π‘š)β€˜π‘Ž))))
18 fveq2 6839 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Baseβ€˜π‘”) = (Baseβ€˜πΊ))
1918, 2eqtr4di 2794 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Baseβ€˜π‘”) = 𝑃)
20 fveq2 6839 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 β†’ (pInvGβ€˜π‘”) = (pInvGβ€˜πΊ))
2120, 7eqtr4di 2794 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 β†’ (pInvGβ€˜π‘”) = 𝑆)
2221fveq1d 6841 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((pInvGβ€˜π‘”)β€˜π‘š) = (π‘†β€˜π‘š))
2322fveq1d 6841 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 β†’ (((pInvGβ€˜π‘”)β€˜π‘š)β€˜π‘Ž) = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π‘Ž))
2423eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 β†’ (𝑏 = (((pInvGβ€˜π‘”)β€˜π‘š)β€˜π‘Ž) ↔ 𝑏 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π‘Ž)))
2519, 24riotaeqbidv 7312 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 β†’ (β„©π‘š ∈ (Baseβ€˜π‘”)𝑏 = (((pInvGβ€˜π‘”)β€˜π‘š)β€˜π‘Ž)) = (β„©π‘š ∈ 𝑃 𝑏 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π‘Ž)))
2619, 19, 25mpoeq123dv 7428 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘”), 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘”) ↦ (β„©π‘š ∈ (Baseβ€˜π‘”)𝑏 = (((pInvGβ€˜π‘”)β€˜π‘š)β€˜π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (β„©π‘š ∈ 𝑃 𝑏 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π‘Ž))))
276elexd 3463 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V)
282fvexi 6853 . . . . . . 7 𝑃 ∈ V
2928, 28mpoex 8008 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (β„©π‘š ∈ 𝑃 𝑏 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π‘Ž))) ∈ V
3029a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (β„©π‘š ∈ 𝑃 𝑏 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π‘Ž))) ∈ V)
3117, 26, 27, 30fvmptd3 6968 . . . 4 (πœ‘ β†’ (midGβ€˜πΊ) = (π‘Ž ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (β„©π‘š ∈ 𝑃 𝑏 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π‘Ž))))
32 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡)) β†’ 𝑏 = 𝐡)
33 simprl 769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡)) β†’ π‘Ž = 𝐴)
3433fveq2d 6843 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π‘Ž) = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄))
3532, 34eqeq12d 2752 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡)) β†’ (𝑏 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π‘Ž) ↔ 𝐡 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄)))
3635riotabidv 7311 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡)) β†’ (β„©π‘š ∈ 𝑃 𝑏 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π‘Ž)) = (β„©π‘š ∈ 𝑃 𝐡 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄)))
37 riotacl 7327 . . . . 5 (βˆƒ!π‘š ∈ 𝑃 𝐡 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄) β†’ (β„©π‘š ∈ 𝑃 𝐡 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄)) ∈ 𝑃)
3811, 37syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„©π‘š ∈ 𝑃 𝐡 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄)) ∈ 𝑃)
3931, 36, 8, 9, 38ovmpod 7503 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) = (β„©π‘š ∈ 𝑃 𝐡 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄)))
4039eqeq1d 2738 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) = 𝑀 ↔ (β„©π‘š ∈ 𝑃 𝐡 = ((π‘†β€˜π‘š)β€˜π΄)) = 𝑀))
4116, 40bitr4d 281 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 = ((π‘†β€˜π‘€)β€˜π΄) ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) = 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒ!wreu 3349  Vcvv 3443   class class class wbr 5103  β€˜cfv 6493  β„©crio 7308  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  2c2 12204  Basecbs 17075  distcds 17134  TarskiGcstrkg 27255  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27259  Itvcitv 27261  LineGclng 27262  pInvGcmir 27480  midGcmid 27600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-oadd 8412  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9833  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-xnn0 12482  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-hash 14223  df-word 14395  df-concat 14451  df-s1 14476  df-s2 14729  df-s3 14730  df-trkgc 27276  df-trkgb 27277  df-trkgcb 27278  df-trkgld 27280  df-trkg 27281  df-cgrg 27339  df-leg 27411  df-mir 27481  df-rag 27522  df-perpg 27524  df-mid 27602
This theorem is referenced by:  midbtwn  27607  midcgr  27608  midcom  27610  mirmid  27611  lmieu  27612  lmimid  27622  lmiisolem  27624  hypcgrlem1  27627  hypcgrlem2  27628  hypcgr  27629  trgcopyeulem  27633
  Copyright terms: Public domain W3C validator