Theorem ismidb 26250

Description: Property of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ismidb.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
ismidb.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ismidb	⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝑀))

Proof of Theorem ismidb

Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismidb.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
2		ismid.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		ismid.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		ismid.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
6		ismid.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ismidb.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		midcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		midcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		ismid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mideu 26210	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴))
12		fveq2 6545	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑆‘𝑚) = (𝑆‘𝑀))
13	12	fveq1d 6547	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑆‘𝑚)‘𝐴) = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴))
14	13	eqeq2d 2807	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴) ↔ 𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴)))
15	14	riota2 7006	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) → (𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴) ↔ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) = 𝑀))
16	1, 11, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴) ↔ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) = 𝑀))
17		df-mid 26246	. . . . 5 ⊢ midG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))))
18		fveq2 6545	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
19	18, 2	syl6eqr 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
20		fveq2 6545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
21	20, 7	syl6eqr 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = 𝑆)
22	21	fveq1d 6547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((pInvG‘𝑔)‘𝑚) = (𝑆‘𝑚))
23	22	fveq1d 6547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))
24	23	eqeq2d 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) ↔ 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎)))
25	19, 24	riotaeqbidv 6987	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎)) = (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎)))
26	19, 19, 25	mpoeq123dv 7094	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))))
27	6	elexd 3460	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
28	2	fvexi 6559	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
29	28, 28	mpoex 7640	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V)
31	17, 26, 27, 30	fvmptd3 6664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (midG‘𝐺) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))))
32		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → 𝑏 = 𝐵)
33		simprl 767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → 𝑎 = 𝐴)
34	33	fveq2d 6549	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → ((𝑆‘𝑚)‘𝑎) = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴))
35	32, 34	eqeq12d 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → (𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎) ↔ 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)))
36	35	riotabidv 6986	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎)) = (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)))
37		riotacl 6998	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴) → (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) ∈ 𝑃)
38	11, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) ∈ 𝑃)
39	31, 36, 8, 9, 38	ovmpod 7165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)))
40	39	eqeq1d 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝑀 ↔ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) = 𝑀))
41	16, 40	bitr4d 283	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∃!wreu 3109  Vcvv 3440   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  ℩crio 6983  (class class class)co 7023   ∈ cmpo 7025  2c2 11546  Basecbs 16316  distcds 16407  TarskiGcstrkg 25902  Dim_TarskiG≥cstrkgld 25906  Itvcitv 25908  LineGclng 25909  pInvGcmir 26124  midGcmid 26244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-dju 9183  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-hash 13545  df-word 13712  df-concat 13773  df-s1 13798  df-s2 14050  df-s3 14051  df-trkgc 25920  df-trkgb 25921  df-trkgcb 25922  df-trkgld 25924  df-trkg 25925  df-cgrg 25983  df-leg 26055  df-mir 26125  df-rag 26166  df-perpg 26168  df-mid 26246

This theorem is referenced by:  midbtwn  26251  midcgr  26252  midcom  26254  mirmid  26255  lmieu  26256  lmimid  26266  lmiisolem  26268  hypcgrlem1  26271  hypcgrlem2  26272  hypcgr  26273  trgcopyeulem  26277