Theorem ismidb 27139

Description: Property of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ismidb.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
ismidb.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ismidb	⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝑀))

Proof of Theorem ismidb

Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismidb.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
2		ismid.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		ismid.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		ismid.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
6		ismid.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ismidb.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		midcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		midcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		ismid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mideu 27099	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴))
12		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑆‘𝑚) = (𝑆‘𝑀))
13	12	fveq1d 6776	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑆‘𝑚)‘𝐴) = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴))
14	13	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴) ↔ 𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴)))
15	14	riota2 7258	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) → (𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴) ↔ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) = 𝑀))
16	1, 11, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴) ↔ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) = 𝑀))
17		df-mid 27135	. . . . 5 ⊢ midG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))))
18		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
19	18, 2	eqtr4di 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
20		fveq2 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
21	20, 7	eqtr4di 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = 𝑆)
22	21	fveq1d 6776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((pInvG‘𝑔)‘𝑚) = (𝑆‘𝑚))
23	22	fveq1d 6776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))
24	23	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) ↔ 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎)))
25	19, 24	riotaeqbidv 7235	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎)) = (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎)))
26	19, 19, 25	mpoeq123dv 7350	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))))
27	6	elexd 3452	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
28	2	fvexi 6788	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
29	28, 28	mpoex 7920	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V)
31	17, 26, 27, 30	fvmptd3 6898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (midG‘𝐺) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))))
32		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → 𝑏 = 𝐵)
33		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → 𝑎 = 𝐴)
34	33	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → ((𝑆‘𝑚)‘𝑎) = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴))
35	32, 34	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → (𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎) ↔ 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)))
36	35	riotabidv 7234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎)) = (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)))
37		riotacl 7250	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴) → (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) ∈ 𝑃)
38	11, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) ∈ 𝑃)
39	31, 36, 8, 9, 38	ovmpod 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)))
40	39	eqeq1d 2740	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝑀 ↔ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) = 𝑀))
41	16, 40	bitr4d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃!wreu 3066  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  2c2 12028  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Dim_TarskiG≥cstrkgld 26792  Itvcitv 26794  LineGclng 26795  pInvGcmir 27013  midGcmid 27133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkgld 26813  df-trkg 26814  df-cgrg 26872  df-leg 26944  df-mir 27014  df-rag 27055  df-perpg 27057  df-mid 27135

This theorem is referenced by:  midbtwn  27140  midcgr  27141  midcom  27143  mirmid  27144  lmieu  27145  lmimid  27155  lmiisolem  27157  hypcgrlem1  27160  hypcgrlem2  27161  hypcgr  27162  trgcopyeulem  27166