Theorem ismidb 29087

Description: Property of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ismidb.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
ismidb.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ismidb	⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝑀))

Proof of Theorem ismidb

Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismidb.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
2		ismid.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		ismid.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		ismid.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
6		ismid.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ismidb.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		midcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		midcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		ismid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mideu 29019	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴))
12		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑆‘𝑚) = (𝑆‘𝑀))
13	12	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑆‘𝑚)‘𝐴) = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴))
14	13	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴) ↔ 𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴)))
15	14	riota2 7392	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) → (𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴) ↔ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) = 𝑀))
16	1, 11, 15	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴) ↔ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) = 𝑀))
17		df-mid 29083	. . . . 5 ⊢ midG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))))
18		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
19	18, 2	eqtr4di 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
20		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
21	20, 7	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = 𝑆)
22	21	fveq1d 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((pInvG‘𝑔)‘𝑚) = (𝑆‘𝑚))
23	22	fveq1d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))
24	23	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) ↔ 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎)))
25	19, 24	riotaeqbidv 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎)) = (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎)))
26	19, 19, 25	mpoeq123dv 7485	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))))
27	6	elexd 3478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
28	2	fvexi 6895	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
29	28, 28	mpoex 8072	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V)
31	17, 26, 27, 30	fvmptd3 7013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (midG‘𝐺) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎))))
32		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → 𝑏 = 𝐵)
33		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → 𝑎 = 𝐴)
34	33	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → ((𝑆‘𝑚)‘𝑎) = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴))
35	32, 34	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → (𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎) ↔ 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)))
36	35	riotabidv 7369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = ((𝑆‘𝑚)‘𝑎)) = (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)))
37		riotacl 7384	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴) → (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) ∈ 𝑃)
38	11, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) ∈ 𝑃)
39	31, 36, 8, 9, 38	ovmpod 7562	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)))
40	39	eqeq1d 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝑀 ↔ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑚)‘𝐴)) = 𝑀))
41	16, 40	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝑆‘𝑀)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃!wreu 3367  Vcvv 3455   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  2c2 12290  Basecbs 17264  distcds 17314  TarskiGcstrkg 28696  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28700  Itvcitv 28702  LineGclng 28703  pInvGcmir 28929  midGcmid 29081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-trkgc 28717  df-trkgb 28718  df-trkgcb 28719  df-trkgld 28721  df-trkg 28722  df-cgrg 28780  df-leg 28852  df-mir 28930  df-rag 28974  df-perpg 28976  df-mid 29083

This theorem is referenced by:  midbtwn  29088  midcgr  29089  midcom  29091  mirmid  29092  lmieu  29093  lmimid  29103  lmiisolem  29105  symquadmid  29108  hypcgrlem1  29109  hypcgrlem2  29110  hypcgr  29111  trgcopyeulem  29116  prlngmid2  29211  symquadprlng  29212  prlngsymquadlem  29213  prlngsymquad  29214  prlngsymquadopp  29215